人教版数学九年级上册24切线的判定与性质课件

24.2.2(2)切线的判定与性质24.2.2(2)切线的判定与性质11当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？2砂轮打磨工件飞出火星的方向是什么方向？一、教学引入❏生活中直线与圆相切的实例一、教学引入❏生活中直线与圆相切的实例2经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。直线与圆相切的判定定理：∵OA＝OB，CA＝CB，∴假设不成立，即AT⊥OA例2如图，已知点O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O.如果AB是⊙O的切线，OA⊥AB，那么A是求证：AC是⊙O的切线(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。⑤经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心求证：AC是⊙O的切线经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。∵l⊥OA，且l经过⊙O上的A点即圆心O到直线AT的距离d＜R2(2)切线的判定与性质即圆心O到直线AT的距离d＜R④经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理．简记为：无交点，作垂直,证半径。经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

O请在⊙O上任意取一点A，连接OA。过点A作直线l⊥OA。思考一下问题：1.圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么数量关系?2.二者位置有什么关系？为什么？3.由此你发现了什么？lA二、探索新知经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。O3发现：(1)直线l经过半径OA的外端点A；

(2)直线l垂直于半径0A．

则:直线l与⊙O相切AOl经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理．发现：(1)直线l经过半径OA的外端点A；AOl4即圆心O到直线AT的距离d＜R如果AB切⊙O于A，求证：AC是⊙O的切线经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。如果半径OA⊥AB，那么AB是已知直线和圆相切时：常连接切点与圆心。④经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心直线AB经过半径0C的外端C，并且垂直于半径OC，∵OA＝OB，CA＝CB，经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心∴OC是等腰三角形0AB底边AB上的中线．分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可。经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。求证：AC是⊙O的切线求证：AC是⊙O的切线经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。只要证明这条直线垂直于经过切点的半径.例2如图，已知点O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O.求证：AC是⊙O的切线直线与圆相切的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。对定理的理解：切线需满足两条：①经过半径外端；②垂直于这条半径．即圆心O到直线AT的距离d＜R直线与圆相切的判定定理：5经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。条件：(1)经过半径外端；(2)垂直于这条半径∵l⊥OA，且l经过⊙O上的A点∴直线l是⊙O的切线●O┐Al几何表述:（或者∵OA是圆O的半径，且l⊥OA于A点，）经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。条件：(16例１

已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O的切线．直线AB经过半径0C的外端C，并且垂直于半径OC，∴AB是⊙O的切线．ABCO证明：连结OC∵OA＝OB，CA＝CB，∴OC是等腰三角形0AB底边AB上的中线．∴AB⊥OC．方法小结:证明过圆上一点的直线是圆的切线.只要证明这条直线垂直于经过切点的半径.分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可。三、典型例题例１已知：直线AB经过⊙O上的点C，并7例2如图，已知点O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O.求证：AC与⊙O相切。例2如图，已知点O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,8思考:例1与例2的证法有何不同?

(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：有交点，连半径,证垂直。(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：无交点，作垂直,证半径。OBAC四、应用拓展思考:例1与例2的证法有何不同?OBAC四、应用拓展9.OAl将上页思考中的问题反过来,如果直线l是⊙O的切线,切点为A,那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢?一定垂直切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径?思考五、探索新知.OAl将上页思考中的问题反过来,如果直线l是⊙O的切线,切10如果AT是⊙O的切线，A为切点，那么AT⊥OA.你能说明理由吗？ATOM反证法：假设AT与OA不垂直则过点O作OM⊥AT,垂足为M根据垂线段最短，得OM＜OA即圆心O到直线AT的距离d＜R∴直线AT与⊙O相交这与已知“AT是⊙O的切线”矛盾∴假设不成立，即AT⊥OA如果AT是⊙O的切线，A为切点，那么AT⊥OA.ATO11OAT切线的性质定理1.圆的切线垂直于经过切点的半径几何符号语言：∵AT是⊙O的切线，A为切点∴AT⊥OA2.经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点3.经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心OAT切线的性质定理2.经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点12１、切线和圆只有一个公共点。２、切线和圆心的距离等于半径。３、切线垂直于过切点的半径。４、经过圆心且垂直于切线的直线必过切点.５、经过切点垂直于切线的直线必过圆心.切线的性质：切线的性质３、４、５可归纳为：已知直线满足a、过圆心，b、过切点，c、垂直于切线知二得一１、切线和圆只有一个公共点。２、切线和圆心的距离等于半径。３13(1).如果AB切⊙O于A，那么AOB⊙O的切线(2).如果半径OA⊥AB，那么AB是切点(3).如果AB是⊙O的切线，OA⊥AB，那么A是⊥OAAB.口答：(1).如果AB切⊙O于A，AOB⊙O的切线(2).如14已知直线和圆相切时：常连接切点与圆心。---辅助线六、典例分析例：如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O

