人教版高中数学必修一教学课件《函数的单调性与导数》

函数的单调性与导数函数的单调性与导数判断函数单调性有哪些方法？比如：判断函数的单调性。xyo函数在

上为____函数，在上为____函数。图象法复合函数法:“同增异减”定义法减增如图：知识回顾判断函数单调性有哪些方法？比如：判断函数xyoxyo单调性导数的正负函数及图象切线斜率的正负xyo负正负正在区间(a,b)上递增在区间(a,b)上递减正正负负函数的单调性与导数有什么关系呢？xyoxyo单调性导数的正负函数及图象切线斜率xyo负aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0由上我们可得以下的结论:如果在某个区间内恒有,则为常数.

定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a，b）内有导数,如果在这个区间内>0,那么函数y=f(x)在这个区间内的增函数;如果在这个区间内

<0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数.aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0例已知导函数的下列信息：试画出函数图象的大致形状。分析：解：的大致形状如右图：ABxyo23应用导数信息确定函数大致图象例已知导函数的下列信息：试画出函数图象的

设

f(x)=x3-

x2-2x+5，求函数

f(x)

的单调递增、递减区间;12例1：解:(1)

f(x)=3x2-x-2,令

f(x)<0

得

-

<x<1;23令

f(x)>0，x<-2/3

或

x>1.

∴y=f(x)

的单调递减区间是

(-

,1);23单调递增区间是

(-∞,-

)和(1,+∞).

23说明:当函数的单调增区间或减区间有多个时，单调区间之间不能用连接，只能用逗号分开写，或者可用“和”连接。设f(x)=x3-x2-2x+5，求函数f(x根据导数确定函数的单调性一般需三步：1.确定函数f(x)的定义域；2.求出函数的导数；3.解不等式f′(x)>0,得函数单增区间;

解不等式f′(x)<0,得函数单减区间。注：单调区间不以“并集”出现。例2：确定函数f(x)=2x3-6x2+7在哪些区间内是增函数?根据导数确定函数的单调性一般需三步：例2：确定函数f(x)=变式：求的单调减区间变式：求变式：求的单调减区间变式：求的单调减例3：求函数f(x)=xlnx的单调区间.解：函数的定义域为x>0,

(1)、当lnx+1>0时，(2)、当lnx+1<0时，f′(x)=x′lnx+x(lnx)′=lnx+1.则f(x)的单调递增区间是(1/e,+∞).则f(x)的单减区间是（0，1/e).解得x>1/e.解得0<x<1/e.例3：求函数f(x)=xlnx的单调区间.解：函数的定义域为变式:已知函数f（x）=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求实数a的取值范围.∵函数f（x）在R上是减函数变式:已知函数f（x）=ax3+3x2-x+1在R上是减函数练习1：已知f(x)=2x3+3x2-12x+3,则函数f(x)在区间(-2,1)内是（）A单调递减，B单调递增，C可能递增也可能递减D以上都成立A练习1：已知f(x)=2x3+3x2-12x+3,则函数f(由得x<-1或x>1.解:函数的定义域是(-1,+∞),又因为函数的定义域是(-1,+∞),故f(x)的递增区间是(1,+∞);由解得-1<x<1,故f(x)的递减区间是(-1,1).练习2:求函数f(x)=x/2-ln(1+x)+1的单调区间:说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故求函数的单调区间时,一定首先要确定函数的定义域,在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与定义域求两者的交集.由解:函数的定义域为(0,2).y′=,解不等式y′>0得:0<x<1,则函数的单增区间为(0,1).解不等式y′<0得:1<x<2,则函数的单减区间为(1,2).2x-x21-x练习3：解:函数的定义域为(0,2).2x-x21-x练习3注：增减正负3、区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.如：注：增减正负3、区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.如0yx12-1-2单增区间：(-∞，-1)和（1，+∞）.例4：

已知函数y=x+(1/x)的图象，讨论其单调性

单减区间：(-1，0）和（0，1）.0yx12-1-2单增区间：(-∞，-1)和例4：已知函例5：

已知函数y=x+(1/x)的图象，讨论其单调性。(-∞，0)和（0，+∞）例5：已知函数y=x+(1/x)的图象，讨论其单调性。总结增减1、若函数y=f(x)在某个区间内可导,2、由导数确定函数的单调性的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求函数的导数.(3)令f’(x)>0以及f’(x)<0,求自变量x的取值范围，即函数的单调区间。注意：函数定义域总结增减1、若函数y=f(x)在某个区间内可导,2、由导数确总结:当遇到三次或三次以上的,或图象很难画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。3、什么情况下，用“导数法”求函数单调性、单调区间较简便？归纳总结:当遇到三次或三次以上的,或图象很难3、什么情况下，用Bxyo练习:

