《概率论与数理统计》习题答案（复旦大学出版社）

概率论与数理统计习题及答案习题ー. 略.见教材习题参考答案..设んB,C为三个事件,试用ス,B,C的运算关系式表示下列事件:(1)ス发生，B,C都不发生;ス与8发生，C不发生;A,B,C都发生:A,B,C至少有一个发生；A,B,C都不发生；A,B,C不都发生;A,B,C至多有2个发生；A,B,C至少有2个发生.【解】⑴ABC(2)ABC(3)ABCJU5UC=JBCUABCUABCUABCUABCUABCUABC=ABCABC=A(JB\JC (6)ABC(7)^4BC(JABCUABCUス卫CUABCUABCUABC=ABC=AU5UC(S)ABDBCUCA^ABCUABCUABCUABC3I略.见教材习题参考答案.设ス,8为随机事件，且P(4)=0.7,P(J-B)=0.3,求尸(AB).【解】P(AB)=1-PCAB)=1-[P(A)-P(A-B)]=l-[0.7-0.3]=0.6.设ん5是两事件,且尸(A)=0.6のめ=0.7,求;(1)在什么条件下尸(AB)取到最大值?(2)在什么条件下P(AB)取到最小值?【解】(1)当AB=A时,PCAB)取到最大值为0.6.(2)当/时，PCAB)取到最小值为0.3..设んB,C为三事件，且PCA)=PCB)=1/4,PCO=1/3且尸CAB)=PCBC)=0,PCAC)=1/12,求んB,C至少有一事件发生的概率.【解】P(JU5UC)=P(A)+P(B)+P(Q-P(AB)-P(BQ-P(AC)+P(ABC)111 13443124.从52张扑克牌中任意取出13张,问有5张黑桃,3张红心,3张方块,2张梅花的概率是多少?【解】 片c'c；3c0/。.对ー个五人学习小组考虑生日问题:(1)求五个人的生日都在星期日的概率;(2)求五个人的生日都不在星期日的概率;(3)求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】(1)设ん=｛五个人的生日都在星期日｝,基本事件总数为75,有利事件仅1个,故P(4)=-r=(-)5 (亦可用独立性求解,下同)T7(2)设ス2=｛五个人生日都不在星期日｝,有利事件数为65,故,、6$ 65P(ス2)=-7=(-)T7(3)设由=｛五个人的生日不都在星期日｝P(小)=l-P(/l|)=l-(-)5.略.见教材习题参考答案..—・批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件("<N).试求其中恰有m件(mWM)正品(记为イ)的概率.如果;(1)”件是同时取出的；〃件是无放回逐件取出的；〃件是有放回逐件取出的.【解】⑴PU)=C；C^/C；(2)由于是无放回逐件取出,可用排列法计算.样本点总数有P:种,〃次抽取中有m次为正品的组合数为C二种.对于固定的ー种正品与次品的抽取次序，从M件正品中取m件的排列数有种，从件次品中取"-Z〃件的排列数为Pあン种，故ryn—m印由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成厂"7f^n—m

