苏教版高中数学必修4第1章 三角函数任意角、弧度课件

1.1.1

任意角第一章

§1.1

任意角和弧度制1.1.1任意角第一章§1.1任意角和弧度制学习目标1.了解角的概念.2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角.学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学问题导学思考1

知识点一角的相关概念用旋转方式定义角时，角的构成要素有哪些？答案答案角的构成要素有始边、顶点、终边.思考2

将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？答案有顺时针和逆时针两种旋转方向.思考1知识点一角的相关概念用旋转方式定义角时，角的构成要思考3

如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？答案答案不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角.若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角.思考3如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？(1)角的概念：角可以看成平面内

绕着

O从一个位置OA

到另一个位置OB所成的图形.点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的

和

.(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：梳理类型定义正角按

方向旋转形成的角负角按

方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个_____一条射线端点旋转始边终边逆时针顺时针零角(1)角的概念：角可以看成平面内思考知识点二象限角把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？答案答案终边可能落在坐标轴上或四个象限内.思考知识点二象限角把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的梳理在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.象限角：终边在第几象限就是

；轴线角：终边落在

的角.第几象限角坐标轴上梳理在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非思考1

知识点三终边相同的角假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？答案答案它们的终边相同.－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相差了－2个周角及1个周角.思考1知识点三终边相同的角假设60°的终边是OB，那么－思考2

如何表示与60°终边相同的角？答案答案60°＋k·360°(k∈Z).思考2如何表示与60°终边相同的角？答案答案60°＋k·梳理终边相同角的表示：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个

的和.周角梳理终边相同角的表示：周角题型探究题型探究解答类型一任意角概念的理解例1

(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角.其中正确说法的序号为

.(把正确说法的序号都写上)答案解析①解答类型一任意角概念的理解例1(1)给出下列说法：答案解解析锐角指大于0°小于90°的角，都是第一象限的角，所以①对；由任意角的概念知，第一象限角也可为负角，第二象限角不一定是钝角，小于180°的角还有负角、零角，所以②③④错误.解析锐角指大于0°小于90°的角，都是第一象限的角，所以①(2)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是

.解析分针每分钟转6°，由于顺时针旋转，所以20分钟转了－120°.解答答案解析－120°(2)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是反思与感悟解决此类问题要正确理解锐角、钝角、0°～90°角、象限角等概念.角的概念推广后，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小.反思与感悟解决此类问题要正确理解锐角、钝角、0°～90°角、解顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，因此所表示的角为－720°.跟踪训练1写出下列说法所表示的角.(1)顺时针拧螺丝2圈；解答(2)将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角.解拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，因此将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角为900°.解顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，因此所表示的角为例2在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.(1)－150°；解因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角.(2)650°；解因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角.类型二象限角的判定解答例2在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并(3)－950°15′.解因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角.解答(3)－950°15′.解答引申探究确定

(n∈N*)的终边所在的象限.解答解一般地，要确定

所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次标上1，2，3，4，…，4n，标号为几的区域，就是根据α所在第几象限时，

的终边所落在的区域，如此，

所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观的看出.引申探究解答解一般地，要确定所在的象限，可以作出各反思与感悟判断象限角的步骤：(1)当0°≤α<360°时，直接写出结果；(2)当α<0°或α≥360°时，将α化为k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)，转化为判断角β所属的象限.反思与感悟判断象限角的步骤：解答跟踪训练2下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来.(1)60°；解60°角是第一象限角，所有与60°角终边相同的角的集合S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<720°的元素是60°＋(－1)×360°＝－300°，60°＋0×360°＝60°，60°＋1×360°＝420°.解答跟踪训练2下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终解答(2)－21°.解－21°角是第四象限角，所有与－21°角终边相同的角的集合S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<720°的元素是－21°＋0×360°＝－21°，－21°＋1×360°＝339°，－21°＋2×360°＝699°.解答(2)－21°.类型三终边相同的角解答命题角度1求与已知角终边相同的角例3在与角10030°终边相同的角中，求满足下列条件的角.(1)最大的负角；解与10030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10030°(k∈Z)，由－360°＜k·360°＋10030°＜0°，得－10390°＜k·360°＜－10030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.类型三终边相同的角解答命题角度1求与已知角终边相同的角解答(2)最小的正角；解由0°＜k·360°＋10030°＜360°，得－10030°＜k·360°＜－9670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.(3)[360°，720°)的角.解由360°≤k·360°＋10030°＜720°，得－9670°≤k·360°＜－9310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.解答(2)最小的正角；反思与感悟求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值.反思与感悟求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求解答跟踪训练3写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来.解由终边相同的角的表示知，与角α＝－1910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1910°，k∈Z}.∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1910°＜360°(k∈Z)，当k＝4时，β＝4×360°－1910°＝－470°；当k＝5时，β＝5×360°－1910°＝－110°；当k＝6时，β＝6×360°－1910°＝250°.解答跟踪训练3写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，命题角度2求终边在给定直线上的角的集合例4写出终边在直线y＝

