材料力学基础14能量法课件

材料力学基础能量法材料力学基础强度理论解决了组合变形的强度问题

组合变形的刚度问题怎么办？能否避免组合变形的微分方程能否只求出若干控制点的变形，避免求整个变形曲线弯曲变形积分法求变形得到整个挠曲线强度理论解决了组合变形的强度问题组合变形的刚度问题怎么办？13-1概述 13-2杆件应变能的计算

13-3应变能的普遍表达式13-4互等定理13-7莫尔积分13-8图形互乘法13-5卡氏定理13-1概述 13-2杆件应变能的计算弹性体受拉力P作用，当P从零开始到终值缓慢加载时，力P在其作用方向上的相应位移也由零增至终值ΔL；一方面：力要做功；弹性体因变形而具有做功的能力，力的作用点沿力的方向有位移另一方面：表明杆件内储存了应变能13-1概述 P弹性体受拉力P作用，当P从零开始到终值缓慢加载时，力P在其作如果略去变形过程中的动能及其它能量的损失；功能原理V=W

若外力在由零缓慢加载到终值，变形中的每一瞬间，变形体均处于平衡状态；由能量守恒原理，杆件的变形能V在数值上应等于外力做的功W；对变形体都适用的普遍原理如果略去变形过程中的动能及其它能量的损失；功能原理V=W若因为变形体产生塑性变形时要消耗一部分能量，留下残余变形。弹性固体变形是可逆的；当外力解除后，弹性体将恢复其原来形状，释放出变形能而做功。但当超出了弹性范围，具有塑性变形的固体，变形能不能全部转变为功，因为变形体产生塑性变形时要消耗一部分能量，留下残余变形。弹性也是当今应用甚广的有限元法求解力学问题的重要基础。能量原理固体力学中运用功与能有关的基本原理；由能量原理发展出来的方法；能量法能量原理是在总体上从功与能的角度考察变形体的受力、应力与变形的原理与方法；是进一步学习固体力学的基础也是当今应用甚广的有限元法求解力学问题的重要基础。能量原理固能量法的用处能量法的优点不管中间过程，只算最终状态能量是标量，容易计算用于求位移能量法的用处能量法的优点不管中间过程，只算最终状态能量是标量13-2杆件应变能的计算

线弹性条件下，通过外力功求应变能常力P沿其方向线位移l上所作的功常力作功：变力作功：在线弹性范围内，外力P与位移l

间呈线性关系。荷载由零缓慢加载到终值；变形也由零缓慢变化到终值13-2杆件应变能的计算 线弹性条件下，通过外力1、轴向拉伸或压缩LP杆的应变能P1、轴向拉伸或压缩LP杆的应变能P由拉压杆件组成的杆系的应变能：受力复杂杆(轴力沿杆的轴线变化)的应变能P2PKBCD12345qLxdx由拉压杆件组成的杆系的应变能：受力复杂杆(轴力沿杆的轴线变化2、圆截面杆的扭转应变能圆截面杆的应变能

m2、圆截面杆的扭转应变能圆截面杆的应变能

m受力复杂的圆截面杆(扭矩沿杆的轴线为变量)

xdxLtAB受力复杂的圆截面杆(扭矩沿杆的轴线为变量)xdxLtAB3、平面弯曲的应变能纯弯曲梁的应变能：m3、平面弯曲的应变能纯弯曲梁的应变能：m横力弯曲梁(弯矩沿梁的轴线为变量)的应变能Pm=PaACBaa横力弯曲梁(弯矩沿梁的轴线为变量)的应变能Pm=PaACBa一般实心截面的细长梁:剪切变形能远小于其弯曲变形能，通常忽略不计。圆环形截面:k=2；4、剪切k由截面的几何形状决定:矩形截面:k=1.2；圆截面:k=10/9；一般实心截面的细长梁:剪切变形能远小于其弯曲变形能，通常忽略1各杆的抗拉压刚度相等EA相等。求系统的应变能P45LL1各杆的抗拉压刚度相等EA相等。求系统的应变能P45LL2同种材料，弹性模量E已知。求系统的应变能PAL2AL2同种材料，弹性模量E已知。求系统的应变能PAL2AL3抗弯刚度EI为常量。求系统的应变能2L/3M3抗弯刚度EI为常量。求系统的应变能2L/3M2L/3PL/34抗弯刚度EI为常量。求系统的应变能2L/3PL/34抗弯刚度EI为常量。求系统的应变能P5抗弯刚度EI为常量。求系统的应变能P5抗弯刚度EI为常量。求系统的应变能6、已知杆件的抗拉压刚度为EI，在截面的下端与刚性平面间有一间隙Δ，当A截面处有轴向力P，使C截面的位移等于Δ时，杆件的应变能为

。ACab6、已知杆件的抗拉压刚度为EI，在截面的下端与刚性平面间有一7、直角折轴的抗弯刚度为EI抗扭高度为GIP，在两个集中力P的作用下，AB杆的应变形能为

。PPaL7、直角折轴的抗弯刚度为EI抗扭高度为GIP，在两个集中力P一、克拉贝依隆原理13-3应变能的普遍表达式广义力P1，P2，…，Pn作用于物体，且设按同一比例系数β从零增长到终值。相应地物体产生变形δ1，δ2，…，δn，对于线性弹性材料，则变形也将按相同比例β增加；P2P1Pnδ1δ2δn一、克拉贝依隆原理13-3应变能的普遍表达式广义力P外力对物体做功，功以应变能储藏在物体内；如果外力在某一中间值βP1，βP2，…，βPn时各点处的广义位移达到中间值βδ1，βδ

