2023届高考数学专题复习：第12章 计数原理 第3节 二项式定理及其应用 课件

第12章计数原理第3节二项式定理及其应用必备知识

整体提升考点1

二项展开式的特定项、特定项系数的解法考点2

与二项展开式中的系数和有关的问题的解法考点3

有关二项展开式中的最值问题的解法二项展开式的特定项、特定项系数的解法分考点讲解(a＋b)n的展开式的通项Tr＋1＝Cnran－rbr(0≤r≤n，r∈N，n∈N*)，利用通项可求(1)特定项：常数项(字母的指数为零)、有理项(字母的指数为整数)等；(2)特定项的系数．(1)应用通项要注意五点：①Tr＋1＝Cnran－rbr可以表示二项展开式的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定；②Tr＋1是展开式中的第r＋1项，而不是第r项；③公式中a，b的指数和为n，且a，b不能颠倒位置；④要将通项中的系数和字母分开，以便解决问题；⑤关于(a－b)n的二项展开式的通项，要特别注意符号问题．二项展开式的特定项、特定项系数的解法分考点讲解(2)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项即可．具体如下：①求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中的特定项及其相关的量(系数、参数值)．第一步，利用二项式定理写出展开式的通项Tr＋1＝Cnr·an－rbr，常把字母和系数分离(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项等特定项的指数需要满足的条件，或者其系数需要满足的条件等)先列出相应方程(组)或不等式(组)，求出r；第三步，把r代入通项中，即可求出Tr＋1.有时还需要先求n，再求r，才能求出Tr＋1或者其他量．二项展开式的特定项、特定项系数的解法分考点讲解②求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量．第一步，根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项；第二步，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；第三步，把相乘后的项相加即可得到特定项．③三项式(a＋b＋c)n求特定项的方法．a．因式分解法：通过分解因式将三项式变成两个二项式，然后用二项式定理分别展开．b．逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含两项的一组展开．c．利用组合知识：把三项式看成n个一次项(a＋b＋c)的积，利用组合知识分析展开式中通项的构成，注意最后应把各个同类项相合并．例1D例2在(4x－2－x)n的展开式中，第5项为常数项，则n＝________．【解析】展开式的第5项为T5＝Cn4·(4x)n－4·(－2－x)4＝Cn4·(2x)2n－12.∵第5项是常数项，∴2n－12＝0，解得n＝6.6例3(1＋2x－3x2)5的展开式中x5的系数为________．92方法二(因式分解)：(1＋2x－3x2)5＝(1－x)5(1＋3x)5＝(1－5x＋10x2－10x3＋5x4－x5)·(1＋15x＋90x2＋270x3＋405x4＋243x5)，所以x5的系数为1×243－5×405＋10×270－10×90＋5×15－1＝92.方法三(利用组合知识)：(1＋2x－3x2)5为5个因式1＋2x－3x2的乘积，这5个因式乘积的展开式中形成x5的来源有：①5个因式各出一个2x，这样的方式有C55种，对应的项为C55(2x)5；②有3个因式各出一个2x，有1个因式出一个－3x2，剩余1个因式出一个1，这样的方式有C53C21种，对应的项为C53(2x)3C21(－3x2)；③有1个因式出一个2x，2个因式各出一个－3x2，剩余2个因式各出一个1，这样的方式有C51C42种，对应的项为C512xC42·(－3x2)2.所以x5的系数为C55×25＋C53×23×C21×(－3)＋C51×2×C42×(－3)2＝92.与二项展开式中的系数和有关的问题的解法分考点讲解例4B例5[浙江三校2021联考]已知(x2＋1)·(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a7(x＋1)7，则a1＋a2＋…＋a7＝________，a4＝________．【解析】令x＝0，则－1＝a0＋a1＋a2＋…＋a7.令x＝－1，则－26＝－64＝a0.则a1＋a2＋…＋a7＝－1－(－64)＝63.由(x2＋1)(x－1)5＝[(x－1)2＋2(x－1)＋2](x－1)5＝(x－1)7＋2(x－1)6＋2(x－1)5＝[(x＋1)－2]7＋2·[(x＋1)－2]6＋2[(x＋1)－2]5，∴a4＝C73(－2)3＋2C62(－2)2＋2C51(－2)＝－280＋120－20＝－180.63-180有关二项展开式中的最值问题的解法分考点讲解有关二项展开式中的最值问题的解法分考点讲解例6C例74对点强化二项展开式的特定项、特定项系数的解法A对点强化二项展开式的特定项、特定项系数的解法【解析】(x＋1)4展开式中x4，x3的系数分别为C40＝1和C41＝4.而(1－2x)3展开式中x3，x2的系数分别为C33·(－2)3＝－8和C32·(－2)2＝12，∴(x＋1)4(1－2x)3展开式中x6的系数为4×(－8)＋1×12＝－20.B对点强化二项展开式的特定项、特定项系数的解法B对点强化与二项展开式中的系数和有关的问题的解法若(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a0＋a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝(