p(/)_し"しN-M可以看出,用第二种方法简便得多.(3)由于是有放回的抽取，每次都有N种取法,故所有可能的取法总数为M种，〃次抽取中有加次为正品的组合数为C7种,对于固定的・种正、次品的抽取次序,机次取得正品,都有A/种取法,共有“‘种取法,"ー加次取得次品,每次都有种取法，共有(N-M)宀"种取法，故P(4)=C：M”(N-M)n-m/N"此题也可用贝努里概型，共做了"重贝努里试验，每次取得正品的概率为丝，则取得m件正品的概率为P(A)=C：.略.见教材习题参考答案.. 50只加钉随机地取来用在10个部件上,其中有3个钾钉强度太弱.每个部件用3只抑钉.若将3只强度太弱的钾钉都装在ー个部件匕则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少?【解】设ス=｛发生・一个部件强度太弱｝P(m=c；°c；/c；°=而.一个袋内装有大小相同的7个球,其中4个是白球,3个是黑球,从中一次抽取3个,计算至少有两个是白球的概率.【解】设4=｛恰有i个白球｝(*2,3),显然ん与ん互斥.P(ん)P(A2UA3)=P(A2)+P(A3)=—.有甲、乙两批种子,发芽率分别为0.8和0.7,在两批种子中各随机取一粒,求:(1)两粒都发芽的概率;(2)至少有一粒发芽的概率;(3)恰有一粒发芽的概率.【解】设ん=｛第，•批种子中的一粒发芽｝,(，=1,2)P(AlA2)=P(4)尸(ス2)=07x0.8=0.56(2)产(4U42)=°フ+08—0.7x0.8=0.94P(4ス2U44)=0.8x03+0.2x0.7=0.38.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面オ停止.(1)问正好在第6次停止的概率；(2)问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.【解】⑴月=

.甲、乙两个篮球运动员,投篮命中率分别为0.7及0.6,每人各投了3次,求二人进球数相等的概率.【解】设4=｛甲进i球｝,，=0,1,2,3,8,=｛乙进i球｝,i=0,1,2,3,则P(U443)=(03)3(04)3+C；o.7x(0.3)2C；0.6x(0.4)2+C；(0.7)2X0.3C；(0.6)20.4+(0.7)3(0.6)3=0.32076.从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】し5【解】し5し2し2し2し2_Pー1「4一し1021.某地某天下雪的概率为0.3,下雨的概率为0.5,既下雪又下雨的概率为0.1,求:(1)在下雨条件下下雪的概率;(2)这天下雨或下雪的概率.【解】设ス=｛下雨｝,8=｛下雪｝.(1)M(1)M3篇患。2(2)P(AUB)=P(A)+P(B)~P(AB)=0.3+0.5-0.1=0.719.已知一个家庭有3个小孩,且其中一个为女孩,求至少有一个男孩的概率(小孩为男为女是等可能的).【解】设ス=｛其中一个为女孩｝,8=｛至少有・个男孩｝,样本点总数为23=8,故尸(皿)"迪"经メP(A)7/87或在缩减样本空间中求,此时样本点总数为7.p(皿)q20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人,此人恰为色盲，问此人是男人的概率(假设男人和女人各占人数的一半).【解】设ス=｛此人是男人｝,8=｛此人是色盲｝,则由贝叶斯公式尸(ス広)一生”- 尸(⑷尸(.”)1P(B)P(A)P(B\A)+P(A)P(B^A) 0.5x0,05 200.5x0.05+0.5x0.0025-21.两人约定上午9：00-10:00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.

(b)(b)题21图 题22图【解】设两人到达时刻为x,%则0《xyW60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于!xー弁>30,如图阴影部分所示..从（0,1）中随机地取两个数,求:（1）两个数之和小于纟的概率;5（2）两个数之积小于丄的概率.4【解】 设两数为xア,贝|JO<Xパ1.（1）x+y<-.14414423.设尸(Z)=0.3,尸(8)=04,尸(4B)=0.5I求ア(8I/U>)【解】尸（8レし!ゐ=【解】尸（8レし!ゐ=P(AB)

P(A\JB)_P(A)-P(AB)_P(A)+P(B)-P(AB)Q.7-0,50.7+0.6-0.5-4.在ー个盒中装有15个乒乓球,其中有9个新球,在第一次比赛中任意取出3个球,比赛后放回原盒中;第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】设4=｛第一次取出的3个球中有i个新球｝,i=0,1,2,3.8=｛第二次取出的3球均为新球｝由全概率公式，有p（8）=fp（同4）p（4）iJ riJiJ riJ15し15 し15 し15 し15 し15しけし15=0.089.按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格,不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问:（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人?（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人?【解】设ス=｛被调査学生是努力学习的｝,则ス=｛被调查学生是不努力学习的｝.由题意知P（A）=0.8,尸（ス）=0.2,又设8=｛被调查学生考试及格｝.由题意知尸（B|Z）=0.9,P（5|^）=0.9,故由贝叶斯公式知（1）P（A\B）（1）P（A\B）=P（AB）