2，…，βδ

n时有一增量dβ

力在位移增量上做总功Piδi(δi

、Pi)βPiβδidβδi力在位移增量上做功外力对物体做功，功以应变能储藏在物体内；如果外力在某一中间β从0到1外力做功物体的应变能为克拉贝依隆原理β从0到1外力做功物体的应变能为克拉贝依隆原理组合变形时的变形能，，

组合变形时的变形能，，

注意以上计算公式仅适用于线弹性材料、在小变形下的应变能的计算3只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不做功时，才可应用。2应变能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理在同种应变能计算中不能使用。4应变能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关；在杆系结构中，各杆可独立选取坐标系。注意以上计算公式仅适用于线弹性材料、在小变形下的应变能的计例1图示等截面悬臂梁，E,A,I已知。在自由端受集中力P和集中力偶M作用。设材料是线弹性的，试计算梁的应变能。略去剪力的影响.

PML例1图示等截面悬臂梁，E,A,I已知。在自由端受PMLP2刚度EI、GIP为常量。求系统的应变能P2刚度EI、GIP为常量。求系统的应变能13-4互等定理考虑两组力P，Q作用于物体;第一组力有m个载荷P1，P2，…，Pm;第二组力有n个载荷Q1，Q2，…，Qn。13-4互等定理考虑两组力P，Q作用于物体;第一组力有若先将第一组力Pi（i=1,2,…,m）单独作用力做功P1PiδP1δPiδQ1δQjQ1QjQj在其相应位移上做功为随后作用上第二组力Qj（j=1,2,…,n）若先将第一组力Pi（i=1,2,…,m）单独作用力做功P1P与此同时，因为Pi力的存在，且已达到终值且值不变；Pi在Qj产生的位移做功P1PiδP1δPiδQ1δQjQ1Qjδ’Piδ’P1第二组力Qj引起第一组力的作用点的位移与此同时，因为Pi力的存在，且已达到终值且值不变；Pi在Qj先加P后加Q时做功总和为：

将加载次序反过来，先加力Q后加力P，Qj在相应位移上做功为：再加Pi(i=1,2,…,m)力，Pi在其相应位移做功先加P后加Q时做功总和为：将加载次序反过来，先加力同时物体上已作用有Qj且其值不变，Qj在由于Pi引起的Qj作用点沿Qj方向的位移上做功两组力所做的总功为：同时物体上已作用有Qj且其值不变，Qj在由于Pi引起的Qj作由于变形能只决定于力与位移的最终值，与加力次序无关，故有V1=V2，

功的互等定理由于变形能只决定于力与位移的最终值，与加力次序无关，故有V1位移互等定理设两组力Pi、Qj只有一个力P1、Q1作用于物体，若，则有位移互等定理位移互等定理设两组力Pi、Qj只有一个力P1、Q1作用于物体APLaB例题：装有尾顶针的车削工件可简化成超静定梁，如图，试用互等定理求解。APLaB例题：装有尾顶针的车削工件可简化成超静定梁，如图，第一组力：第二组力第一组力在第二组力引起的位移上做功APLaBRP、RX=1δ1δ2X=1第一组力：第二组力第一组力在第二组力引起的位移上做功APLa第二组力在第一组力引起的位移上做功：功互等定理APLaBRX=1δ1δ2零第二组力在第一组力引起的位移上做功：功互等定理APLaBR1、已知梁在力偶M的单独作用下C截面的挠度为yc＝3毫米，则在力P单独作用下D截面的转角为θD=

。P=2KNM=1KNmCCDD1、已知梁在力偶M的单独作用下C截面的挠度为yc＝3毫米，则2、欲测定图示梁端截面的转角θA，但只有测量挠度的仪器，你怎样用改变加载方式的方法达到此目的？θAAP2、欲测定图示梁端截面的转角θA，但只有测量挠度的仪器，你怎3、两相同的平面刚架受载如图，下列关系中正确的是：

。A：xB(a)=xC(b)B：yC(b)=θB(a)C：yB(a)=yC(b)D：yC(a)=θB(b)ABCP=1(a)ABCM=1(b)3、两相同的平面刚架受载如图，下列关系中正确的是：4、将千分尺安装在梁上，可以测出安置点所在位置处的挠度。为了测出图示梁在力P作用下的挠曲线，就必须将千分尺沿梁的长度方向逐点安置并测定该点的挠度。用什麽办法可以不移动千分尺就能够测出该梁的挠曲线？千分尺P4、将千分尺安装在梁上，可以测出安置点所在位置处的挠度。为了5、两根完全相同的悬臂梁在某处用一拉杆连接,在图a中,将A处支座向上移动距离ΔA时,B处相应上移ΔB。在图b中,将A处支座放置在水平位置，在B处承受向下的集中力P，求此时A支座的约束反力。APAΔAΔBBab5、两根完全相同的悬臂梁在某处用一拉杆连接,在图a中,将A处设在梁上作用有外力,求梁轴线上任一点C处的挠度。

在外力作用下，梁的应变能为13-7莫尔积分CF1FnFi一方面：从外力的功看总应变能设在梁上作用有外力外载全部卸掉，支座保持不变，在求挠度的点沿挠度方向加一单位力；外载在梁上作的功仍等于在单位力的作用下，梁的应变能为再将原来一组载荷作用于梁上。由于材料服从胡克定律,且变形很小,1.0CF1FnFi1.0fc外载全部卸掉，支座保持不变，在求挠度的点沿挠度方向加一单位力由于外载的作用，在C点发生的挠度即为所求。所以梁的总应变能：而单位力在外载

