第五章 偏微分方程与特殊函数课件

2022/11/515.1引言5.1.1偏微分方程的定义描述物理量在时、空域中变化规律的方程，若含有未知函数的偏导数，则称之为偏微分方程。第五章偏微分方程与特殊函数2022/11/215.1引言5.1.1偏微分方程的定义2022/11/525.1.2偏微分方程的规定（1）方程中出现的偏导数的最高阶数称为方程的阶数。（2）若方程中没有未知函数及其偏导数的乘积或幂等非线性项称方程为线性的，反之统称成为非线性的。在非线性方程中若仅对未知函数的所有最高阶偏导不是非线性的——拟线性的。（3）不含未知函数及其偏导数的项称之为自由项。自由项为零的方程称为齐次方程，否则称为非齐次方程。第五章偏微分方程与特殊函数2022/11/225.1.2偏微分方程的规定第五章偏2022/11/53例5.1.2偏微分方程的规定2022/11/23例5.1.2偏微分方程的规定2022/11/54一般来说，求解n阶线性常微分方程的通解，必定包含有n个独立的任意函数，若存在n个边界条件，则可确定这n个常数，从而获得该方程满足边界条件的一个特定解。在偏微分方程中，通解具有特定形式的任意函数，且看以下例题。(1)

偏微分方程的定解问题5.1.2偏微分方程的规定2022/11/24一般来说，求解n阶线性常微分方程的通解，2022/11/55

(2)偏微分方程

是方程的通解，其中f是任意函数。如等都是该方程的特解。

这些不同的函数，都满足二维拉普拉斯方程

都可作为一维热传导方程而函数的通解。2022/11/25(2)偏微分方程2022/11/56

由此可以得出两点结论：①偏微分方程的通解包含有任意函数，因此解偏微分方程，一般都不是先求通解，后由定解条件确定特解，而是直接求特解。②一个特定形式的偏微分方程可以描述许多物理现象的共性规律，可以有很多不同形式的特解。所以可称为“泛定方程”。5.1.2偏微分方程的规定2022/11/265.1.2偏微分方程的规定2022/11/57

确定地描述某个系统的运动过程，除了反映运动一般规律的偏微分方程（泛定方程）外，还必须根据实际问题的模型提出定解条件。定解条件包括初始条件（当方程含有时间变量时）和边界条件（关于空间变量的约束条件）。

泛定方程加定解条件构成一个确定的物理过程的“定解问题”，此时问题才可能有确定的特解。5.1.2偏微分方程的规定2022/11/27确定地描述某个系统的运动过程，2022/11/58(3)偏微分方程的求解方法1、方程的建立建模。2、求解（1）解析解：①分离变量法；②拉普拉斯变换法等。（2）数值解：尤拉法、龙格－库塔法等。5.1.2偏微分方程的规定2022/11/28(3)偏微分方程的求解方法5.1.22022/11/595.2

二阶偏微分方程分类限两个自变量的二阶线性方程，未知函数u（x，y）一般形式：

F（x，y，u，ux，uy，uxx，uyy，uxy）=0(5-4)线性形式：

Auxx+2Buxy+Cuyy+Dux+Euy+Gu+f=0(5-5）A，B，C，D，E，f，G是x，y的函数当A，B，C，D，E，G是常数时，式（5－5）是二阶常系数线性偏微分方程，f＝f（x，y）为已知函数是自由项。2022/11/295.2二阶偏微分方程分类限两个自变量的2022/11/510由参数A，B，C判断二阶线性方程的分类设M=M（x，y）为自变量域内的某一点，若在该点处有：(1)B2－AC＞0，则方程在该点处为双曲线型的，如：

uxx－uyy＝0

（5－6）(2)B2－AC＝0，则方程在该点处为抛物线型，如：

uy－uxx＝0

（5－7）(3)B2－AC＜0，则方程在该点处为椭圆型的，如：

uxx＋uyy＝0

（5－8）2022/11/210由参数A，B，C判断二阶线性方程的分类2022/11/511方程的类型在域内不一定是唯一的。如：

xuxx＋yuyy＋2yux－xuy＝0B2-AC＝0－xy，①xy＜0，M在二，四象限双曲型②xy＞0，M在一，三象限椭圆型③xy＝0(x或y＝0)，M在y或者x轴上抛物型三类方程：（最典型的物理含义）双曲线型：utt＝a2（uxx＋uyy＋uzz）波动方程抛物线型：ut＝a2（uxx＋uyy＋uzz）热传导方程椭圆型：uxx＋uyy＋uzz＝0

