第六章 整式的乘除 67 完全平方公式 鲁教版(五四学制)六年级下册课件

7完全平方公式7完全平方公式1.经历探索完全平方公式的过程，进一步增强符号感和推理能力.2.会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算.3.了解完全平方公式的几何背景.1.经历探索完全平方公式的过程，进一步增强符号感和推理能力.公式的结构特征:a2−

b2;左边是两个二项式的乘积,(a+b)(a−b)=即两数和与这两数差的积.右边是两数的平方差.2.计算：(3)(a+b)(a+b)(4)(a-b)(a-b)(1)(a+b)(a-b)(2)(-a+b)(-a-b)1.平方差公式公式的结构特征:a2−b2;左边是两个二项式的乘积,(a用不同的形式表示实验田的总面积,并进行比较.abb(a+b)2

；a2+ab+ab

+b2.(a+b)2=a2+ab+b2.2公式:总面积=总面积=直接求：间接求：2aba用不同的形式表示实验田的总面积,并进行比较.abb(a+完全平方公式(1)你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?(a+b)2=a2+2ab+b2;(2)a2−2ab+b2.小颖写出了如下的算式:(a−b)2=[a+(−b)]2(a−b)2=她是怎么想的?你能继续做下去吗?完全平方公式(1)你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?(【解析】（1）(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.利用两数和的完全平方公式推证公式(a−b)2=[a+(−b)]2=

+2

+_____a2a(−b)(−b)2=a22ab−b2.+(2)(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-2ab+b2【解析】（1）(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+a(a+b)2=a2+2ab+b2.(a−b)2=a2−2ab+b2.a2ababb2(a+b)2=a−ba−baab(a-b)b(a−b)b(a−b)2a2+2ab+b2(a−b)2=a2−2ab+b2abab(a+b)2=a2+2ab+b2.a2ababb2((a+b)2=a2+2ab+b2.(a−b)2=a2−2ab+b2.语言表述:两数和的平方

等于这两数的平方和加上这两数乘积的2倍.(差)(减去)用自己的语言叙述上面的公式(a+b)2=a2+2ab+b2.语言表述:两数和【例1】利用完全平方公式计算：

(2x−3)2完全平方公式的使用与平方差公式的使用一样,先把要计算的式子与完全平方公式对照,明确哪个是a,哪个是b.第一个数4x22x的平方,()2减去第一个数与第二个数−2x3•乘积的2倍,•2加上+第二个数3的平方.2=−12x+9;【解析】(2x−3)2

做题时要边念边写：

=注意：【例1】利用完全平方公式计算：完全平方公式的使用与平方差公(1)(x−2y)2

；

(2)(2xy+x)2;计算：(3)(n+1)2−n2.(1)(x−2y)2；计算：(1.指出下列各式中的错误，并加以改正：(1)(2a−1)2＝2a2−2a+1;(2)(2a+1)2＝4a2

+1；(3)(a−1)2＝a2−2a−1.1.指出下列各式中的错误，并加以改正：【解析】

（1）第一数平方时,未添括号；第一数与第二数乘积的2倍少乘了一个2;应改为:(2a−1)2＝(2a)2−2•2a•1+1;

（2）少了第一数与第二数乘积的2倍(丢了一项);应改为:(2a+1)2＝(2a)2+2•2a•1

+1;

（3）第一数平方未添括号,第一数与第二数乘积的2倍错了符号;第二数的平方这一项错了符号;应改为:(a−1)2＝(a)2−2•(a)•1+(−1)2.

【解析】（1）第一数平方时,未添括号；第一数与第二数乘积的2.下列等式是否成立?不成立的说明理由．(1)(4a+1)2=(1−4a)2；(2)(4a−1)2=(4a+1)2；(3)(4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1)2；(4)(4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a+1).成立理由:成立(3)因为(1−4a)＝−(1+4a)不成立．＝(4a−1)，所以(4a−1)(1−4a)＝(4a−1)·[(4a−1)]＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1)2.不成立．(4)右边应为:(4a−1)(4a+1).2.下列等式是否成立?不成立的说明理由．成立理由:成立(3(1)第一天有a

个孩子一起去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖果？a2(2)第二天有b个孩子一起去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖果？b2(3)第三天这(a+b)个孩子一起去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖果？(a+b)2(4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？第三天多;多多少？为什么？多2ab.因为(a+b)2=a2+