产生的过程中一直保持为常量，故单位力在上做功如果载荷与单位力同时加在梁上，梁截面上的弯矩为

梁的总应变能为CF1FnFi1.0δc另一方面：从内力方程看总应变能由于外载的作用，在C点发生的挠度即为所求两种情况都是构件的总应变能两种情况都是构件的总应变能：单位载荷引起的弯矩。——莫尔积分法又称单位载荷法。M(x)

：实际载荷引起的弯矩；求转角的莫尔积分在欲求截面处施加一单位力偶：单位载荷引起的弯矩。——莫尔积分法又称单位载荷拉压变形的莫尔积分扭转变形的莫尔积分拉压变形的莫尔积分扭转变形的莫尔积分如果杆件同时产生拉压、扭转和弯曲变形，要求在某一方向的广义位移

;

可在此方向上加一单位力，以莫尔积分求出该方向的广义位移；如果杆件同时产生拉压、扭转和弯曲变形，要求在某一方向的广义位注意几点1、施加单位力时所有的外载卸掉，支座保持不动；2、外载作用下的内力方程与单位力作用下的内力方程要求正方向与积分区间的严格一致；3、求位移施加力，求转角施加单位力偶4、结果为正，说明广义位移与单位力同向；5、外载作用下分段，单位载荷作用下也必须分成相应的段数；注意几点1、施加单位力时所有的外载卸掉，支座保持不动；2、外6、欲求的位移和施加的单位力应理解为广义力和广义位移。7、若为两点间的相对线位移，则单位力是施加在两点上的方向相反的一对单位力，其作用线与两点的连线重合。注意几点8、若为两截面间的相对转角，则单位力是施加在两截面上的方向相反的一对单位力偶；6、欲求的位移和施加的单位力应理解为广义力和广义位移。7、一个力一个力偶一对力一对力偶一个线位移一个角位移相对线位移相对角位移广义力与广义位移的对应关系一个力一个力偶一对力一对力偶一个线位移一个角位移相对线位移相1、在应用莫尔积分时，第一项表示什麽意思？1.0CABDPA：C点的总位移；B：C点沿CD方向的位移；C：C点铅垂位移；D：CD杆缩短引起B点的铅垂位移；1、在应用莫尔积分时，第一项表示什麽意思？1.0CABDPA2、受力如左图，施加单位力如右图，利用莫尔积分求得位移为：

。A：A截面的转角；B：B截面的转角；C：A、B两截面的相对转角；D：AB段单位长度扭转角；1.01.0AB2、受力如左图，施加单位力如右图，利用莫尔积分求得位移为：A：结构上的最大位移；B：单位力作用点处的总位移；C：单位力作用处的竖直位移；D：单位力作用处沿单位力方向上的位移；3、用莫尔积分ｆ＝求得的位移ｆ是：

。A：结构上的最大位移；3、用莫尔积分ｆ＝4、应用莫尔积分计算挠度时，结果为正，说明挠度的方向为：

。A：向上；B：向下；C：与单位力方向一致；D：与单位力方向反向；4、应用莫尔积分计算挠度时，结果为正，说明挠度的方向为：一、桁架的莫尔积分1、下列中的两个桁架各杆的抗拉压刚度均为EA，求B点的铅垂位移。BCDP一、桁架的莫尔积分1、下列中的两个桁架各杆的抗拉压刚度均为E2、各杆的抗拉压刚度相等均为EA，求B点的水平与铅垂位移，以及AD之间的相对位移。2PPaaBAD2、各杆的抗拉压刚度相等均为EA，求B点的水平与铅垂位移，以3、各杆的抗拉压刚度相等均为EA，求C点的水平位移及BC两点的相对位移。PBCaa3、各杆的抗拉压刚度相等均为EA，求C点的水平位移及BC两点4、各杆的抗拉压刚度相等均为EA，求B点的水平与铅垂位移；KC两点的相对位移。2PPBCDKaa4、各杆的抗拉压刚度相等均为EA，求B点的水平与铅垂位移；K二、直梁的莫尔积分各梁的抗弯刚度均为EI，求B截面的挠度、C截面的转角。qaaBC二、直梁的莫尔积分各梁的抗弯刚度均为EI，求B截面的挠度、CM＝qa2P=2qaqaaBC4m2m2m2m4KN8KN3KN/mBCM＝qa2P=2qaqaaBC4m2m2m2m4KN8KN3M=qa2P=qaaaaBCqMaaMBCM=qa2P=qaaaaBCqMaaMBCP＝qaP=qaM=PaaaaBCP＝qaP=qaM=PaaaaBC外伸梁受力如图所示，已知弹性模量EI。梁材料为线弹性体。求梁C截面和D截面的挠度。ABCPaPDaa外伸梁受力如图所示，已知弹性模量EI。梁材料三、刚架的莫尔积分图示中各刚架的抗弯刚度EI为常量CBPaa1、求B截面的铅垂位移；C截面的转角三、刚架的莫尔积分图示中各刚架的抗弯刚度EI为常量CBPaa2a2aM=PaPB2、求B截面的水平位移与转角2a2aM=PaPB2、求B截面的水平位移与转角M=PaP2aaBC3、求B截面的转角、C截面的水平位移M=PaP2aaBC3、求B截面的转角、C截面的水平位移4、求B截面的铅垂方向的挠度，C截面的转角。2a2P2aBCM=Pa4、求B截面的铅垂方向的挠度，C截面的转角。2a2P2aBCqM=2qa2aaaB5、求B截面的挠度与转角qM=2qa2aaaB5、求B截面的挠度与转角q2qa22a2aB6、求B截面的水平位移与转角q2qa22a2aB6、求B截面的水平位移与转角9、求B截面的水平位移与转角2a2aM=PaPB9、求B截面的水平位移与转角2a2aM=PaPB10、求B点的水平位移，C点的铅垂位移，A截面的转角P2PaaaaaaBCA10、求B点的水平位移，C点的铅垂位移，A截面的转角P2PaABCllq11圆截面杆ABC，（ABC=900）位于水平平面内，已知杆截面直径d及材料的弹性常数E,G。求C截面处的铅垂位移。不计剪力的影响。ABCllq11圆截面杆ABC，（ABC=900）位于水平四、相对位移与相对转角PBC1、求BC二截面的相对位移与相对转角P四、相对位移与相对转角PBC1、求BC二截面的相对位移与相对PPLLDE2、求DE二截面的相对位移PPLLDE2、求DE二截面的相对位移3、刚架各段的弹性模量均为E，直径为d。求C截面左右两侧的相对转角aaaCaP=qaq3、刚架各段的弹性模量均为E，直径为d。求C截面左右两侧的相4、求图示结构在铰链A处左右截面的相对转角。AE=AD=a/2，BE=CD=a。抗弯刚度EI为常量。PABCDE4、求图示结构在铰链A处左右截面的相对转角。AE=AD=a/5、梁的抗弯刚度为EI，受载如图。求中间铰B处左右两截面的相对转角。PqABC5、梁的抗弯刚度为EI，受载如图。求中间铰B处左右两截面的相qABCll6抗弯刚度均为EI的静定组合梁ABC，受力如图所示。梁材料为线弹性体，不计剪应变对梁变形的影响。求梁中间铰B两侧截面的相对转角。qABCll6抗弯刚度均为EI的静定组合梁ABC，受力如7已知开口圆环受力如图，材料为线弹性，抗弯刚度EI