拉普拉斯方程2022/11/211方程的类型在域内不一定是唯一的。如：2022/11/5125.3典型方程的建立

5.3.1.拉格朗日方法（一阶）（将偏微分方程转化为常微分方程）2022/11/2125.3典型方程的建立

5.3.1.2022/11/513例15.3典型方程的建立

解：采用拉格朗日法联立任意两个方程2022/11/213例15.3典型方程的建立

解：采2022/11/5145.3典型方程的建立

2022/11/2145.3典型方程的建立

2022/11/5155.3典型方程的建立

其解为即方程的解为：例22022/11/2155.3典型方程的建立

其解为即方程的2022/11/5165.3.2非线性（一阶）5.3典型方程的建立

2022/11/2165.3.2非线性（一阶）5.32022/11/5175.3.2非线性（一阶）解：2022/11/2175.3.2非线性（一阶）解：2022/11/5185.3.2非线性（一阶）2022/11/2185.3.2非线性（一阶）2022/11/5195.3.3拉普拉斯变换法(1)将常微分方程转化为代数方程(2)将偏微分方程转化为常微分方程5.3典型方程的建立

通过拉斯变换，可将两个自变量的偏微分方程转化为常微分方程。由于拉氏变换包括变量从零多无穷的积分，所以仅对从零到无穷有意义的自变量才有可能进行拉氏变换，一般来说只适用解初值问题。2022/11/2195.3.3拉普拉斯变换法(1)2022/11/5205.3.3拉普拉斯变换法例

定解问题

用拉氏变化求解，需要首先确定对哪一个自变量施行拉氏变换，就本例而言，对x与t都可以。但对x偏导是二阶的，且没给出，所以选择对t作拉氏变换。用u(x,p)表示函数u(x,t)关于t的拉氏变换，即首先对两端作拉氏变换，另利用条件。可得新方程，过程如下：2022/11/2205.3.3拉普拉斯变换法例定2022/11/5215.3.3拉普拉斯变换法同时对另一边界条件作拉氏变换二阶常微分方程，其解为

由于时。u(x,t)应该有界，所以u(x,p)也应该有界，故B=0，再有条件得：2022/11/2215.3.3拉普拉斯变换法同时对另一2022/11/522

用拉氏变换解偏微分方程的要点是：

（1）首先确定对哪个自变量作拉氏变换。要求该自变量变化范围（0，∞），而且根据拉氏变换的微分性质该变量必需具备上式有关的初值条件。如若有两个自变量都满足要求，那应取决于对哪个自变量求解过程最简单为准。（2）除对方程作拉氏变换外，还要对凡在方程变化中没有用到的定解条件都要作拉氏变换，使其作为变换后新方程的定解条件。5.3.3拉普拉斯变换法2022/11/222用拉氏变换解偏微分方程的要点是：

（3）最后得到定解问题的解的关键是对新方程之解作拉氏逆变换。当象函数较复杂时，运用查表和拉氏变换一章介绍的几种求逆变换方法也不得其解时，就只能运用拉氏变换的反演公式，通常用复变函数的围道积分法求解。5.3.3拉普拉斯变换法（3）最后得到定解问题的解的关键是对新方程之解2022/11/5245.4定解条件和定解问题

引言中指出数学物理方程是具有某类共性的物理现象的泛定方程。在引言中我们也看到了，同一个泛定方程可以有多个不同函数的解。因此对实际的物理现象特性的讨论还需对其特定的“环境”和起始状态加以描述和限定——定解条件，结合泛定方程，便可确定定解问题的特解。2022/11/2245.4定解条件和定解问题2022/11/525

5.4.1初始条件（初值条件）对于随着时间而发生变化的问题，必须考虑研究对象的初始时刻的状态，即初始条件。凡泛定方程中只含t的一阶偏导数的只需要一个初始条件，u的初始分布。