相切于点D。求证：AC是⊙O的切线证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OA,OD

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------------------------------已知直线和圆相切时：常连接切点与圆心。---辅助线六、典例分15求证：AC是⊙O的切线证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OA,OD

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------------------------------(2)直线l垂直于半径0A．如果半径OA⊥AB，那么AB是已知直线和圆相切时：常连接切点与圆心。如果半径OA⊥AB，那么AB是经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。即圆心O到直线AT的距离d＜R求证：AC与⊙O相切。经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。∵l⊥OA，且l经过⊙O上的A点求证：AC是⊙O的切线则过点O作OM⊥AT,垂足为M∵OA＝OB，CA＝CB，经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。ABCO练习1AB=AC，∠C=45°，以AB为直径作⊙O求证：AC是⊙O的切线七、巩固练习求证：AC是⊙O的切线ABCO练习1AB=AC，∠C=45°16ABOCD练习2AC是直径，AB和CD是切线，判断AB和CD的位置关系。结论：AB∥CD证明：∵AC是直径，CD切⊙O于C∴CD⊥AC∵AB切⊙O于A∴AB⊥AC∴AB∥CDABOCD练习2结论：AB∥CD证明：∵AC是直径，CD切17①

定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。②

数量法（d=r）：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线。③

判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的判定切线的性质①切线和圆有且只有一个公共点②切线和圆心的距离等于半径③圆的切线垂直于经过切点的半径④经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点⑤经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心八、小结①定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。切线的判18在证明一条直线是圆的切线时，常常要添加辅助线，一般有以下两种情况：

(1)如果已知直线过圆上某一点，则可作出过这点的半径，并证明直线与这条半径垂直，有交点，连半径,证垂直。

(2)若已知直线和圆的公共点没有确定，这时应过圆心作已知直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径，即无交点，作垂直,证半径。同圆的切线垂直于经过切点的半径，若题中有切线，就有直角三角形存在。连接切点与圆心是常用的辅助线。

常用的方法在证明一条直线是圆的切线时，常常要添加辅助线，一般有以下两种19九、作业作业：

第101页第3、11题九、作业作业：20经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OA,OD

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------------------------------分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可。４、经过圆心且垂直于切线的直线必过切点.∵AT是⊙O的切线，A为切点经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。如果半径OA⊥AB，那么AB是(2)直线l垂直于半径0A．４、经过圆心且垂直于切线的直线必过切点.经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心∴假设不成立，即AT⊥OA经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心简记为：无交点，作垂直,证半径。经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心反证法：假设AT与OA不垂直圆的切线垂直于过切点的半径即圆心O到直线AT的距离d＜R在证明一条直线是圆的切线时，常常要添加辅助线，一般有以下两种情况：

(1)如果已知直线过圆上某一点，则可作出过这点的半径，并证明直线与这条半径垂直，有交点，连半径,证垂直。经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。同学们，再见！经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心同学们，再见！2124.2.2(2)切线的判定与性质24.2.2(2)切线的判定与性质221当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？2砂轮打磨工件飞出火星的方向是什么方向？一、教学引入❏生活中直线与圆相切的实例一、教学引入❏生活中直线与圆相切的实例23经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。直线与圆相切的判定定理：∵OA＝OB，CA＝CB，∴假设不成立，即AT⊥OA例2如图，已知点O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O.如果AB是⊙O的切线，OA⊥AB，那么A是求证：AC是⊙O的切线(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。⑤经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心求证：AC是⊙O的切线经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。∵l⊥OA，且l经过⊙O上的A点即圆心O到直线AT的距离d＜R2(2)切线的判定与性质即圆心O到直线AT的距离d＜R④经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理．简记为：无交点，作垂直,证半径。经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

O请在⊙O上任意取一点A，连接OA。过点A作直线l⊥OA。思考一下问题：1.圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么数量关系?2.二者位置有什么关系？为什么？3.由此你发现了什么？lA二、探索新知经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。O24发现：(1)直线l经过半径OA的外端点A；