求：圆环的张开位移△（不计剪力及轴力的影响）。7已知开口圆环受力如图，材料为线弹性，抗弯刚度EIaaa6012BCD1、图示中，杆1、2的抗拉压刚度相等均为EA，BD梁的抗弯刚度为EI。梁的中点作用一集中载荷P，求力P作用点C的铅垂挠度。P五、莫尔积分综合aaa6012BCD1、图示中，杆1、2的抗拉压刚度相等均为PPaaaBC2、分别求力的作用点B、C的水平位移PPaaaBC2、分别求力的作用点B、C的水平位移3、用能量法求C点的铅垂位移。已知AC杆的抗弯刚度EI，BD杆的抗拉压刚度为EA。受弯构件不计轴力和剪力的影响。BD杆不会失稳。PBDAaaC3、用能量法求C点的铅垂位移。已知AC杆的抗弯刚度EI，BD4、已知AC杆长为L，对中性轴的惯性矩为I，与铅垂线成45度角；BD杆的横截面面积为A，，长为L/2，且垂直于AC杆；采用同种材料，弹性模量为E。求C点的铅垂位移。PCBAD4、已知AC杆长为L，对中性轴的惯性矩为I，与铅垂线成45度5、钢索的弹性模量为E1，横截面面积A1，与水平线分别60度角。力P已知。横梁的抗弯刚度为EI，抗拉压刚度为EA2。求力P作用点的铅垂位移。PLL/2L/2BCDGE5、钢索的弹性模量为E1，横截面面积A1，与水平线分别60度6、图示结构，杆AB的抗弯刚度为EI，拉杆CF的长度为L，抗拉压刚度为EA。求B截面的铅垂位移和转角。a2aM=PaPABCF6、图示结构，杆AB的抗弯刚度为EI，拉杆CF的长度为L，抗设在某弹性体上作用有外力，在支承约束下，在相应的力方向产生的位移为，(i=1,2,…,n)。可以证明：13-5卡氏定理设在某弹性体上作用有外力，在支承约束下，在相应的力方向产

注意：只有当弹性系统为线性，即其位移与载荷成线性关系时，才能应用卡氏定理。应用卡氏定理求出为正时，表示该广义位移与其相应的广义力作用的方向一致；若为负值，则表示方向相反。注意：只有当弹性系统为线性，即其位移与载荷成线性关应用证明：再加增量，则变形能U的增量dU为梁的总变形能为：(a)考虑两种不同的加载次序。(1)先加，此时弹性体的变形能为U：证明：再加增量，则变形能U的增量dU为梁的总变形能为：(2)

先加，然后再加，此时弹性体的变形能由三部分组成：梁的总变形能为：(b)(a)在相应的位移上所作的功(b)在相应位移上所作的功：(c)原先作用在梁上的对位移所作的功(2)先加，然后再加，此时弹根据弹性体的变形能只决定于外力的最终值，而与加载的次序无关。(a)(b)两式相等：略去二阶微量，化简后得：根据弹性体的变形能只决定于外力的最终值，而与加载的卡氏定理的特殊形式(1)横力弯曲的梁：对于刚架，若忽略轴力和剪力对于变形的影响，则也可应用上式计算变形。(2)小曲率的平面曲杆式中s—沿曲杆轴线的曲线长度。卡氏定理的特殊形式(1)横力弯曲的梁：对于刚架，若忽略轴力和(3)桁架(4)产生拉(压)、扭转与弯曲的组合变形的圆截面等直杆(3)桁架(4)产生拉(压)、扭转与弯曲的组合变形的圆截练习：结构受力如图所示,

F=2KN,L=3m,设AB杆的抗弯刚度为EI,CD杆的抗拉刚度为EA,不计剪力的影响.试用卡氏定理求B端的竖直位移。ALFCL/2B2L/3D练习：结构受力如图所示,F=2KN,L=3m,设AB杆的