求函数的单调区间:f(x)=x/2+sinx;Bxyo练习:求函数的单调区间:f(x)=x/2+s例3如图，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与实践t的函数关系图象。例3如图，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面函数的单调性与导数函数的单调性与导数判断函数单调性有哪些方法？比如：判断函数的单调性。xyo函数在

上为____函数，在上为____函数。图象法复合函数法:“同增异减”定义法减增如图：知识回顾判断函数单调性有哪些方法？比如：判断函数xyoxyo单调性导数的正负函数及图象切线斜率的正负xyo负正负正在区间(a,b)上递增在区间(a,b)上递减正正负负函数的单调性与导数有什么关系呢？xyoxyo单调性导数的正负函数及图象切线斜率xyo负aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0由上我们可得以下的结论:如果在某个区间内恒有,则为常数.

定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a，b）内有导数,如果在这个区间内>0,那么函数y=f(x)在这个区间内的增函数;如果在这个区间内

<0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数.aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0例已知导函数的下列信息：试画出函数图象的大致形状。分析：解：的大致形状如右图：ABxyo23应用导数信息确定函数大致图象例已知导函数的下列信息：试画出函数图象的

设

f(x)=x3-

x2-2x+5，求函数

f(x)

的单调递增、递减区间;12例1：解:(1)

f(x)=3x2-x-2,令

f(x)<0

得

-

<x<1;23令

f(x)>0，x<-2/3

或

x>1.

∴y=f(x)

的单调递减区间是

(-

,1);23单调递增区间是

(-∞,-

)和(1,+∞).

23说明:当函数的单调增区间或减区间有多个时，单调区间之间不能用连接，只能用逗号分开写，或者可用“和”连接。设f(x)=x3-x2-2x+5，求函数f(x根据导数确定函数的单调性一般需三步：1.确定函数f(x)的定义域；2.求出函数的导数；3.解不等式f′(x)>0,得函数单增区间;

解不等式f′(x)<0,得函数单减区间。注：单调区间不以“并集”出现。例2：确定函数f(x)=2x3-6x2+7在哪些区间内是增函数?根据导数确定函数的单调性一般需三步：例2：确定函数f(x)=变式：求的单调减区间变式：求变式：求的单调减区间变式：求的单调减例3：求函数f(x)=xlnx的单调区间.解：函数的定义域为x>0,

(1)、当lnx+1>0时，(2)、当lnx+1<0时，f′(x)=x′lnx+x(lnx)′=lnx+1.则f(x)的单调递增区间是(1/e,+∞).则f(x)的单减区间是（0，1/e).解得x>1/e.解得0<x<1/e.例3：求函数f(x)=xlnx的单调区间.解：函数的定义域为变式:已知函数f（x）=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求实数a的取值范围.∵函数f（x）在R上是减函数变式:已知函数f（x）=ax3+3x2-x+1在R上是减函数练习1：已知f(x)=2x3+3x2-12x+3,则函数f(x)在区间(-2,1)内是（）A单调递减，B单调递增，C可能递增也可能递减D以上都成立A练习1：已知f(x)=2x3+3x2-12x+3,则函数f(由得x<-1或x>1.解:函数的定义域是(-1,+∞),又因为函数的定义域是(-1,+∞),故f(x)的递增区间是(1,+∞);由解得-1<x<1,故f(x)的递减区间是(-1,1).练习2:求函数f(x)=x/2-ln(1+x)+1的单调区间:说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故求函数的单调区间时,一定首先要确定函数的定义域,在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与定义域求两者的交集.由解:函数的定义域为(0,2).y′=,解不等式y′>0得:0<x<1,则函数的单增区间为(0,1).解不等式y′<0得:1<x<2,则函数的单减区间为(1,2).2x-x21-x练习3：解:函数的定义域为(0,2).2x-x21-x练习3注：增减正负3、区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.如：注：增减正负3、区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.如0yx12-1-2单增区间：(-∞，-1)和（1，+∞）.例4：

已知函数y=x+(1/x)的图象，讨论其单调