上的角的集合.即S＝{α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}.解答命题角度2求终边在给定直线上的角的集合即S＝{α|α＝12反思与感悟求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并.反思与感悟求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即S＝{α|α＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}.解答即S＝{α|α＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝例5如图所示.(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；解

终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}.终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}.类型四区域角的表示解答例5如图所示.类型四区域角的表示解答(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.解

终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}.解答(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.解答反思与感悟解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简.反思与感悟解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合，再跟踪训练5如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合.解答跟踪训练5如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合.解答解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成.①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}.②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}.∴角α的集合应当是集合①与②的并集，即S＝{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成.＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}.＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°当堂训练当堂训练1.下列说法正确的是A.终边相同的角一定相等B.钝角一定是第二象限角C.第一象限角一定不是负角D.小于90°的角都是锐角√答案234511.下列说法正确的是√答案234512.与－457°角终边相同的角的集合是A.{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B.{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C.{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D.{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}解析－457°＝－2×360°＋263°，故选C.√23451答案解析2.与－457°角终边相同的角的集合是√23451答案解析234513.2017°是第

象限角.解析

因为2017°＝5×360°＋217°，故2017°是第三象限角.答案解析三234513.2017°是第象限角.答案解234514.与－1692°终边相同的最大负角是

.解析∵－1692°＝－4×360°－252°，∴与－1692°终边相同的最大负角为－252°.答案解析－252°234514.与－1692°终边相同的最大负角是5.写出终边落在坐标轴上的角的集合S.解终边落在x轴上的角的集合：S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合：S2＝{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}.∴终边落在坐标轴上的角的集合：S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}∪{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}＝{β|β＝2k·90°或β＝(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝n·90°，n∈Z}.解答234515.写出终边落在坐标轴上的角的集合S.解答23451规律与方法1.对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”.2.关于终边相同的角的认识一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.规律与方法1.对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中注意：(1)α为任意角；(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)；(3)相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍；(4)k∈Z这一条件不能少.注意：(1)α为任意角；本课结束本课结束1.1.1

任意角第一章

§1.1

任意角和弧度制1.1.1任意角第一章§1.1任意角和弧度制学习目标1.了解角的概念.2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角.学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学问题导学思考1

知识点一角的相关概念用旋转方式定义角时，角的构成要素有哪些？答案答案角的构成要素有始边、顶点、终边.思考2

将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？答案有顺时针和逆时针两种旋转方向.思考1知识点一角的相关概念用旋转方式定义角时，角的构成要思考3

如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？答案答案不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角.若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角.思考3如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？(1)角的概念：角可以看成平面内

绕着

O从一个位置OA

到另一个位置OB所成的图形.点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的

和

.(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：梳理类型定义正角按

方向旋转形成的角负角按

方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个_____一条射线端点旋转始边终边逆时针顺时针零角(1)角的概念：角可以看成平面内思考知识点二象限角把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？答案答案终边可能落在坐标轴上或四个象限内.思考知识点二象限角把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的梳理在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.象限角：终边在第几象限就是

；轴线角：终边落在

的角.第几象限角坐标轴上梳理在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非思考1

知识点三终边相同的角假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？答案答案它们的终边相同.－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相差了－2个周角及1个周角.思考1知识点三终边相同的角假设60°的终边是OB，那么－思考2