在所求位移处沿所求位移的方向上加上一个虚设的集中力或集中力偶；或一对力或一对力偶，此时应变能为：或若所得位移为正，则表示与附加力的方向一致；若为负值，则表示与虚加力的方向相反。*附加载荷法由卡氏定理得：在所求位移处沿所求位移的方向上加上一个虚设的试用卡氏定理求A端的竖直位移。试用卡氏定理求A端的竖直位移。M(x)：曲线或直线：直线13-8图形互乘法M(x)：曲线或直线：直线13-8图形互乘法xxxdxM(x)CxM式中，--M(x)图形的面积，

的正负号规定:

M(x)图为正弯矩时,面积取正值;否则取负值。M(x)图形的形心C点所对应的图形上的纵坐标值。xxxdxM(x)CxM式中，--M(x)图形的面积，利用图乘法可以将产生基本变形的杆件的位移计算公式写成：拉压：弯曲扭转式中,—分别为在载荷作用下，轴力图、弯矩图及扭矩图的面积。—内力图中与图形心C位置所对应的内力坐标值。利用图乘法可以将产生基本变形的杆件的位移计算公式写成：拉压：常见M(x)图形的面积及形心的位置：L(L+a)/3(L+b)/3abhchb/3bc3b/4b/4h顶点c二次抛物线二次抛物线c5b/83b/8h顶点常见M(x)图形的面积及形心的位置：L(L+a)/3(L+b计算1试用图乘法确定D点的挠度和转角，EI已知（剪力影响不计）。ABLLLqLCDq计算1试用图乘法确定D点的挠度和转角，EI已知（剪力影响不计算2图示折杆，各段长度均为L，C端固定，A端自由，并受力作用,欲使点A的线位移沿着力P的作用线。试确定力P作用线的倾斜角（轴力、剪力影响不计）ABCP计算2图示折杆，各段长度均为L，C端固定，A端自由，并受力关于图乘法公式的注意点：3、若M(x)为曲线，而为折线，则应以折线的交点为界分段使用图乘法，然后求其总和。1、所计算的杆件是等截面直杆；2、若两个内力图都是直线的，则面积与内力坐标值的选取可以互换；关于图乘法公式的注意点：3、若M(x)为曲线，而为返回到本章目录返回到本章目录

材料力学基础能量法材料力学基础强度理论解决了组合变形的强度问题

组合变形的刚度问题怎么办？能否避免组合变形的微分方程能否只求出若干控制点的变形，避免求整个变形曲线弯曲变形积分法求变形得到整个挠曲线强度理论解决了组合变形的强度问题组合变形的刚度问题怎么办？13-1概述 13-2杆件应变能的计算

13-3应变能的普遍表达式13-4互等定理13-7莫尔积分13-8图形互乘法13-5卡氏定理13-1概述 13-2杆件应变能的计算弹性体受拉力P作用，当P从零开始到终值缓慢加载时，力P在其作用方向上的相应位移也由零增至终值ΔL；一方面：力要做功；弹性体因变形而具有做功的能力，力的作用点沿力的方向有位移另一方面：表明杆件内储存了应变能13-1概述 P弹性体受拉力P作用，当P从零开始到终值缓慢加载时，力P在其作如果略去变形过程中的动能及其它能量的损失；功能原理V=W

若外力在由零缓慢加载到终值，变形中的每一瞬间，变形体均处于平衡状态；由能量守恒原理，杆件的变形能V在数值上应等于外力做的功W；对变形体都适用的普遍原理如果略去变形过程中的动能及其它能量的损失；功能原理V=W若因为变形体产生塑性变形时要消耗一部分能量，留下残余变形。弹性固体变形是可逆的；当外力解除后，弹性体将恢复其原来形状，释放出变形能而做功。但当超出了弹性范围，具有塑性变形的固体，变形能不能全部转变为功，因为变形体产生塑性变形时要消耗一部分能量，留下残余变形。弹性也是当今应用甚广的有限元法求解力学问题的重要基础。能量原理固体力学中运用功与能有关的基本原理；由能量原理发展出来的方法；能量法能量原理是在总体上从功与能的角度考察变形体的受力、应力与变形的原理与方法；是进一步学习固体力学的基础也是当今应用甚广的有限元法求解力学问题的重要基础。能量原理固能量法的用处能量法的优点不管中间过程，只算最终状态能量是标量，容易计算用于求位移能量法的用处能量法的优点不管中间过程，只算最终状态能量是标量13-2杆件应变能的计算

线弹性条件下，通过外力功求应变能常力P沿其方向线位移l上所作的功常力作功：变力作功：在线弹性范围内，外力P与位移l

间呈线性关系。荷载由零缓慢加载到终值；变形也由零缓慢变化到终值13-2杆件应变能的计算 线弹性条件下，通过外力1、轴向拉伸或压缩LP杆的应变能P1、轴向拉伸或压缩LP杆的应变能P由拉压杆件组成的杆系的应变能：受力复杂杆(轴力沿杆的轴线变化)的应变能P2PKBCD12345qLxdx由拉压杆件组成的杆系的应变能：受力复杂杆(轴力沿杆的轴线变化2、圆截面杆的扭转应变能圆截面杆的应变能

m2、圆截面杆的扭转应变能圆截面杆的应变能

m受力复杂的圆截面杆(扭矩沿杆的轴线为变量)