2ab+

b2(a+b)2−

(a2+

b2)=a2+2ab+b2−a2−b2=2ab.一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们.如果来1个孩子，老人就给这个孩子1块糖果，如果来2个孩子，老人就给每个孩子2块糖果.如果来3个孩子，老人就给每个孩子3块糖果……(1)第一天有a个孩子一起去了老人家，老人一共给了这些【例2】利用完全平方公式计算：(1)1022;

(2)1972.完全平方公式(a±b)2=a2±

2ab+

b2的左边的底数是两数的和或差.把1022改写成(a+b)2还是(a−b)2?a，b怎样确定？【解析】（1）1022

=(100+2)2=1002+2×100×2+22=10000+400+4=10404.

（2）1972

=(200－3)2=2002－2×200×3+32=40000－1200+9=38809.【例2】利用完全平方公式计算：(1)1022;(2)1【例3】计算：(a+b+3)(a+b−3);若不用一般的多项式乘以多项式法则,怎样用公式来计算?因为两个多项式不同,即不能写成()2的形式,故不能用完全平方公式来计算，只能用平方差公式来计算.三项能看成两项吗?平方差公式中的相等的项(a)：符号相反的项(b)：在本题中分别是什么？[(a+b)+3][(a+b)−3]【解析】(a+b+3)(a+b−3)=+3−3(a+b)(a+b)=()2−

2a+b3=a2+2ab+b2−9.(a+b)3【例3】计算：(a+b+3)(a+b−3);1.（益阳·中考）下列计算正确的是()(A)(B)(C)(D)1.（益阳·中考）下列计算正确的是()【解析】选D.选项A的正确结果应为选项B的正确结果应为选项C的正确结果应为故A,B,C都是错误的.=,故选项D正确.【解析】选D.选项A的正确结果应为选项B的正确结果应为选项C2.用完全平方公式计算:1012;982.3.⑴x2−(x−3)2;⑵(a+b+3)(a−b+3).答案：2.1020196043.(1)6x-9(2)a2+6a-b2+92.用完全平方公式计算:1012;982.3.⑴x2−(1)962

；

(2)(a−b−3)(a−b+3).4.利用公式计算：答案:（1）9216（2）a2-2ab+b2-9(1)962；4.利用公式计算注意完全平方公式和平方差公式的不同：（1）形式不同．（2）结果不同：完全平方公式的结果是三项，即(ab)2＝a22ab+b2;平方差公式的结果是两项，即(a+b)(a−b)＝a2−b2.2.在解题过程中要准确确定a和b,对照公式原形的两边,做到不丢项、不弄错符号、2ab项不少乘2是运用完全平方公式进行多项式乘法的关键.1.注意完全平方公式和平方差公式的不同：（1）形式不同．（2）结3.有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完全平方公式的条件，即为“两数和(或差)的平方”，然后应用公式计算.3.有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完全平方公式的条理想是指路明灯.没有理想，就没有坚定的方向，而没有方向，就没有生活.

理想是指路明灯.没有理想，就没有坚定的方向，而没有方向，就7完全平方公式7完全平方公式1.经历探索完全平方公式的过程，进一步增强符号感和推理能力.2.会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算.3.了解完全平方公式的几何背景.1.经历探索完全平方公式的过程，进一步增强符号感和推理能力.公式的结构特征:a2−

b2;左边是两个二项式的乘积,(a+b)(a−b)=即两数和与这两数差的积.右边是两数的平方差.2.计算：(3)(a+b)(a+b)(4)(a-b)(a-b)(1)(a+b)(a-b)(2)(-a+b)(-a-b)1.平方差公式公式的结构特征:a2−b2;左边是两个二项式的乘积,(a用不同的形式表示实验田的总面积,并进行比较.abb(a+b)2

；a2+ab+ab

+b2.(a+b)2=a2+ab+b2.2公式:总面积=总面积=直接求：间接求：2aba用不同的形式表示实验田的总面积,并进行比较.abb(a+完全平方公式(1)你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?(a+b)2=a2+2ab+b2;(2)a2−2ab+b2.小颖写出了如下的算式:(a−b)2=[a+(−b)]2(a−b)2=她是怎么想的?你能继续做下去吗?完全平方公式(1)你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?(【解析】（1）(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.利用两数和的完全平方公式推证公式(a−b)2=[a+(−b)]2=