泛定方程中含有t的二阶偏导数的则需要两个初始条件，初始分布和初始速度。

初始条件给出了整个系统的状态（t=0）。稳态过程因与t无关，则不存在初始条件2022/11/2255.4.1初始条件（初值2022/11/5265.4.2边界条件(1)第一边界条件——已知函数直接给出在边界上的值（s—Γ上的动点）

如弦振动，长为的弦两端固定，则边界条件为：

（2）第二类边界条件——已知导数一维热传导（杆的导热），设杆的一端x＝a绝热，则由外到内经过杆端的热量流速为零2022/11/2265.4.2边界条件(1)第一边界2022/11/527因K，S是常数，故对于二维、三维应以边界的外法向导数表述

5.4.2边界条件（2）第二类边界条件——已知导数（3）第三类边界条件——混合边界条件给出边界上函数值与其法向导数构成的线性关系。如一维导热，杆端x=a处自由冷却，环境介质温度为u0

，则2022/11/2275.4.2边界条件（2）第二类边界2022/11/528（3）第三类边界条件——混合边界条件

杆端散发出的热流效率与端点温度与介质温度之差成正比,可改写

5.4.2边界条件对于长为的杆两端自由冷却第三类边界条件的一般形式2022/11/228（3）第三类边界条件——混合边界条件52022/11/5295.5线性迭加原理

在讲如何用分离变量法求解偏微分方程的定解问题前，先介绍一下线性偏微分方程解的迭加原理。

定义线性偏微分算子L为

线性偏微分方程的一般形式

齐次线性偏微分方程

2022/11/2295.5线性迭加原理在2022/11/530

设函数是齐次线性偏微分方程的特解，若级数可逐项求偏微分，则该级数也是齐次线性偏微分方程的解。5.5线性迭加原理线性迭加原理2022/11/230设函数2022/11/5315.6分离变量法

对于多个自变量的偏微分方程定解问题的求解，在可能的情况下，我们总设法使自变量的个数减少。分离变量法就是基于这种想法产生的。分离变量法也叫傅立叶方法，它利用变量分离形式的解法，将求解偏微分方程的定解问题化为求解常微分方程的固有值问题，步骤是先找出一些满足边界条件的特解，然后利用迭加原理，作出这些解的线性组合，从而得到定解问题的解答。分离变量法对定解条件尤其是边界条件的要求比较苛刻，一般只涉及较为规则的边界问题。下面通过各种例题来介绍分离变量法的具体应用。2022/11/2315.6分离变量法对2022/11/5325.6分离变量法例这是齐次方程，齐次边界条件的定解问题。

解:u(x,t)是其一个解函数。假设函数可以表示为各个自变量单元函数的乘积，代入方程后可分离为各自变量的常微分方程。设u(x,t)=X(x)T(t)，X(x)-x的函数，T(t)-t的函数

2022/11/2325.6分离变量法例这是齐次方程，齐2022/11/5335.6分离变量法代入原方程中：将边界条件代入：2022/11/2335.6分离变量法代入原方程中：将边2022/11/534运用迭加原理积分。运用正交函数：两边同乘以，并从运用正交函数：两边同乘以，并从运用正交函数：两边同乘以，并从运用正交函数：两边同乘以，并从运用正交函数：两边同乘以，并从5.6分离变量法2022/11/234运用迭加原理积分。运用正交函数：两边同2022/11/535总结：①通过假设，将变量分离②确定待定系数（通过已知条件）③利用叠加原理得到解函数∴5.6分离变量法2022/11/235总结：①通过假设，将变量分离∴5.62022/11/536[例]有界弦的自由振动解：弦长为两端张紧固定且无外力作用的弦振动问题，可用下述定解问题表述

这是齐次方程，齐次边界条件的定解问题。5.6分离变量法2022/11/236[例]有界弦的自由振动5.6分离变2022/11/537(1)分离变量设其解函数可以表示为两个单自变量函数的乘积。

令u(x,t)=X(x)T(t)，X(x)——x的函数，T(t)——t的函数代入原方程得：分离变量改写为：5.6分离变量法2022/11/237(1)分离变量5.6分离变量法2022/11/538不妨令其等于常数λ得到两个常微分方程由边界条件