xdxLtAB受力复杂的圆截面杆(扭矩沿杆的轴线为变量)xdxLtAB3、平面弯曲的应变能纯弯曲梁的应变能：m3、平面弯曲的应变能纯弯曲梁的应变能：m横力弯曲梁(弯矩沿梁的轴线为变量)的应变能Pm=PaACBaa横力弯曲梁(弯矩沿梁的轴线为变量)的应变能Pm=PaACBa一般实心截面的细长梁:剪切变形能远小于其弯曲变形能，通常忽略不计。圆环形截面:k=2；4、剪切k由截面的几何形状决定:矩形截面:k=1.2；圆截面:k=10/9；一般实心截面的细长梁:剪切变形能远小于其弯曲变形能，通常忽略1各杆的抗拉压刚度相等EA相等。求系统的应变能P45LL1各杆的抗拉压刚度相等EA相等。求系统的应变能P45LL2同种材料，弹性模量E已知。求系统的应变能PAL2AL2同种材料，弹性模量E已知。求系统的应变能PAL2AL3抗弯刚度EI为常量。求系统的应变能2L/3M3抗弯刚度EI为常量。求系统的应变能2L/3M2L/3PL/34抗弯刚度EI为常量。求系统的应变能2L/3PL/34抗弯刚度EI为常量。求系统的应变能P5抗弯刚度EI为常量。求系统的应变能P5抗弯刚度EI为常量。求系统的应变能6、已知杆件的抗拉压刚度为EI，在截面的下端与刚性平面间有一间隙Δ，当A截面处有轴向力P，使C截面的位移等于Δ时，杆件的应变能为

。ACab6、已知杆件的抗拉压刚度为EI，在截面的下端与刚性平面间有一7、直角折轴的抗弯刚度为EI抗扭高度为GIP，在两个集中力P的作用下，AB杆的应变形能为

。PPaL7、直角折轴的抗弯刚度为EI抗扭高度为GIP，在两个集中力P一、克拉贝依隆原理13-3应变能的普遍表达式广义力P1，P2，…，Pn作用于物体，且设按同一比例系数β从零增长到终值。相应地物体产生变形δ1，δ2，…，δn，对于线性弹性材料，则变形也将按相同比例β增加；P2P1Pnδ1δ2δn一、克拉贝依隆原理13-3应变能的普遍表达式广义力P外力对物体做功，功以应变能储藏在物体内；如果外力在某一中间值βP1，βP2，…，βPn时各点处的广义位移达到中间值βδ1，βδ

2，…，βδ

n时有一增量dβ

力在位移增量上做总功Piδi(δi

、Pi)βPiβδidβδi力在位移增量上做功外力对物体做功，功以应变能储藏在物体内；如果外力在某一中间β从0到1外力做功物体的应变能为克拉贝依隆原理β从0到1外力做功物体的应变能为克拉贝依隆原理组合变形时的变形能，，

组合变形时的变形能，，

注意以上计算公式仅适用于线弹性材料、在小变形下的应变能的计算3只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不做功时，才可应用。2应变能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理在同种应变能计算中不能使用。4应变能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关；在杆系结构中，各杆可独立选取坐标系。注意以上计算公式仅适用于线弹性材料、在小变形下的应变能的计例1图示等截面悬臂梁，E,A,I已知。在自由端受集中力P和集中力偶M作用。设材料是线弹性的，试计算梁的应变能。略去剪力的影响.

PML例1图示等截面悬臂梁，E,A,I已知。在自由端受PMLP2刚度EI、GIP为常量。求系统的应变能P2刚度EI、GIP为常量。求系统的应变能13-4互等定理考虑两组力P，Q作用于物体;第一组力有m个载荷P1，P2，…，Pm;第二组力有n个载荷Q1，Q2，…，Qn。13-4互等定理考虑两组力P，Q作用于物体;第一组力有若先将第一组力Pi（i=1,2,…,m）单独作用力做功P1PiδP1δPiδQ1δQjQ1QjQj在其相应位移上做功为随后作用上第二组力Qj（j=1,2,…,n）若先将第一组力Pi（i=1,2,…,m）单独作用力做功P1P与此同时，因为Pi力的存在，且已达到终值且值不变；Pi在Qj产生的位移做功P1PiδP1δPiδQ1δQjQ1Qjδ’Piδ’P1第二组力Qj引起第一组力的作用点的位移与此同时，因为Pi力的存在，且已达到终值且值不变；Pi在Qj先加P后加Q时做功总和为：

将加载次序反过来，先加力Q后加力P，Qj在相应位移上做功为：再加Pi(i=1,2,…,m)力，Pi在其相应位移做功先加P后加Q时做功总和为：将加载次序反过来，先加力同时物体上已作用有Qj且其值不变，Qj在由于Pi引起的Qj作用点沿Qj方向的位移上做功两组力所做的总功为：同时物体上已作用有Qj且其值不变，Qj在由于Pi引起的Qj作由于变形能只决定于力与位移的最终值，与加力次序无关，故有V1=V2，

功的互等定理由于变形能只决定于力与位移的最终值，与加力次序无关，故有V1位移互等定理设两组力Pi、Qj只有一个力P1、Q1作用于物体，若，则有位移互等定理位移互等定理设两组力Pi、Qj只有一个力P1、Q1作用于物体APLaB例题：装有尾顶针的车削工件可简化成超静定梁，如图，试用互等定理求解。APLaB例题：装有尾顶针的车削工件可简化成超静定梁，如图，第一组力：第二组力第一组力在第二组力引起的位移上做功APLaBRP、RX=1δ1δ2X=1第一组力：第二组力第一组力在第二组力引起的位移上做功APLa第二组力在第一组力引起的位移上做功：功互等定理APLaBRX=1δ1δ2零第二组力在第一组力引起的位移上做功：功互等定理APLaBR1、已知梁在力偶M的单独作用下C截面的挠度为yc＝3毫米，则在力P单独作用下D截面的转角为θD=