而）P（4）尸（即）P（4）P（同?〇+P（Z）P同ス）—=0.0270237 —=0.0270237O.8xO.9+O.2xO.l即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%⑵「陣）二鬻O.8xO.l—=0.3077P（A）P（B\A）

P（A）P（B\A）+P（A）P（B^A）⑵「陣）二鬻O.8xO.l—=0.30770.8x0.1+0.2x0.913即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%..将两信息分别编码为ス和8传递出来,接收站收到时,ス被误收作8的概率为0.02,而8被误收作ス的概率为0.01.信息ス与8传递的频繁程度为2：1.若接收站收到的信息是A.试问原发信息是ス的概率是多少?【解】设ス=｛原发信息是ス｝,则=｛原发信息是8｝C=｛收到信息是ス｝,则=｛收到信息是B｝由贝叶斯公式，得

P(川C)=2/3x0.98=0.99492尸（4）尸（＜セ）_

p（z）p（cレ）+p（ap（qa

P(川C)=2/3x0.98=0.99492.在已有两个球的箱子中再放一白球,然后任意取出ー球,若发现这球为白球,试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种）【解】设ス产｛箱中原有i个白球｝00,1,2）,由题设条件知。（4）=§ノ=0,1,2.又设8=｛抽出ー球为白球｝.由贝叶斯公式知…=3=仲竺”「网えP网4）p（4） 2/3X1/3 1/3x1/3+2/3x1/34-1x1/33.某エ厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，•个合格品被误认为是次品的概率为0.02,ー个次品被误认为是合格品的概率为0.05,求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】设ス=｛产品确为合格品｝,8=｛产品被认为是合格品｝由贝叶斯公式得ゆ竺!, p（z）p（8⑷0.96x0.98=0.9981P（B）P（A）P（B\A）+0.96x0.98=0.9980.96x0.98+0.04x0.05.某保险公司把被保险人分为三类:“谨慎的''，“・般的”，“冒失的”.统计资料表明,上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30,如果“谨慎的”被保险人占20%,“一般的”占50%,“冒失的”占30%,现知某被保险人在一年内出了事故,则他是“谨慎的”的概率是多少?【解】设ス=｛该客户是“谨慎的”｝,8=｛该客户是“一般的”｝,C=｛该客户是“冒失的”｝,り=｛该客户在一年内出了事故｝则由贝叶斯公式得P(A\D)=P(AD)

P(万)P(A\D)=P(AD)

