穿针引线法巧解不等式

穿针引线法巧解不等式我们学过一元二次不等式，分式不等式以及高次不等式的多种解法。我在这针对每一种不等式要介绍一种更加简易，快捷的方法。下面举例说明：一、一元二次不等式例1.x2-2x-3＞0知识回顾：一元二次不等式，我们通常利用二次函数的图像——抛物线数形结合来分析未知数x的取值范围，这就涉及了抛物线的对称轴，顶点坐标以及根等诸多因素。对于普高学生，尤其是初中基础稍差的学生，容易混淆。下面我介绍一种快捷的方式来对此问题加以解决。解析：首先对不等式借助十字相乘因式分解得(x+1)(x-3)＞0。我们知道(x+1)(x-3)=0的根为-1和3，分别在数轴上标出根来，进行穿针引线。在这我们可以定义数轴把平面分成三部分：①数轴上方＞0；②数轴下方<0；③数轴上=0。因为题目中要求“＞0”，所以我们去数轴上方，用阴影表示。图示如下：很容易，我们得出解集为｛x∣x<-1或x＞3｝。解题过程如下：解：x2-2x-3＞0因式分解得(x+1)(x-3)＞0∴不等式的解集为｛x∣x<-1或x＞3｝。评注：这种方法的前身还是数轴标根和穿针引线的原理。应用这种方法，有个前提条件是很关键的，那就是因式分解后，未知数x的系数必须都为正数。这种方法避免了由于初中知识（二次函数的图像——抛物线）的漏洞导致无法求解的困难。此法对于普通高中学生更具简捷化，对于重点高中的学生，增加了一种新颖的方法，这样就使各个层面的学生都会灵活运用。当然此方法只在一元二次方程有两个根时才适用，对于无根或只有一根时，这里不作研究。变式1：x2-2x-3≥0解：因式分解得(x+1)(x-3)≥0不等式的解集为｛x∣x≤-1或x≥3｝变式2：-x2+2x+3＞0解：不等式两边同时乘以-1得x2-2x-3<0；(x+1)(x-3)＞0不等式的解集为｛x∣-1<x<3｝评注：应用“穿针引线”要注意它的应用前提，那就是因式分解后，未知数x的系数必须都为正数。上面介绍了一元二次不等式的解法。总而言之一句话，解一元二次不等式，先因式分解，再数轴标根，穿针引线。但要注意一个前提，那就是因式分解后，未知数x的系数必须都为正数才可以。二、分时不等式下面我将重点介绍分时不等式的解法。首先展示课本介绍的方法：例2．解不等式解：这个不等式的解集是下面的不等式组（Ⅰ），（Ⅱ）的解集的并集：先解不等式组（Ⅰ）：解不等式①，得解集｛x∣x<1或x＞2｝解不等式②，得解集｛x∣-1<x<3｝因此，不等式组（Ⅰ）的解集是再解不等式组（Ⅱ）：解不等式③，得解集｛x∣1<x<2｝解不等式④，得解集｛x∣x<-1或x＞3｝因此，不等式组（Ⅱ）的解集是Φ。由此可知，原不等式的解集是｛x∣-1<x<1或2<x<3｝下面对比一下我的方法：例2．解不等式解：原不等式等价于（x2-3x+2）（x2-2x-3）<0因式分解得（x-1）（x-2）（x-3）（x+1）<0原不等式的解集是｛x∣-1<x<1或2<x<3｝评注：二者对比可看出后者有下面一些优点：①免去了分情况讨论带来的繁琐工作；②避免了交集，并集运算的误区；③篇幅短，减少运算量，同时也节省了计算的时间；④容易理解，实用性高。总而言之一句话，方法简捷，运算量小，实用性高。变式1：解：原不等式等价于解得原不等式的解集是｛x∣-1<x≤1或2≤x<3｝评注：应用此方法注意，当分式不等式用或连接时，即包含“=”，需特别考虑分母不为0。而不含“=”，如上例3，则不用考虑。∴原不等式的解集是｛x∣-2≤x<-1或1≤x<3｝三、高次不等式例3．（x+1）（x-3）（x-1）＞0解：（x+1）（x-3）（x-1）＞0穿针引线得∴原不等式的解集是｛x∣-1≤x<1或x＞3｝评注：高次不等式同样可用穿针引线，但是要注意应用穿针引线的前提条件，那就是不等式因式分解后，未知数x的系数必须都为正数。变式1.（x+1）（x-3）（x-1）≤0解：（x+1）（x-3）（x-1）≤0∴原不等式的解集是｛x∣x≤1或1≤x≤3｝变式2.（x+1）（x-3）（x-1）<0解：（x+1）（x-3）（x-1）<0两边同时乘以-1得（x+1）（x-3）（x-1）＞0∴原不等式的解集是｛x∣-1<x<1或x＞3｝评注：高次不等式同样可用穿针引线，但是要注意应用穿针引线的前提条件，那就是不等式因式分解后，未知数x的系数必须都为正数。变式3.x（x+1）（x-3）（x-1）≥0解：x（x+1）（x-3）（x-1）≥0∴原不等式的解集是｛x∣x≤--1或0≤x≤1或≥3｝例4.（3x+2）（2x-1）2（x-1）5（x-2）3<0解：（3x+2）（2x-1）2（x-1）5（x-2）3<0∴原不等式的解集是评注：本题考查的是穿针引线的规则：奇穿偶不穿。所谓的“奇穿偶不穿”中的“奇”，“偶”指的是因式分解后的每一个括号的次数，而不是根。变式1：（3x+2）（1-2x）2（x-1）5（2-x）3<0解：（3x+2）（1-2x）2（x-1）5（2-x）3<0两边同时乘以-1得（3x+2）（2x-1）2（x-1）5（x-2）3＞0原不等式的解集是评注：要注意应用穿针引线的前提条件。变式2：（3x+2）（2x-1）2（x-1）5（x-2）3≥0解：（3x+2）（2x-1）2（x-1）5（x-