。P=2KNM=1KNmCCDD1、已知梁在力偶M的单独作用下C截面的挠度为yc＝3毫米，则2、欲测定图示梁端截面的转角θA，但只有测量挠度的仪器，你怎样用改变加载方式的方法达到此目的？θAAP2、欲测定图示梁端截面的转角θA，但只有测量挠度的仪器，你怎3、两相同的平面刚架受载如图，下列关系中正确的是：

。A：xB(a)=xC(b)B：yC(b)=θB(a)C：yB(a)=yC(b)D：yC(a)=θB(b)ABCP=1(a)ABCM=1(b)3、两相同的平面刚架受载如图，下列关系中正确的是：4、将千分尺安装在梁上，可以测出安置点所在位置处的挠度。为了测出图示梁在力P作用下的挠曲线，就必须将千分尺沿梁的长度方向逐点安置并测定该点的挠度。用什麽办法可以不移动千分尺就能够测出该梁的挠曲线？千分尺P4、将千分尺安装在梁上，可以测出安置点所在位置处的挠度。为了5、两根完全相同的悬臂梁在某处用一拉杆连接,在图a中,将A处支座向上移动距离ΔA时,B处相应上移ΔB。在图b中,将A处支座放置在水平位置，在B处承受向下的集中力P，求此时A支座的约束反力。APAΔAΔBBab5、两根完全相同的悬臂梁在某处用一拉杆连接,在图a中,将A处设在梁上作用有外力,求梁轴线上任一点C处的挠度。

在外力作用下，梁的应变能为13-7莫尔积分CF1FnFi一方面：从外力的功看总应变能设在梁上作用有外力外载全部卸掉，支座保持不变，在求挠度的点沿挠度方向加一单位力；外载在梁上作的功仍等于在单位力的作用下，梁的应变能为再将原来一组载荷作用于梁上。由于材料服从胡克定律,且变形很小,1.0CF1FnFi1.0fc外载全部卸掉，支座保持不变，在求挠度的点沿挠度方向加一单位力由于外载的作用，在C点发生的挠度即为所求。所以梁的总应变能：而单位力在外载

产生的过程中一直保持为常量，故单位力在上做功如果载荷与单位力同时加在梁上，梁截面上的弯矩为

梁的总应变能为CF1FnFi1.0δc另一方面：从内力方程看总应变能由于外载的作用，在C点发生的挠度即为所求两种情况都是构件的总应变能两种情况都是构件的总应变能：单位载荷引起的弯矩。——莫尔积分法又称单位载荷法。M(x)

：实际载荷引起的弯矩；求转角的莫尔积分在欲求截面处施加一单位力偶：单位载荷引起的弯矩。——莫尔积分法又称单位载荷拉压变形的莫尔积分扭转变形的莫尔积分拉压变形的莫尔积分扭转变形的莫尔积分如果杆件同时产生拉压、扭转和弯曲变形，要求在某一方向的广义位移

;

可在此方向上加一单位力，以莫尔积分求出该方向的广义位移；如果杆件同时产生拉压、扭转和弯曲变形，要求在某一方向的广义位注意几点1、施加单位力时所有的外载卸掉，支座保持不动；2、外载作用下的内力方程与单位力作用下的内力方程要求正方向与积分区间的严格一致；3、求位移施加力，求转角施加单位力偶4、结果为正，说明广义位移与单位力同向；5、外载作用下分段，单位载荷作用下也必须分成相应的段数；注意几点1、施加单位力时所有的外载卸掉，支座保持不动；2、外6、欲求的位移和施加的单位力应理解为广义力和广义位移。7、若为两点间的相对线位移，则单位力是施加在两点上的方向相反的一对单位力，其作用线与两点的连线重合。注意几点8、若为两截面间的相对转角，则单位力是施加在两截面上的方向相反的一对单位力偶；6、欲求的位移和施加的单位力应理解为广义力和广义位移。7、一个力一个力偶一对力一对力偶一个线位移一个角位移相对线位移相对角位移广义力与广义位移的对应关系一个力一个力偶一对力一对力偶一个线位移一个角位移相对线位移相1、在应用莫尔积分时，第一项表示什麽意思？1.0CABDPA：C点的总位移；B：C点沿CD方向的位移；C：C点铅垂位移；D：CD杆缩短引起B点的铅垂位移；1、在应用莫尔积分时，第一项表示什麽意思？1.0CABDPA2、受力如左图，施加单位力如右图，利用莫尔积分求得位移为：

。A：A截面的转角；B：B截面的转角；C：A、B两截面的相对转角；D：AB段单位长度扭转角；1.01.0AB2、受力如左图，施加单位力如右图，利用莫尔积分求得位移为：A：结构上的最大位移；B：单位力作用点处的总位移；C：单位力作用处的竖直位移；D：单位力作用处沿单位力方向上的位移；3、用莫尔积分ｆ＝求得的位移ｆ是：