P(万)P(A)P(D\A)+P(B)P(DIB)+P(C)P(D|C)=0.057 0,2x0,05=0.0570.2x0.05+0.5x0.15+0.3x0.3.加工某ー零件需要经过四道工序，设第・、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03,假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.【解】设4=｛第i道工序出次品｝（i=l,2,3,4）.4 尸（U4）=iー尸（4444）i=l=1—p（4）尸⑷p⑷p（4）=1-0.98x0.97x0.95x0.97=0.124.设每次射击的命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?【解】设必须进行"次独立射击.1-(0.8)">0.9即为 (0.8)"<0.1故至少必须进行11次独立射击..证明:若P(ス丨8)=P(AIゑ),则ん8相互独立.【证】P(m8)=P(/|め即ゆ竺^=丝也P(B)P(B)亦即 P(AB)P(B)=P(面P(B)P(AB)[1-P(B)]=[P(A)~P(AB)]P(B)因此 P(AB)=P(A)P(B)故4与3相互独立..三人独立地破译ー个密码,他们能破译的概率分别为丄,-,-,求将此密码破译出534的概率.【解】设4=｛第i人能破译｝(1=1,2,3),则P(u4)=1-P(444)=1-P(ス)尸(4)P(4).甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是04,0.5,0.7,若只有一人击中,则飞机被击落的概率为0.2;若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6;若三人都击中,则飞机一定被击落，求:飞机被击落的概率.【解】设ス=｛飞机被击落｝,8,=｛恰有i人击中飞机｝,i=0,1,2,3由全概率公式,得P(A)=ZP(A\BJP(BJ=(0.4X0.5X0.3+0.6X0.5X0.3+0.6X0.5X0.7)0.2+(0.4X0.5X0.3+0.4X0.5X0.7+0.6X0.5X0.7)0.6+04X0,5X0.7=0.458.已知某种疾病患者的痊愈率为25%,为试验ー种新药是否有效,把它给10个病人服用,且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效,反之则认为无效,求:(1)虽然新药有效,且把治愈率提高到35%,但通过试验被否定的概率.(2)新药完全无效,但通过试验被认为有效的概率.【解】(1)p1=ZC：o(O.35)*(0.65产*=0.5138(2)P2=ZC：o(S25)*(O.75)g=0.2241k=436.ー架升降机开始时有6位乘客,并等可能地停于十层楼的每ー层.试求下列事件的概率:(1)4="某指定的ー层有两位乘客离开”；8="没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”；C="恰有两位乘客在同一层离开”；D="至少有两位乘客在同一层离开”.【解】由于每位乘客均可在10层楼中的任•层离开,故所有可能结果为106种.C294(1)P(A)=-^-r,也可由6重贝努里模型:1Q6个人在十层中任意六层离开,故P6P⑻106(3)由于没有规定在哪ー层离开，故可在十层中的任一层离开,有C:〇种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有C:种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况,因此可包含以下三种离开方式:①4人中有3个人在同一层离开,另一人在其余8层中任一层离开,共有C；C：C;种可能结果;②4人同时离开，有C;种可能结果;③4个人都不在同一层离开,有P:种可能结果,故尸(0=c：M(c；c：c；+c；+p；»io6(4)D=瓦故P6

P(D)=1-P(B)=1-需

37.n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率:(1)甲、乙两人坐在ー起,且乙坐在甲的左边的概率；(2)甲、乙、丙三人坐在•起的概率:(3)如果〃个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.【解】(1)Pi=」ーn-\

3!(3!(〃ー3)! ヽ⑶P：=3!(り⑶P：=38.将线段[0,a]任意折成三折,试求这三折线段能构成三角形的概率【解】设这三段长分别为x,y,o-x-y则基本事件集为由0<x<a,0<y<a,0<a-x-y<a所构成的图形,有利事件集为由x+y>a—X—yx+(a-x-^)>yy+(a-x-y)>x构成的图形,即0<x<—20<y<—-2a—<x+y<a,2如图阴影部分所示,故所求概率为タ=；..某人有〃把钥匙，其中只有一•把能开他的门.他逐个将它们去试开(抽样是无放回的).证明试开え次(hl,2,…c)才能把门打开的概率与ス无关.p*-1 1【证】 「=号=一,左=1,2,…ノP”n.把ー个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体,在这些小立方体中，随机地取出ー个,试求它有/・面涂有颜色的概率尸(4)(，=0,1,2,3).【解】设ス产｛小立方体有，面涂有颜色｝，，=〇,1,2,3.在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的,这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上(除去八个角外)的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12X8=96个.同理，原立方体的六个面上(除去棱)的小立方体是一面涂色的,共有8X8X6=384个.其余100〇ー(8+96+384)=512个内部的小立方体是无色的,故所求概率为尸(4,)=^^=0.512,尸(4)=^~=0.384,