如何表示与60°终边相同的角？答案答案60°＋k·360°(k∈Z).思考2如何表示与60°终边相同的角？答案答案60°＋k·梳理终边相同角的表示：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个

的和.周角梳理终边相同角的表示：周角题型探究题型探究解答类型一任意角概念的理解例1

(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角.其中正确说法的序号为

.(把正确说法的序号都写上)答案解析①解答类型一任意角概念的理解例1(1)给出下列说法：答案解解析锐角指大于0°小于90°的角，都是第一象限的角，所以①对；由任意角的概念知，第一象限角也可为负角，第二象限角不一定是钝角，小于180°的角还有负角、零角，所以②③④错误.解析锐角指大于0°小于90°的角，都是第一象限的角，所以①(2)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是

.解析分针每分钟转6°，由于顺时针旋转，所以20分钟转了－120°.解答答案解析－120°(2)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是反思与感悟解决此类问题要正确理解锐角、钝角、0°～90°角、象限角等概念.角的概念推广后，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小.反思与感悟解决此类问题要正确理解锐角、钝角、0°～90°角、解顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，因此所表示的角为－720°.跟踪训练1写出下列说法所表示的角.(1)顺时针拧螺丝2圈；解答(2)将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角.解拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，因此将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角为900°.解顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，因此所表示的角为例2在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.(1)－150°；解因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角.(2)650°；解因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角.类型二象限角的判定解答例2在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并(3)－950°15′.解因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角.解答(3)－950°15′.解答引申探究确定

(n∈N*)的终边所在的象限.解答解一般地，要确定

所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次标上1，2，3，4，…，4n，标号为几的区域，就是根据α所在第几象限时，

的终边所落在的区域，如此，

所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观的看出.引申探究解答解一般地，要确定所在的象限，可以作出各反思与感悟判断象限角的步骤：(1)当0°≤α<360°时，直接写出结果；(2)当α<0°或α≥360°时，将α化为k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)，转化为判断角β所属的象限.反思与感悟判断象限角的步骤：解答跟踪训练2下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来.(1)60°；解60°角是第一象限角，所有与60°角终边相同的角的集合S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<720°的元素是60°＋(－1)×360°＝－300°，60°＋0×360°＝60°，60°＋1×360°＝420°.解答跟踪训练2下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终解答(2)－21°.解－21°角是第四象限角，所有与－21°角终边相同的角的集合S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<720°的元素是－21°＋0×360°＝－21°，－21°＋1×360°＝339°，－21°＋2×360°＝699°.解答(2)－21°.类型三终边相同的角解答命题角度1求与已知角终边相同的角例3在与角10030°终边相同的角中，求满足下列条件的角.(1)最大的负角；解与10030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10030°(k∈Z)，由－360°＜k·360°＋10030°＜0°，得－10390°＜k·360°＜－10030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.类型三终边相同的角解答命题角度1求与已知角终边相同的角解答(2)最小的正角；解由0°＜k·360°＋10030°＜360°，得－10030°＜k·360°＜－9670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.(3)[360°，720°)的角.解由360°≤k·360°＋10030°＜720°，得－9670°≤k·360°＜－9310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.解答(2)最小的正角；反思与感悟求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值.反思与感悟求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求解答跟踪训练3写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来.解由终边相同的角的表示知，与角α＝－1910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1910°，k∈Z}.∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1910°＜360°(k∈Z)，当k＝4时，β＝4×360°－1910°＝－470°；当k＝5时，β＝5×360°－1910°＝－110°；当k＝6时，β＝6×360°－1910°＝250°.解答跟踪训练3写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，命题角度2求终边在给定直线上的角的集合例4写出终边在直线y＝

上的角的集合.即S＝{α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}.解答命题角度2求终边在给定直线上的角的集合即S＝{α|α＝12反思与感悟求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并.反思与感悟求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即S＝{α|α＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}.解答即S＝{α|α＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝例5如图所示.(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；解

终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}.终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}.类型四区域角的表示解答例5如图所示.类型四区域角的表示解答(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.解

终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}.解答(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.解答反思与感悟解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简.反思与感悟解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合，再跟踪训练5如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合.解答跟踪训练5如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合.解答解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成.①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}.②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}.∴角α的集合应当是集合①与②的并集，即S＝{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成.＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{