初中数学《因式分解》-完整版【北师大版】1课件

人教版八年级数学上册14.3

因式分解

14.3.3

十字相乘法人教版八年级数学上册14.3因式分解

14.3.31探索并运用十字相乘法进行因式分解；会综合运用学过的方法对多项式进行因式分解。学习目标探索并运用十字相乘法进行因式分解；学习目标2知识回顾１．举例说明因式分解与整式乘法的关系２.我们已经学习了哪些因式分解的方法？提公因式法:ma+mb+mc=m(a+b+c)运用公式法:a2-b2=(a+b)(a-b)

a2±2ab+b2=(a±b)2知识回顾１．举例说明因式分解与整式乘法的关系3(5)3ax2+6ax+3a(4)x5-x3(1)x4-y4(2)

(y2+x2)2-4x2y2(6)2ax2+6ax+4a(3)x4-8x2+16３.把下列各式因式分解：(5)3ax2+6ax+3a(4)x5-x3(14解:(1)x4-y4=(x2+y2)(x2-y2)

=(x2+y2)(x+y)(x-y)(2)(y2+x2)2-4x2y2=(y2+x2+2xy)(y2+x2-2xy)=(x+y)2(x-y)2(3)x4-8x2+16=(x2-4)2=(x+2)2(x-2)2解:(1)x4-y4=(x2+y2)(x2-y2)

5(4)x5-x3=x3(x2-1)=x3(x+1)(x-1)(5)3ax2+6ax+3a=3a(x2+2x+1)=3a(x+1)2(4)x5-x3=x3(x2-1)=x3(x+1)(6(6)2ax2+6ax+4a=2a(x2+3x+2)你认为这个多项式因式还能分解吗？=2a(x+1)(x+2)十字相乘法分解因式(6)2ax2+6ax+4a=2a(x2+3x+2)你认71.(x+2)(x+1)=x2+3x+23.(x-2)(x+1)=x2-x-24.(x-2)(x-1)=x2-3x+22.(x+2)(x-1)=x2+x-25.(x+2)(x+3)=x2+5x+66.(x+2)(x-3)=x2-x-67.(x-2)(x+3)=x2+x-68.(x-2)(x-3)=x2-5x+6(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab请直接口答计算结果：1.(x+2)(x+1)=x2+3x+23.(x-2)(x+8(x+2)(x+1)x2+3x+2(x-2)(x+1)x2-x-2(x-2)(x-1)x2-3x+2(x+2)(x-1)x2+x-2(x+2)(x+3)x2+5x+6(x+2)(x-3)x2-x-6(x-2)(x+3)x2+x-6(x-2)(x-3)x2-5x+6(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab========1.2.3.4.5.6.7.8.(x+2)(x+1)x2+3x+2(x-2)(x+1)x2-9

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab观察与发现两个一次二项式相乘的积一个二次三项式整式的乘法反过来，得x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)一个二次三项式两个一次二项式相乘的积因式分解如果二次三项式x2+px+q中的常数项系数q能分解成两个因数a、b的积，即q=ab而且一次项系数p又恰好是a、b的和，即p=a+b，那么x2+px+q就可以进行如上的因式分解。(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab观察10分析∵(+1)×(+2)＝＋2(+1)＋(+2)＝+3∴试一试：把x2+3x+2分解因式常数项一次项系数十字交叉线利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。分析∵(+1)×(+2)＝＋2∴试一试：把x2+3x+11十字相乘法公式：请大家记住公式十字相乘法公式：请大家记住公式12例1：分解因式:x2+4x+3=＿＿＿＿＿＿＿x2-2x-3=＿＿＿＿＿＿＿＿(x+3)(x+1)(x-3)(x+1)xxxx31-31例1：分解因式:(x+3)(x+1)(x-3)(x+1)xx13

例２：试将分解因式提示：当二次项系数为-1时，先提出负号再因式分解。1662+--xx例２：试将分解因式提示：当二次项系数为-1时，先提出负14独立练习：把下列各式分解因式

独立练习：把下列各式分解因式15课堂小结对二次三项式x2+px+q用x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行因式分解，应重点掌握以下问题：2.掌握方法：拆分常数项，验证一次项.3.符号规律：当q>0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；当q<0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同.1.适用范围：只有当q=ab，且p=a+b时才能用十字相乘法进我行分解。课堂小结对二次三项式x2+px+q用x2+(a+b)x+ab16十字相乘法分解因式（2）本节课解决两个问题：第一：对形如ax2+bx+c(a≠0)的二次三项式进行因式分解；第二：对形如ax2+bxy+cy2