。A：结构上的最大位移；3、用莫尔积分ｆ＝4、应用莫尔积分计算挠度时，结果为正，说明挠度的方向为：

。A：向上；B：向下；C：与单位力方向一致；D：与单位力方向反向；4、应用莫尔积分计算挠度时，结果为正，说明挠度的方向为：一、桁架的莫尔积分1、下列中的两个桁架各杆的抗拉压刚度均为EA，求B点的铅垂位移。BCDP一、桁架的莫尔积分1、下列中的两个桁架各杆的抗拉压刚度均为E2、各杆的抗拉压刚度相等均为EA，求B点的水平与铅垂位移，以及AD之间的相对位移。2PPaaBAD2、各杆的抗拉压刚度相等均为EA，求B点的水平与铅垂位移，以3、各杆的抗拉压刚度相等均为EA，求C点的水平位移及BC两点的相对位移。PBCaa3、各杆的抗拉压刚度相等均为EA，求C点的水平位移及BC两点4、各杆的抗拉压刚度相等均为EA，求B点的水平与铅垂位移；KC两点的相对位移。2PPBCDKaa4、各杆的抗拉压刚度相等均为EA，求B点的水平与铅垂位移；K二、直梁的莫尔积分各梁的抗弯刚度均为EI，求B截面的挠度、C截面的转角。qaaBC二、直梁的莫尔积分各梁的抗弯刚度均为EI，求B截面的挠度、CM＝qa2P=2qaqaaBC4m2m2m2m4KN8KN3KN/mBCM＝qa2P=2qaqaaBC4m2m2m2m4KN8KN3M=qa2P=qaaaaBCqMaaMBCM=qa2P=qaaaaBCqMaaMBCP＝qaP=qaM=PaaaaBCP＝qaP=qaM=PaaaaBC外伸梁受力如图所示，已知弹性模量EI。梁材料为线弹性体。求梁C截面和D截面的挠度。ABCPaPDaa外伸梁受力如图所示，已知弹性模量EI。梁材料三、刚架的莫尔积分图示中各刚架的抗弯刚度EI为常量CBPaa1、求B截面的铅垂位移；C截面的转角三、刚架的莫尔积分图示中各刚架的抗弯刚度EI为常量CBPaa2a2aM=PaPB2、求B截面的水平位移与转角2a2aM=PaPB2、求B截面的水平位移与转角M=PaP2aaBC3、求B截面的转角、C截面的水平位移M=PaP2aaBC3、求B截面的转角、C截面的水平位移4、求B截面的铅垂方向的挠度，C截面的转角。2a2P2aBCM=Pa4、求B截面的铅垂方向的挠度，C截面的转角。2a2P2aBCqM=2qa2aaaB5、求B截面的挠度与转角qM=2qa2aaaB5、求B截面的挠度与转角q2qa22a2aB6、求B截面的水平位移与转角q2qa22a2aB6、求B截面的水平位移与转角9、求B截面的水平位移与转角2a2aM=PaPB9、求B截面的水平位移与转角2a2aM=PaPB10、求B点的水平位移，C点的铅垂位移，A截面的转角P2PaaaaaaBCA10、求B点的水平位移，C点的铅垂位移，A截面的转角P2PaABCllq11圆截面杆ABC，（ABC=900）位于水平平面内，已知杆截面直径d及材料的弹性常数E,G。求C截面处的铅垂位移。不计剪力的影响。ABCllq11圆截面杆ABC，（ABC=900）位于水平四、相对位移与相对转角PBC1、求BC二截面的相对位移与相对转角P四、相对位移与相对转角PBC1、求BC二截面的相对位移与相对PPLLDE2、求DE二截面的相对位移PPLLDE2、求DE二截面的相对位移3、刚架各段的弹性模量均为E，直径为d。求C截面左右两侧的相对转角aaaCaP=qaq3、刚架各段的弹性模量均为E，直径为d。求C截面左右两侧的相4、求图示结构在铰链A处左右截面的相对转角。AE=AD=a/2，BE=CD=a。抗弯刚度EI为常量。PABCDE4、求图示结构在铰链A处左右截面的相对转角。AE=AD=a/5、梁的抗弯刚度为EI，受载如图。求中间铰B处左右两截面的相对转角。PqABC5、梁的抗弯刚度为EI，受载如图。求中间铰B处左右两截面的相qABCll6抗弯刚度均为EI的静定组合梁ABC，受力如图所示。梁材料为线弹性体，不计剪应变对梁变形的影响。求梁中间铰B两侧截面的相对转角。qABCll6抗弯刚度均为EI的静定组合梁ABC，受力如7已知开口圆环受力如图，材料为线弹性，抗弯刚度EI

求：圆环的张开位移△（不计剪力及轴力的影响）。7已知开口圆环受力如图，材料为线弹性，抗弯刚度EIaaa6012BCD1、图示中，杆1、2的抗拉压刚度相等均为EA，BD梁的抗弯刚度为EI。梁的中点作用一集中载荷P，求力P作用点C的铅垂挠度。P五、莫尔积分综合aaa6012BCD1、图示中，杆1、2的抗拉压刚度相等均为PPaaaBC2、分别求力的作用点B、C的水平位移PPaaaBC2、分别求力的作用点B、C的水平位移3、用能量法求C点的铅垂位移。已知AC杆的抗弯刚度EI，BD杆的抗拉压刚度为EA。受弯构件不计轴力和剪力的影响。BD杆不会失稳。PBDAaaC3、用能量法求C点的铅垂位移。已知AC杆的抗弯刚度EI，BD4、已知AC杆长为L，对中性轴的惯性矩为I，与铅垂线成45度角；BD杆的横截面面积为A，，长为L/2，且垂直于AC杆；采用同种材料，弹性模量为E。求C点的铅垂位移。PCBAD4、已知AC杆长为L，对中性轴的惯性矩为I，与铅垂线成45度5、钢索的弹性模量为E1，横截面面积A1，与水平线分别60度角。力P已知。横梁的抗弯刚度为EI，抗拉压刚度为EA2。求力