(2)直线l垂直于半径0A．

则:直线l与⊙O相切AOl经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理．发现：(1)直线l经过半径OA的外端点A；AOl25即圆心O到直线AT的距离d＜R如果AB切⊙O于A，求证：AC是⊙O的切线经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。如果半径OA⊥AB，那么AB是已知直线和圆相切时：常连接切点与圆心。④经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心直线AB经过半径0C的外端C，并且垂直于半径OC，∵OA＝OB，CA＝CB，经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心∴OC是等腰三角形0AB底边AB上的中线．分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可。经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。求证：AC是⊙O的切线求证：AC是⊙O的切线经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。只要证明这条直线垂直于经过切点的半径.例2如图，已知点O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O.求证：AC是⊙O的切线直线与圆相切的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。对定理的理解：切线需满足两条：①经过半径外端；②垂直于这条半径．即圆心O到直线AT的距离d＜R直线与圆相切的判定定理：26经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。条件：(1)经过半径外端；(2)垂直于这条半径∵l⊥OA，且l经过⊙O上的A点∴直线l是⊙O的切线●O┐Al几何表述:（或者∵OA是圆O的半径，且l⊥OA于A点，）经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。条件：(127例１

已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O的切线．直线AB经过半径0C的外端C，并且垂直于半径OC，∴AB是⊙O的切线．ABCO证明：连结OC∵OA＝OB，CA＝CB，∴OC是等腰三角形0AB底边AB上的中线．∴AB⊥OC．方法小结:证明过圆上一点的直线是圆的切线.只要证明这条直线垂直于经过切点的半径.分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可。三、典型例题例１已知：直线AB经过⊙O上的点C，并28例2如图，已知点O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O.求证：AC与⊙O相切。例2如图，已知点O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,29思考:例1与例2的证法有何不同?

(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：有交点，连半径,证垂直。(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：无交点，作垂直,证半径。OBAC四、应用拓展思考:例1与例2的证法有何不同?OBAC四、应用拓展30.OAl将上页思考中的问题反过来,如果直线l是⊙O的切线,切点为A,那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢?一定垂直切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径?思考五、探索新知.OAl将上页思考中的问题反过来,如果直线l是⊙O的切线,切31如果AT是⊙O的切线，A为切点，那么AT⊥OA.你能说明理由吗？ATOM反证法：假设AT与OA不垂直则过点O作OM⊥AT,垂足为M根据垂线段最短，得OM＜OA即圆心O到直线AT的距离d＜R∴直线AT与⊙O相交这与已知“AT是⊙O的切线”矛盾∴假设不成立，即AT⊥OA如果AT是⊙O的切线，A为切点，那么AT⊥OA.ATO32OAT切线的性质定理1.圆的切线垂直于经过切点的半径几何符号语言：∵AT是⊙O的切线，A为切点∴AT⊥OA2.经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点3.经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心OAT切线的性质定理2.经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点33１、切线和圆只有一个公共点。２、切线和圆心的距离等于半径。３、切线垂直于过切点的半径。４、经过圆心且垂直于切线的直线必过切点.５、经过切点垂直于切线的直线必过圆心.切线的性质：切线的性质３、４、５可归纳为：已知直线满足a、过圆心，b、过切点，c、垂直于切线知二得一１、切线和圆只有一个公共点。２、切线和圆心的距离等于半径。３34(1).如果AB切⊙O于A，那么AOB⊙O的切线(2).如果半径OA⊥AB，那么AB是切点(3).如果AB是⊙O的切线，OA⊥AB，那么A是⊥OAAB.口答：(1).如果AB切⊙O于A，AOB⊙O的切线(2).如35已知直线和圆相切时：常连接切点与圆心。---辅助线六、典例分析例：如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O

相切于点D。求证：AC是⊙O的切线证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OA,OD

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------------------------------已知直线和圆相切时：常连接切点与圆心。---辅助线六、典例分36求证：AC是⊙O的切线证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OA,OD

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------------------------------(2)直线l垂直于半径0A．如果半径OA⊥AB，那么AB是已知直线和圆相切时：常连接切点与圆心。如果半径OA⊥AB，那么AB是经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。即圆心O到直线AT的距离d＜R求证：AC与⊙O相切。经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。∵l⊥OA，且l经过⊙O上的A点求证：AC是⊙O的切线则过点O作OM⊥AT,垂足为M∵OA＝OB，CA＝CB，经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。ABCO练习1AB=AC，∠C=45°，以AB为直径作⊙O求证：AC是⊙O的切线七、巩固练习求证：AC是⊙O的切线ABCO练习1AB=AC，∠C=45°37ABOCD练习2AC是直径，AB和CD是切线，判断AB和CD的位置关系。结论：AB∥CD证明：∵AC是直径，CD切⊙O于C∴CD⊥AC∵AB切⊙O于A∴AB⊥AC∴AB∥CDABOCD练习2结论：AB∥CD证明：∵AC是直径，CD切38①

定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。②

数量法（d=r）：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线。③