(a≠0)的二次三项式进行因式分解；十字相乘法分解因式（2）本节课解决两个问题：17a2

c1c2a1c2+a2c1=ba1(a1x+c1)(a2x+c2)=ax2+bx+c(a≠0)ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)(a≠0)整式运算因式分解初中数学《因式分解》教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)初中数学《因式分解》教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)a2c1c2a1c2+a2c1=ba1(a1x+c1)18a2

c1c2a1c2+a2c1=ba1(a1x+c1y)(a2x+c2y)=ax2+bxy+cy2ax2+bxy+cy2=(a1x+c1y)(a2x+c2y)整式运算因式分解初中数学《因式分解》教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)初中数学《因式分解》教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)a2c1c2a1c2+a2c1=ba1(a1x+c1y)19例1:2x2－7x+3

总结:1、由常数项的符号确定分解的两数的符号2、由一次项系数确定分解的方向3、勿忘检验分解的合理性

1

-1-3

2×(-3)+(－1)×1=-72解：原式=(2x-1)(x-3)初中数学《因式分解》教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)初中数学《因式分解》教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)例1:2x2－7x+3总结:1-1-32×(-3)+20=173x2+11x+106x2+7x+223124+3=7∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)13522+15=1113255+6∴3x2+11x+10=(x+2)(3x+5)初中数学《因式分解》教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)初中数学《因式分解》教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)=173x2+11x+106x2+7x21=–65x2–6xy–8y2试因式分解5x2–6xy–8y2。这里仍然可以用十字相乘法。15–244–10∴5x2–6xy–8y2=(x–2y)(5x+4y)简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。十字相乘法②随堂练习：1）4a2–9a+22）7a2–19a–63）2(x2+y2)+5xy初中数学《因式分解》教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)初中数学《因式分解》教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)=–65x2–6xy–8y2试因式分解5x222例

.将2(6x2

＋x)2－11(6x2

＋x)＋5分解因式解：2(6x2

＋x)2－11(6x2

＋x)＋5=[(6x2

＋x)－5][2(6x2

＋x)－1]=(6x2

＋x－5)(12x2

＋2x－1)=(6x－5)(x＋1)(12x2

＋2x－1)12－5－1－1－10=－1161－51－5＋6=1初中数学《因式分解》教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)初中数学《因式分解》教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)例.将2(6x2＋x)2－11(6x2＋x)＋23练习：将下列各式分解因式1、7x－13x＋623、15x＋7xy－4y222、－y－4y＋122答案(7x-6)(x-1)4、x－(a＋1)x＋a2答案－(y＋6)(y－2)答案(3x－y)(5x＋4y)答案(x－1)(x－a)

初中数学《因式分解》教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)初中数学《因式分解》教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)练习：将下列各式分解因式1、7x－13x＋623、1524分组分解法要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些变换达到因式分解的目的。例1：因式分解ab–ac+bd–cd。解：原式=(ab–ac)+(bd–cd)=a

(b–c)+d

(b–c)=(a+d)(b–c)还有别的解法吗？初中数学《因式分解》教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)初中数学《因式分解》教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)分组分解法要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添25分组分解法要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些变换达到因式分解的目的。例1：因式分解ab–ac+bd–cd。解：原式=(ab+bd)–(ac+cd)=b

(a+d)–c

(a+d)=(a+d)(b–c)初中数学《因式分解》教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)初中数学《因式分解》教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)分组分解法要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添26回顾例题：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。另解：原式=(x5+x4)+(x3+x2)+(x+1)=(x+1)(x4+x2+1)=(x+1)(x4+2x2+1–x2)=(x+1)[(x2+1)2–x2]=

(x+1)(x2+x+1)(x2–x+1)拆项添项法怎么结果与刚才不一样呢？因为它还可以继续因式分解初中数学《因式分解》教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)初中数学《因式分解》教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)回顾例题：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。另解：27例因式分解x4+4解：原式=x4