“1000 ' 1000P(4)= =0.096,尸(ん)=-^―=0.008.2 1000 4 1000.对任意的随机事件イ,B,C,试证P(AB)+P(AC)-P(BC)^P(A).【证】 P(A)>P[A(BUQ]=P(AB\JAC)=尸(N8)+P(ZC)—P(ABC)NP(AB)+P(AC)-P(BC).将3个球随机地放入4个杯子中去,求杯中球的最大个数分别为1,2,3的概率.【解】设4=｛杯中球的最大个数为ル七ル,3.将3个球随机放入4个杯子中,全部可能放法有种,杯中球的最大个数为1时,每个杯中最多放ー球,故C33f。(4)=學而杯中球的最大个数为3,即三个球全放入一个杯中,故C11。(4)=q=—

3 4316p(j2)=i-p(4)-p(^3)=i----=-尸むーC；C氾ー9尸⑷一43一正.将一枚均匀硬币掷2〃次,求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2〃次硬币,可能出现:イ=｛正面次数多于反面次数｝,8=｛正面次数少于反面次数｝,C=｛正面次数等于反面次数｝,A,B,C两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的,故尸(A)=P(8).所以,(小等由2〃重贝努里试验中正面出现〃次的概率为P(C)P(C)=.掷〃次均匀硬币,求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设イ=｛出现正面次数多于反面次数｝,8=｛出现反面次数多于正面次数｝,由对称性知P(A)=P(5)(1)当〃为奇数时，正、反面次数不会相等.由P(/)+P(8)=1得P(/)=尸(8)=0.5(2)当〃为偶数时,由上题知1 21p(^)=-[i-c^(-r].设甲掷均匀硬币〃+1次,乙掷〃次,求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】令甲,尸甲掷出的正面次数,甲反=甲掷出的反面次数.乙疋=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数.显然有(甲疋〉乙正”(甲正く乙ポ)=(〃+1一甲反ぐ〃一乙反)=(甲G1+乙反)=(甲反〉乙反)

由对称性知「(甲”>乙疋)=p(甲反〉乙反)因此尸(甲正〉乙||-:)=—2.证明“确定的原则”(Sure-thing):若尸(川C)^P(B\C)J\A\C)^P(B\C).则尸(A)【证】由P(A[C)»尸(8©,得P(AC)P(BC)

P(C)P(U)'即有 P(AC)>P(BC)同理由 P(^|C)>P(5|C),得 P(AC)>P(BC),故 P(A)=P(AC)+P(AC)>P(BC)+P(BC)=P(B).一列火车共有n节车厢,有©厶ユ")个旅客上火车并随意地选择车厢.求每ー节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】设4=｛第i节车厢是空的｝,(i=l,…,"),则p(4)=^A^=(i--r

n np(44)=(i-，尸(44•••ん)=(iープ其中れ,ち,…,总是1，2,…,"中的任〃ー1个.显然ツ节车厢全空的概率是零,于是，=£尸(—)=〃(1ーー)*=c((i--)*■=z尸(44)ぐ(1二)*s“T=z尸(4ル・・d(i上)*s“=o尸(04)=s「§2+S3-1产5TOC\o"1-5"\h\zn n n故所求概率为n 1 7 n-]1-P(U4)=1-c：(i——)*+cm—)'-…+(-1产c丁(I——)*