)A．10B．－10C．1014D．1034【解析】(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，令x＝0，可得a0＝1024.

两边对x求导，可得10(x－2)9＝a1＋2a2x＋…＋10a10x9，令x＝1，可得a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝－10，则a0＋a1＋2a2＋

3a3＋…＋10a10＝1024－10＝1014.故选C.C对点强化与二项展开式中的系数和有关的问题的解法[浙江宁波宁海中学2021适应性考试]对于二项式(x－2)6的展开式，下列命题为真的是(

)A．第3项的系数为－160B．第4项的系数为－160C．奇数项的系数之和是－364D．偶数项的系数之和是365B【解析】由已知条件可得，二项式(x－2)6的展开式的通项为Tr＋1＝(－2)rC6rx6－r，对于A，T3＝(－2)2C62x4＝60x4，故A是假命题；对于B，T4＝(－2)3C63x3＝－160x3，故B是真命题；对于C，奇数项的系数之和为(－2)0·C60＋(－2)2C62＋(－2)4C64＋(－2)6·C66＝365，故C是假命题；对于D，偶数项的系数之和为(－2)1·C61＋(－2)3C63＋(－2)5C65＝－364，故D是假命题．故选B.对点强化与二项展开式中的系数和有关的问题的解法135对点强化有关二项展开式中的最值问题的解法D对点强化有关二项展开式中的最值问题的解法10-15真题速讲[浙江2022·12]已知多项式(x＋2)(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝________，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________．【解析】本题考查二项式定理．(1)(x－1)4展开式的通项为Tr＋1＝(－1)rC4rx4－r，由4－r＝1得r＝3，由4－r＝2得r＝2，所以a2＝1×(－1)3C43＋2×(－1)2C42＝8.(2)在多项式中令x＝0，得a0＝2；令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0－a0＝－2.8-2真题速讲(多选)[全国新高考Ⅱ2021·12]设正整数n＝a0·20＋a1·21＋…＋ak－1·2k－1＋ak·2k，其中ai∈{0，1}，记ω(n)＝a0＋a1＋…＋ak.则(

)A．ω(2n)＝ω(n)B．ω(2n＋3)＝ω(n)＋1C．ω(8n＋5)＝ω(4n＋3)D．ω(2n－1)＝nACD【解析】本题考查对新定义的理解.n＝a0·20＋a1·21＋…＋ak－1·2k－1＋ak·2k，假设a0，a1，…，ak－1，ak中有m个1(m≠0)，则ω(n)＝m.又2n＝a0·21＋a1·22＋…＋ak－1·2k＋ak·2k＋1，则a0，a1，…，ak－1，ak中也有m个1，则ω(2n)＝m，故A正确；当n＝2时，2n＋3＝7，7＝1＋2＋22，所以ω(7)＝3，又ω(2)＝1，所以ω(7)≠ω(2)＋1，故B错误；ω(8n＋5)＝ω(8n＋4＋1)＝ω(8n