5.6分离变量法2022/11/2385.6分离变量法2022/11/539(2)求本征值（固有值）λ(i)设λ>0，则两个微分方程的通解为代入条件

解得A=-B=0，即X(x)≡0

，不合题意舍去。（u≡0）(ii)设λ＝0得，由条件可得A=B=0，X(x)≡0

，不合题意舍去。5.6分离变量法2022/11/239(2)求本征值（固有值）λ5.62022/11/540（iii）设λ<0，不妨令λ=-β2

，两个常微分方程的通解为 由条件因为β≠0

，所以

5.6分离变量法2022/11/240（iii）设λ<0，不妨令λ=-β2022/11/541λn——固有值或本征值.Xn(x)——固有函数，常写成不带系数的形式：

5.6分离变量法(3)求两个常微分方程的通解Tn(t)及定解问题的一组特解un(x,t)

有通解由以上两通解相乘可得一组特解2022/11/241λn——固有值或本征值.5.6分2022/11/542(4)由傅立叶级数确定系数Cn,Dn，求u(x,t)由解的迭加原理

代入初始条件

5.6分离变量法2022/11/2425.6分离变量法2022/11/543

上两式分别是φ(x),ψ(x)

的傅立叶正弦级数的展开式，而φ(x),ψ(x)是由初始条件给出的定义在[0，l]上的连续函数（或只有有限个第一类间断点，且至多有有限个极值点），所以只要选取

即

即得定解问题的完整特解。5.6分离变量法2022/11/243上两式分别是φ(x),2022/11/5445.1引言5.1.1偏微分方程的定义描述物理量在时、空域中变化规律的方程，若含有未知函数的偏导数，则称之为偏微分方程。第五章偏微分方程与特殊函数2022/11/215.1引言5.1.1偏微分方程的定义2022/11/5455.1.2偏微分方程的规定（1）方程中出现的偏导数的最高阶数称为方程的阶数。（2）若方程中没有未知函数及其偏导数的乘积或幂等非线性项称方程为线性的，反之统称成为非线性的。在非线性方程中若仅对未知函数的所有最高阶偏导不是非线性的——拟线性的。（3）不含未知函数及其偏导数的项称之为自由项。自由项为零的方程称为齐次方程，否则称为非齐次方程。第五章偏微分方程与特殊函数2022/11/225.1.2偏微分方程的规定第五章偏2022/11/546例5.1.2偏微分方程的规定2022/11/23例5.1.2偏微分方程的规定2022/11/547一般来说，求解n阶线性常微分方程的通解，必定包含有n个独立的任意函数，若存在n个边界条件，则可确定这n个常数，从而获得该方程满足边界条件的一个特定解。在偏微分方程中，通解具有特定形式的任意函数，且看以下例题。(1)

偏微分方程的定解问题5.1.2偏微分方程的规定2022/11/24一般来说，求解n阶线性常微分方程的通解，2022/11/548

(2)偏微分方程

是方程的通解，其中f是任意函数。如等都是该方程的特解。

这些不同的函数，都满足二维拉普拉斯方程

都可作为一维热传导方程而函数的通解。2022/11/25(2)偏微分方程2022/11/549

由此可以得出两点结论：①偏微分方程的通解包含有任意函数，因此解偏微分方程，一般都不是先求通解，后由定解条件确定特解，而是直接求特解。②一个特定形式的偏微分方程可以描述许多物理现象的共性规律，可以有很多不同形式的特解。所以可称为“泛定方程”。5.1.2偏微分方程的规定2022/11/265.1.2偏微分方程的规定2022/11/550

确定地描述某个系统的运动过程，除了反映运动一般规律的偏微分方程（泛定方程）外，还必须根据实际问题的模型提出定解条件。定解条件包括初始条件（当方程含有时间变量时）和边界条件（关于空间变量的约束条件）。

泛定方程加定解条件构成一个确定的物理过程的“定解问题”，此时问题才可能有确定的特解。5.1.2偏微分方程的规定2022/11/27确定地描述某个系统的运动过程，2022/11/551(3)偏微分方程的求解方法1、方程的建立建模。2、求解（1）解析解：①分离变量法；②拉普拉斯变换法等。（2）数值解：尤拉法、龙格－库塔法等。5.1.2偏微分方程的规定2022/11/28(3)偏微分方程的求解方法5.1.22022/11/5525.2