/=! n n n.设随机试验中,某ー事件ス出现的概率为e>0.试证明:不论e>0如何小,只要不断地独立地重复做此试验，则N迟早会出现的概率为1.【证】在前〃次试验中,ス至少出现一次的概率为1一(1一£厂fl("f8).袋中装有/〃只正品硬币,〃只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽).在袋中任取一只，将它投掷r次,已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少?【解】设ス=｛投掷硬币r次都得到国徽｝8=｛这只硬币为正品｝rn-n由题知 P(5)=——,P(B)=——m+n m-\-nP｛A\B)=-,P(A\B)=\则由贝叶斯公式知P(A|’4)ニス/8) P(B)P(A\B)P(A)P(B)P(AIB)+P｛B｝P(AIB)m1= m+れ2r_mm\n 加+2'〃 H 1.巴拿赫(Banach)火柴盒问题:某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取ー盒并从中任取・根.试求他首次发现ー盒空时另ー盒恰有r根的概率是多少?第一次用完一盒火柴时(不是发现空)而另ー盒恰有/"根的概率又有多少?【解】以う、あ记火柴取自不同两盒的事件,则有尸(4)=尸(息)=丄.(1)发现ー盒已空,另ー盒恰剩/・根，说明已取了2〃ー厂次，设〃次取自用盒(已空)，〃サ次取自あ盒,第2〃-什1次拿起ル，发现已空。把取2〃ーr次火柴视作2〃-/・重贝努里试验，则所求概率为ロ=2C農,(g)"(；)~g=C;上式中2反映ル与あ盒的对称性(即也可以是あ盒先取空).(2)前2〃ーr-l次取火柴,有〃ー1次取自与盒,〃ー/・次取自あ盒，第2〃ー;•次取自ゐ盒，故概率为.求〃重贝努里试验中ス出现奇数次的概率.【解】设在ー次试验中A出现的概率为p.则由(夕+P)"=C%°グ+c：,pグT+Cジグー2+…+cがづ=1(q-PY=C：p。グ+C：pグt+C32グー2一…+(T)"c：pZ。以上两式相减得所求概率为p,=c>r'+c>v-3+-=;ロー(4ー。)"]=;ロー(1-2p)"]若要求在〃重贝努里试验中ス出现偶数次的概率,则只要将两式相加,即得死=如(l-2p)〕.设ス,B是任意两个随机事件,求P{(1+fi)(A+B)(A+B)(A+B)}的值.【解】因为(/U8)n(AUB)=ABUAB(AUB)n(4UB)=4BUAB所求 (ス+8)(4+8)(ス+ゑ)(4+豆)=[(ス^Uス8)n(48+/8)]=0故所求值为0..设两两相互独立的三事件，A,8和C满足条件:ABC=中,尸(ス)=尸(8)=尸(。<1/2,且尸(/U8UC)=9/16,求尸(4).【解】由尸(/U8UC)=尸(ス)+尸(8)+尸(C)一P(AB)_P(AC)-P(BC)+P(ABC)=3P(4)-3[P(4)]2=lo故尸(4)=と或ヨ,按题设尸(A)くと,故尸(A)=-.44 2 4.设两个相互独立的事件ス和8都不发生的概率为1/9,ス发生8不发生的概率与8发生ス不发生的概率相等，求尸(4).【解】 P(AB)=P(AUB)=1-U5)=I①P(AB)=P(AB) ②故 P(A)-P(AB)=P(B)-P(AB)P(A)=P(B)

由A,B的独立性,及①、③式有ミ=1-p（m-p（B）+p（mp（B）=l-2P（A）+[P（A）f=ロー尸⑷2故 1ー尸（ス）=±ユ故 P（Z）=ー或PQ）=一（舍去）即尸（Z）=-.3.随机地向半圆〇＜产yl2ax-x2（。为正常数）内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x轴的夹角小于n/4的概率为多少?【解】利用儿何概率来求,图中半圆面积为丄”ノ.阴影部分面积为2兀2.12—a+—4TOC\o"1-5"\h\z4 2故所求概率为兀2 1 2一U4 CI1 1かー4 2 ,11P- : - 1 2 2n—Tta2品,求另ー•件也是不合格品的概率.【解】设ス=｛两件中至少有一件是不合格品｝,.设10件产品中有品,求另ー•件也是不合格品的概率.【解】设ス=｛两件中至少有一件是不合格品｝,C二。二1C25.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取•个地区的报名表,从中先后抽出两份.（1）求先抽到的ー份是女生表的概率p；（2）已知后抽到的ー份是男生表，求先抽到的ー份是女生表的概率タ.【解】设4=｛报名表是取自第，区的考生｝,户1,2,3.ケ｛第j次取出的是女生表｝,7=1,2.则 P（4）=-,z=l,2,3尸（即4）=.p（即ル）=«,尸（即4）=六

3 13 7 3夕=尸（即瓦）=P(80)