+2

+_____a2a(−b)(−b)2=a22ab−b2.+(2)(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-2ab+b2【解析】（1）(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+a(a+b)2=a2+2ab+b2.(a−b)2=a2−2ab+b2.a2ababb2(a+b)2=a−ba−baab(a-b)b(a−b)b(a−b)2a2+2ab+b2(a−b)2=a2−2ab+b2abab(a+b)2=a2+2ab+b2.a2ababb2((a+b)2=a2+2ab+b2.(a−b)2=a2−2ab+b2.语言表述:两数和的平方

等于这两数的平方和加上这两数乘积的2倍.(差)(减去)用自己的语言叙述上面的公式(a+b)2=a2+2ab+b2.语言表述:两数和【例1】利用完全平方公式计算：

(2x−3)2完全平方公式的使用与平方差公式的使用一样,先把要计算的式子与完全平方公式对照,明确哪个是a,哪个是b.第一个数4x22x的平方,()2减去第一个数与第二个数−2x3•乘积的2倍,•2加上+第二个数3的平方.2=−12x+9;【解析】(2x−3)2

做题时要边念边写：

=注意：【例1】利用完全平方公式计算：完全平方公式的使用与平方差公(1)(x−2y)2

；

(2)(2xy+x)2;计算：(3)(n+1)2−n2.(1)(x−2y)2；计算：(1.指出下列各式中的错误，并加以改正：(1)(2a−1)2＝2a2−2a+1;(2)(2a+1)2＝4a2

+1；(3)(a−1)2＝a2−2a−1.1.指出下列各式中的错误，并加以改正：【解析】

（1）第一数平方时,未添括号；第一数与第二数乘积的2倍少乘了一个2;应改为:(2a−1)2＝(2a)2−2•2a•1+1;

（2）少了第一数与第二数乘积的2倍(丢了一项);应改为:(2a+1)2＝(2a)2+2•2a•1

+1;

（3）第一数平方未添括号,第一数与第二数乘积的2倍错了符号;第二数的平方这一项错了符号;应改为:(a−1)2＝(a)2−2•(a)•1+(−1)2.

【解析】（1）第一数平方时,未添括号；第一数与第二数乘积的2.下列等式是否成立?不成立的说明理由．(1)(4a+1)2=(1−4a)2；(2)(4a−1)2=(4a+1)2；(3)(4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1)2；(4)(4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a+1).成立理由:成立(3)因为(1−4a)＝−(1+4a)不成立．＝(4a−1)，所以(4a−1)(1−4a)＝(4a−1)·[(4a−1)]＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1)2.不成立．(4)右边应为:(4a−1)(4a+1).2.下列等式是否成立?不成立的说明理由．成立理由:成立(3(1)第一天有a

个孩子一起去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖果？a2(2)第二天有b个孩子一起去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖果？b2(3)第三天这(a+b)个孩子一起去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖果？(a+b)2(4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？第三天多;多多少？为什么？多2ab.因为(a+b)2=a2+

2ab+

b2(a+b)2−

(a2+

b2)=a2+2ab+b2−a2−b2=2ab.一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们.如果来1个孩子，老人就给这个孩子1块糖果，如果来2个孩子，老人就给每个孩子2块糖果.如果来3个孩子，老人就给每个孩子3块糖果……(1)第一天有a个孩子一起去了老人家，老人一共给了这些【例2】利用完全平方公式计算：(1)1022;

(2)1972.完全平方公式(a±b)2=a2±

2ab+

b2的左边的底数是两数的和或差.把1022改写成(a+b)2还是(a−b)2?a，b怎样确定？【解析】（1）1022

=(100+2)2=1002+2×100×2+22=10000+400+4=10404.

（2）1972

=(200－3)2=2002－2×200×3+32=40000－1200+9=38809.【例2】利用完全平方公式计算：(1)1022;(2)1【例3】计算：(a+b+3)(a+b−3);若不用一般的多项式乘以多项式法则,怎样用公式来计算?因为两个多项式不同,即不能写成()2的形式,故不能用完全平方公式来计算，只能用平方差公式来计算.三项能看成两项吗?平方差公式中的相等的项(a)：符号相反的项(b)：在本题中分别是什么？[(a+b)+3][(a+b)−3]【解析】(a+b+3)(a+b−3)=+3−3(a+b)(a+b)=()2−

2a+b3=a2+2ab+b2−9.(a+b)3【例3】计算：(a+b+