二阶偏微分方程分类限两个自变量的二阶线性方程，未知函数u（x，y）一般形式：

F（x，y，u，ux，uy，uxx，uyy，uxy）=0(5-4)线性形式：

Auxx+2Buxy+Cuyy+Dux+Euy+Gu+f=0(5-5）A，B，C，D，E，f，G是x，y的函数当A，B，C，D，E，G是常数时，式（5－5）是二阶常系数线性偏微分方程，f＝f（x，y）为已知函数是自由项。2022/11/295.2二阶偏微分方程分类限两个自变量的2022/11/553由参数A，B，C判断二阶线性方程的分类设M=M（x，y）为自变量域内的某一点，若在该点处有：(1)B2－AC＞0，则方程在该点处为双曲线型的，如：

uxx－uyy＝0

（5－6）(2)B2－AC＝0，则方程在该点处为抛物线型，如：

uy－uxx＝0

（5－7）(3)B2－AC＜0，则方程在该点处为椭圆型的，如：

uxx＋uyy＝0

（5－8）2022/11/210由参数A，B，C判断二阶线性方程的分类2022/11/554方程的类型在域内不一定是唯一的。如：

xuxx＋yuyy＋2yux－xuy＝0B2-AC＝0－xy，①xy＜0，M在二，四象限双曲型②xy＞0，M在一，三象限椭圆型③xy＝0(x或y＝0)，M在y或者x轴上抛物型三类方程：（最典型的物理含义）双曲线型：utt＝a2（uxx＋uyy＋uzz）波动方程抛物线型：ut＝a2（uxx＋uyy＋uzz）热传导方程椭圆型：uxx＋uyy＋uzz＝0

拉普拉斯方程2022/11/211方程的类型在域内不一定是唯一的。如：2022/11/5555.3典型方程的建立

5.3.1.拉格朗日方法（一阶）（将偏微分方程转化为常微分方程）2022/11/2125.3典型方程的建立

5.3.1.2022/11/556例15.3典型方程的建立

解：采用拉格朗日法联立任意两个方程2022/11/213例15.3典型方程的建立

解：采2022/11/5575.3典型方程的建立

2022/11/2145.3典型方程的建立

2022/11/5585.3典型方程的建立

其解为即方程的解为：例22022/11/2155.3典型方程的建立

其解为即方程的2022/11/5595.3.2非线性（一阶）5.3典型方程的建立

2022/11/2165.3.2非线性（一阶）5.32022/11/5605.3.2非线性（一阶）解：2022/11/2175.3.2非线性（一阶）解：2022/11/5615.3.2非线性（一阶）2022/11/2185.3.2非线性（一阶）2022/11/5625.3.3拉普拉斯变换法(1)将常微分方程转化为代数方程(2)将偏微分方程转化为常微分方程5.3典型方程的建立

通过拉斯变换，可将两个自变量的偏微分方程转化为常微分方程。由于拉氏变换包括变量从零多无穷的积分，所以仅对从零到无穷有意义的自变量才有可能进行拉氏变换，一般来说只适用解初值问题。2022/11/2195.3.3拉普拉斯变换法(1)2022/11/5635.3.3拉普拉斯变换法例

定解问题

用拉氏变化求解，需要首先确定对哪一个自变量施行拉氏变换，就本例而言，对x与t都可以。但对x偏导是二阶的，且没给出，所以选择对t作拉氏变换。用u(x,p)表示函数u(x,t)关于t的拉氏变换，即首先对两端作拉氏变换，另利用条件。可得新方程，过程如下：2022/11/2205.3.3拉普拉斯变换法例定2022/11/5645.3.3拉普拉斯变换法同时对另一边界条件作拉氏变换二阶常微分方程，其解为

由于时。u(x,t)应该有界，所以u(x,p)也应该有界，故B=0，再有条件得：2022/11/2215.3.3拉普拉斯变换法同时对另一2022/11/565

用拉氏变换解偏微分方程的要点是：

（1）首先确定对哪个自变量作拉氏变换。要求该自变量变化范围（0，∞），而且根据拉氏变换的微分性质该变量必需具备上式有关的初值条件。如若有两个自变量都满足要求，那应取决于对哪个自变量求解过程最简单为准。（2）除对方程作拉氏变换外，还要对凡在方程变化中没有用到的定解条件都要作拉氏变换，使其作为变换后新方程的定解条件。5.3.3拉普拉斯变换法2022/11/222用拉氏变换解偏微分方程的要点是：