+

4x2+4–4x2=(x2+2)2–(2x)2=(x2+2x+2)(x2–2x+2)都是平方项猜测使用完全平方公式完全平方公式平方差公式拆项添项法随堂练习：1）x4–23x2y2+y42）(m2–1)(n2–1)+4mn初中数学《因式分解》教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)初中数学《因式分解》教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)例因式分解x4+4解：原式=x4+4x2+28配方法配方法是一种特殊的拆项添项法，将多项式配成完全平方式，再用平方差公式进行分解。因式分解a2–b2+4a+2b+3。解：原式=(a2+4a+4)–(b2–2b+1)=(a+2)2–(b–1)2=(a+b+1)(a–b+3)配方法(拆项添项法)分组分解法完全平方公式平方差公式初中数学《因式分解》教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)初中数学《因式分解》教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)配方法配方法是一种特殊的拆项添项法，将多项式配成完全29人教版八年级数学上册14.3

因式分解

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十字相乘法人教版八年级数学上册14.3因式分解

14.3.330探索并运用十字相乘法进行因式分解；会综合运用学过的方法对多项式进行因式分解。学习目标探索并运用十字相乘法进行因式分解；学习目标31知识回顾１．举例说明因式分解与整式乘法的关系２.我们已经学习了哪些因式分解的方法？提公因式法:ma+mb+mc=m(a+b+c)运用公式法:a2-b2=(a+b)(a-b)

a2±2ab+b2=(a±b)2知识回顾１．举例说明因式分解与整式乘法的关系32(5)3ax2+6ax+3a(4)x5-x3(1)x4-y4(2)

(y2+x2)2-4x2y2(6)2ax2+6ax+4a(3)x4-8x2+16３.把下列各式因式分解：(5)3ax2+6ax+3a(4)x5-x3(133解:(1)x4-y4=(x2+y2)(x2-y2)

=(x2+y2)(x+y)(x-y)(2)(y2+x2)2-4x2y2=(y2+x2+2xy)(y2+x2-2xy)=(x+y)2(x-y)2(3)x4-8x2+16=(x2-4)2=(x+2)2(x-2)2解:(1)x4-y4=(x2+y2)(x2-y2)

34(4)x5-x3=x3(x2-1)=x3(x+1)(x-1)(5)3ax2+6ax+3a=3a(x2+2x+1)=3a(x+1)2(4)x5-x3=x3(x2-1)=x3(x+1)(35(6)2ax2+6ax+4a=2a(x2+3x+2)你认为这个多项式因式还能分解吗？=2a(x+1)(x+2)十字相乘法分解因式(6)2ax2+6ax+4a=2a(x2+3x+2)你认361.(x+2)(x+1)=x2+3x+23.(x-2)(x+1)=x2-x-24.(x-2)(x-1)=x2-3x+22.(x+2)(x-1)=x2+x-25.(x+2)(x+3)=x2+5x+66.(x+2)(x-3)=x2-x-67.(x-2)(x+3)=x2+x-68.(x-2)(x-3)=x2-5x+6(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab请直接口答计算结果：1.(x+2)(x+1)=x2+3x+23.(x-2)(x+37(x+2)(x+1)x2+3x+2(x-2)(x+1)x2-x-2(x-2)(x-1)x2-3x+2(x+2)(x-1)x2+x-2(x+2)(x+3)x2+5x+6(x+2)(x-3)x2-x-6(x-2)(x+3)x2+x-6(x-2)(x-3)x2-5x+6(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab========1.2.3.4.5.6.7.8.(x+2)(x+1)x2+3x+2(x-2)(x+1)x2-38

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab观察与发现两个一次二项式相乘的积一个二次三项式整式的乘法反过来，得x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)一个二次三项式两个一次二项式相乘的积因式分解如果二次三项式x2+px+q中的常数项系数q能分解成两个因数a、b的积，即q=ab而且一次项系数p又恰好是a、b的和，即p=a+b，那么x2+px+q就可以进行如上的因式分解。(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab观察39分析∵(+1)×(+2)＝＋2(+1)＋(+2)＝+3∴试一试：把x2+3x+2分解因式常数项一次项系数十字交叉线利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。分析∵(+1)×(+2)＝＋2∴试一试：把x2+3x+40十字相乘法公式：请大家记住公式十字相乘法公式：请大家记住公式41例1：分解因式:x2+4x+3=＿＿＿＿＿＿＿x2-2x-3=＿＿＿＿＿＿＿＿(x+3)(x+1)(x-3)(x+1)xxxx31-31例1：分解因式:(x+3)(x+1)(x-3)(x+1)xx42