P(层)2990⑴p=尸(与)=エ尸(り|4)=可(高+ス+六)

J夕=尸（即瓦）=P(80)

P(层)2990p（ゑ2）=£p（瓦I4）p（4）」こ+色20、61

T )=—」こ+色25 90产团瓦)=£尸但瓦14)尸(4)13778 520、2=—(—X—Hx1x——)=—

3109151425249P（B価"

P（B価"

尸（ル）o-12-6

ーー2一96190.设ん8为随机事件,且尸(B)>0,尸(a8)=1,试比较尸(4U8)与尸(/)的大小.(2006研考)解:因为 P(AU5)=P(A)+P(B)-P(AB)P(AB)=P(B)-P(A\B)=P(B)所以 P(AU5)=P(A)+P(B)-P(B)=P(A).习题ニ.ー袋中有5只乒乓球,编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3只,以X表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X的分布律.【解】X=3,4,5尸(丫=3)メ=。」し5P(X=4)=—=0.3し5尸(X=5)=.=0.6し5故所求分布律为X345P0.10.30.6.设在15只同类型零件中有2只为次品,在其中取3次，每次任取1只,作不放回抽样,以X表示取出的次品个数，求:(1)X的分布律;X的分布函数并作图;P{X<-},P{1<%<-},P{1<X<-},P{1<%<2}.【解】故X的分布律为X=0,l,2.P(Z=O)=|i-=||.し1533ClC212P(X=1)=^11=—.C，35C11P(X=2)=W=-kC%35X 01 2P 223512 135 35(2)当x<0时,F(x)=P(XWx)=022当〇<x<l时，F(x)=P(XWx)=P(X=O尸ー

当l<x<2时,F(x)=P(XWx)=P(X=Q)+P(X=\)=—当x22时,F(x)=P(X<x)=1故X的分布函数0,x<01,x>2341尸(1<X<2)=ド⑵ード⑴一尸(X=2)=l =0..射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8,求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数,并求3次射击中至少击中2次的概率.【解】设X表示击中目标的次数.则六0,1,2,3.P(X=O)=(0.2)3=0.008P(X=1)=C；0.8(0.2)2=0.096P(X=2)=C；(0.8>0.2=0.384尸(X=3)=(0.8)3=0.512故X的分布律为X0123P0.0080.0960.3840.512分布函数x<00.008,0<x<l尸(X)=.0.104,1<x<20.488,2<x<3.1,x>3P{X>2)=P(X=2)+P(X=3)=0.896.(1)设随机变量X的分布律为才

P[X=k}=a—,其中hO,1,2,ス＞0为常数,试确定常数。(2)设随机变量X的分布律为P{X=k、=a/N, k=\,2,…，N,试确定常数【解】(1)由分布律的性质知1=ゝP(X=k)= —=ae，k=0 k=0卜!故 a=e"(2)由分布律的性质知1=£0('=%)=£(=。即 a=\..甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次,求:(1)两人投中次数相等的概率;(2)甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令分、y表示甲、乙投中次数,则X-6(3,0.6),レ6(3,0.7)p(x=y)=p(x=o,y=〇)+p(x=i,r=i)+p(x=2,y=2)+尸(X=3,Y=3)=(0.4)3(0.3)3+C；0.6(04)2c；0.7(03)2+C；(0.6>0.4C；(0.7>0.3+(0.6)3(0.7)3=0.32076(2)尸(x〉y)=p(x=i,y=o)+p(x=2,y=o)+p(x=3,y=o)+P(X=2,ド=1)+尸(X=3,y=l)+P(X=3,y=2)=C；0.6(0.4)2(0.3)3+C；(0.6>0.4(0.3)3+(0.6)3(03)3+C；(0.6)20.4C；0.7(0.3>+(0.6)3C；0.7(0.3/+(0.6)3C；(0.7)20.3=0.243.设某机场每天有200架飞机在此降落,任一飞机在某一时刻降落的概率设为