（3）最后得到定解问题的解的关键是对新方程之解作拉氏逆变换。当象函数较复杂时，运用查表和拉氏变换一章介绍的几种求逆变换方法也不得其解时，就只能运用拉氏变换的反演公式，通常用复变函数的围道积分法求解。5.3.3拉普拉斯变换法（3）最后得到定解问题的解的关键是对新方程之解2022/11/5675.4定解条件和定解问题

引言中指出数学物理方程是具有某类共性的物理现象的泛定方程。在引言中我们也看到了，同一个泛定方程可以有多个不同函数的解。因此对实际的物理现象特性的讨论还需对其特定的“环境”和起始状态加以描述和限定——定解条件，结合泛定方程，便可确定定解问题的特解。2022/11/2245.4定解条件和定解问题2022/11/568

5.4.1初始条件（初值条件）对于随着时间而发生变化的问题，必须考虑研究对象的初始时刻的状态，即初始条件。凡泛定方程中只含t的一阶偏导数的只需要一个初始条件，u的初始分布。

泛定方程中含有t的二阶偏导数的则需要两个初始条件，初始分布和初始速度。

初始条件给出了整个系统的状态（t=0）。稳态过程因与t无关，则不存在初始条件2022/11/2255.4.1初始条件（初值2022/11/5695.4.2边界条件(1)第一边界条件——已知函数直接给出在边界上的值（s—Γ上的动点）

如弦振动，长为的弦两端固定，则边界条件为：

（2）第二类边界条件——已知导数一维热传导（杆的导热），设杆的一端x＝a绝热，则由外到内经过杆端的热量流速为零2022/11/2265.4.2边界条件(1)第一边界2022/11/570因K，S是常数，故对于二维、三维应以边界的外法向导数表述

5.4.2边界条件（2）第二类边界条件——已知导数（3）第三类边界条件——混合边界条件给出边界上函数值与其法向导数构成的线性关系。如一维导热，杆端x=a处自由冷却，环境介质温度为u0

，则2022/11/2275.4.2边界条件（2）第二类边界2022/11/571（3）第三类边界条件——混合边界条件

杆端散发出的热流效率与端点温度与介质温度之差成正比,可改写

5.4.2边界条件对于长为的杆两端自由冷却第三类边界条件的一般形式2022/11/228（3）第三类边界条件——混合边界条件52022/11/5725.5线性迭加原理

在讲如何用分离变量法求解偏微分方程的定解问题前，先介绍一下线性偏微分方程解的迭加原理。

定义线性偏微分算子L为

线性偏微分方程的一般形式

齐次线性偏微分方程

2022/11/2295.5线性迭加原理在2022/11/573

设函数是齐次线性偏微分方程的特解，若级数可逐项求偏微分，则该级数也是齐次线性偏微分方程的解。5.5线性迭加原理线性迭加原理2022/11/230设函数2022/11/5745.6分离变量法

对于多个自变量的偏微分方程定解问题的求解，在可能的情况下，我们总设法使自变量的个数减少。分离变量法就是基于这种想法产生的。分离变量法也叫傅立叶方法，它利用变量分离形式的解法，将求解偏微分方程的定解问题化为求解常微分方程的固有值问题，步骤是先找出一些满足边界条件的特解，然后利用迭加原理，作出这些解的线性组合，从而得到定解问题的解答。分离变量法对定解条件尤其是边界条件的要求比较苛刻，一般只涉及较为规则的边界问题。下面通过各种例题来介绍分离变量法的具体应用。2022/11/2315.6分离变量法对2022/11/5755.6分离变量法例这是齐次方程，齐次边界条件的定解问题。

解:u(x,t)是其一个解函数。假设函数可以表示为各个自变量单元函数的乘积，代入方程后可分离为各自变量的常微分方程。设u(x,t)=X(x)T(t)，X(x)-x的函数，T(t)-t的函数

2022/11/2325.6分离变量法例这是齐次方程，齐2022/11/5765.6分离变量法代入原方程中：将边界条件代入：2022/11/2335.6分离变量