例２：试将分解因式提示：当二次项系数为-1时，先提出负号再因式分解。1662+--xx例２：试将分解因式提示：当二次项系数为-1时，先提出负43独立练习：把下列各式分解因式

独立练习：把下列各式分解因式44课堂小结对二次三项式x2+px+q用x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行因式分解，应重点掌握以下问题：2.掌握方法：拆分常数项，验证一次项.3.符号规律：当q>0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；当q<0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同.1.适用范围：只有当q=ab，且p=a+b时才能用十字相乘法进我行分解。课堂小结对二次三项式x2+px+q用x2+(a+b)x+ab45十字相乘法分解因式（2）本节课解决两个问题：第一：对形如ax2+bx+c(a≠0)的二次三项式进行因式分解；第二：对形如ax2+bxy+cy2

(a≠0)的二次三项式进行因式分解；十字相乘法分解因式（2）本节课解决两个问题：46a2

c1c2a1c2+a2c1=ba1(a1x+c1)(a2x+c2)=ax2+bx+c(a≠0)ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)(a≠0)整式运算因式分解初中数学《因式分解》教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)初中数学《因式分解》教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)a2c1c2a1c2+a2c1=ba1(a1x+c1)47a2

c1c2a1c2+a2c1=ba1(a1x+c1y)(a2x+c2y)=ax2+bxy+cy2ax2+bxy+cy2=(a1x+c1y)(a2x+c2y)整式运算因式分解初中数学《因式分解》教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)初中数学《因式分解》教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)a2c1c2a1c2+a2c1=ba1(a1x+c1y)48例1:2x2－7x+3

总结:1、由常数项的符号确定分解的两数的符号2、由一次项系数确定分解的方向3、勿忘检验分解的合理性

1

-1-3

2×(-3)+(－1)×1=-72解：原式=(2x-1)(x-3)初中数学《因式分解》教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)初中数学《因式分解》教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)例1:2x2－7x+3总结:1-1-32×(-3)+49=173x2+11x+106x2+7x+223124+3=7∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)13522+15=1113255+6∴3x2+11x+10=(x+2)(3x+5)初中数学《因式分解》教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)初中数学《因式分解》教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)=173x2+11x+106x2+7x50=–65x2–6xy–8y2试因式分解5x2–6xy–8y2。这里仍然可以用十字相乘法。15–244–10∴5x2–6xy–8y2=(x–2y)(5x+4y)简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。十字相乘法②随堂练习：1）4a2–9a+22）7a2–19a–63）2(x2+y2)+5xy初中数学《因式分解》教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)初中数学《因式分解》教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)=–65x2–6xy–8y2试因式分解5x251例

.将2(6x2

＋x)2－11(6x2

＋x)＋5分解因式解：2(6x2

＋x)2－11(6x2

＋x)＋5=[(6x2

＋x)－5][2(6x2

＋x)－1]=(6x2

＋x－5)(12x2

＋2x－1)=(6x－5)(x＋1)(12x2

＋2x－1)12－5－1－1－10=－1161－51－5＋6=1初中数学《因式分解》教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)初中数学《因式分解》教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)例.将2(6x2＋x)2－11(6x2＋x)＋52练习：将下列各式分解因式1、7x－13x＋623、15x＋7xy－4y222、－y－4y＋122答案(7x-6)(x-1)4、x－(a＋1)x＋a2答案－(y＋6)(y－2)答案(3x－y)(5x＋4y)答案(x－1)(x－a)

初中数学《因式分解》教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)初中数学《因式分解》教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)练习：将下列各式分解因式1、7x－13x＋623、1553分组分解法要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些变换达到因式分解的目的。例1：因式分解ab–ac+bd–cd。解：原式=(ab–ac)+(bd–cd)=a

(b–c)+d

(b–c)=(a+d)(b–c)还有别的解法吗？初中数学《因式分解》教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)初中数学《因式分解》教学分析北师大版1-精品课件ppt(实用版)分组分解法要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添54分组分解法要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些变换达到因式分解的目的。例1：因式分解ab–ac+bd–cd。解：原式=(ab+bd)–(ac+cd)=b

(a+d)–c

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