2023学年江苏省溧阳市高三下学期第五次调研考试数学试题（含解析）

2023学年高考数学模拟测试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件2．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．3．已知直线：与椭圆交于、两点，与圆：交于、两点.若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（）A． B． C． D．4．对于正在培育的一颗种子，它可能1天后发芽，也可能2天后发芽，….下表是20颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表，则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是()发芽所需天数1234567种子数43352210A．2 B．3 C．3.5 D．45．下列说法正确的是（）A．命题“，”的否定形式是“，”B．若平面，，，满足，则C．随机变量服从正态分布（），若，则D．设是实数，“”是“”的充分不必要条件6．已知，满足条件（为常数），若目标函数的最大值为9，则（）A． B． C． D．7．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A． B．C． D．8．已知椭圆，直线与直线相交于点，且点在椭圆内恒成立，则椭圆的离心率取值范围为（）A． B． C． D．9．设全集，集合，则＝()A． B． C． D．10．已知函数f（x）＝eb﹣x﹣ex﹣b+c（b，c均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f（5）+f（﹣1）＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．411．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则的取值范围是（）.A． B． C． D．12．已知向量，，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在如图所示的三角形数阵中，用表示第行第个数，已知，且当时，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和，即，若，则正整数的最小值为______.14．已知数列的首项，函数在上有唯一零点，则数列|的前项和__________.15．函数在处的切线方程是____________.16．在中，若，则的范围为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，侧棱底面，，，，是棱的中点.（1）求证：平面；（2）若，点是线段上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值.18．（12分）已知函数，其中为自然对数的底数.（1）若函数在区间上是单调函数，试求的取值范围；（2）若函数在区间上恰有3个零点，且，求的取值范围.19．（12分）中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体，给人于美的享受．如图（1）为一花窗；图（2）所示是一扇窗中的一格，呈长方形，长30cm，宽26cm，其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称．设菱形的两条对角线长分别为xcm和ycm，窗芯所需条形木料的长度之和为L．（1）试用x，y表示L；（2）如果要求六根支条的长度均不小于2cm，每个菱形的面积为130cm2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？20．（12分）已知数列，其前项和为，满足，，其中，，，.⑴若，，（），求证：数列是等比数列；⑵若数列是等比数列，求，的值；⑶若，且，求证：数列是等差数列.21．（12分）已知直线l的极坐标方程为，圆C的参数方程为（为参数）．（1）请分别把直线l和圆C的方程化为直角坐标方程；（2）求直线l被圆截得的弦长．22．（10分）已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；（2）设点，直线与曲线交于两点，求的值.

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【答案解析】

根据对数函数以及指数函数的性质求解a,b的范围，再利用充分必要条件的定义判断即可．【题目详解】由“”，得，得或或，即或或，由，得，故“”是“”的必要不充分条件，故选C．【答案点睛】本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查指数，对数不等式的解法，是基础题．2、C【答案解析】

根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围.【题目详解】当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大.此时椭圆长轴长为，短轴长为6，所以椭圆离心率，所以.故选：C【答案点睛】本题考查了橢圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题.3、A【答案解析】

由题意可知直线过定点即为圆心，由此得到坐标的关系，再根据点差法得到直线的斜率与坐标的关系，由此化简并求解出离心率的取值范围.【题目详解】设，且线过定点即为的圆心，因为，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以.故选：A.【答案点睛】本题考查椭圆与圆的综合应用，着重考查了椭圆离心率求解以及点差法的运用，难度一般.通过运用点差法达到“设而不求”的目的，大大简化运算.4、C【答案解析】

根据表中数据，即可容易求得中位数.【题目详解】由图表可知，种子发芽天数的中位数为，故选：C.【答案点睛】本题考查中位数的计算，属基础题.5、D【答案解析】

由特称命题的否定是全称命题可判断选项A；可能相交，可判断B选项；利用正态分布的性质可判断选项C；或，利用集合间的包含关系可判断选项D.【题目详解】命题“，”的否定形式是“，”，故A错误；，，则可能相交，故B错误；若，则，所以，故，所以C错误；由，得或，故“”是“”的充分不必要条件，D正确.故选：D.【答案点睛】本题考查命题的真假判断，涉及到特称命题的否定、面面相关的命题、正态分布、充分条件与必要条件等，是一道容易题.6、B【答案解析】

由目标函数的最大值为9，我们可以画出满足条件件为常数）的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数的方程组，消参后即可得到的取值．【题目详解】画出，满足的为常数）可行域如下图：由于目标函数的最大值为9，可得直线与直线的交点，使目标函数取得最大值，将，代入得：．故选：．【答案点睛】如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组，代入另一条直线方程，消去，后，即可求出参数的值．7、D【答案解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（），数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.8、A【答案解析】

先求得椭圆焦点坐标，判断出直线过椭圆的焦点.然后判断出，判断出点的轨迹方程，根据恒在椭圆内列不等式，化简后求得离心率的取值范围.【题目详解】设是椭圆的焦点，所以.直线过点，直线过点，由于，所以，所以点的轨迹是以为直径的圆.由于点在椭圆内恒成立，所以椭圆的短轴大于，即，所以，所以双曲线的离心率，所以.故选：A【答案点睛】本小题主要考查直线与直线的位置关系，考查动点轨迹的判断，考查椭圆离心率的取值范围的求法，属于中档题.9、A【答案解析】

先求得全集包含的元素，由此求得集合的补集.【题目详解】由解得，故，所以，故选A.【答案点睛】本小题主要考查补集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.10、C【答案解析】

根据对称性即可求出答案．【题目详解】解：∵点（5，f（5））与点（﹣1，f（﹣1））满足（5﹣1）÷2＝2，故它们关于点（2，1）对称，所以f（5）+f（﹣1）＝2，故选：C．【答案点睛】本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题．11、C【答案解析】

框图的功能是求等比数列的和，直到和不满足给定的值时，退出循环，输出n.【题目详解】第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：；此时满足输出结果，故.故选：C.【答案点睛】本题考查程序框图的应用，建议数据比较小时，可以一步一步的书写，防止错误，是一道容易题.12、C【答案解析】

求出，进而可求,即能求出向量夹角.【题目详解】解：由题意知，.则所以，则向量与的夹角为.故选:C.【答案点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查了数量积的坐标表示.求向量夹角时，通常代入公式进行计算.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2023【答案解析】

根据条件先求出数列的通项，利用累加法进行求解即可．【题目详解】，，，下面求数列的通项，由题意知，，，，，，数列是递增数列，且，的最小值为.故答案为：.【答案点睛】本题主要考查归纳推理的应用，结合数列的性质求出数列的通项是解决本题的关键．综合性较强，属于难题．14、【答案解析】

由函数为偶函数，可得唯一零点为，代入可得数列的递推关系式，再进行配凑转换为等比数列，最后运用分部求和可得答案.【题目详解】因为为偶函数，在上有唯一零点，所以，∴，∴，∴为首项为2，公比为2的等比数列.所以，.故答案为：【答案点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的零点,同时也考查了由递推关系式求数列的通项,考查了数列的分部求和，属于中档题.15、【答案解析】

求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.【题目详解】，则，，.因此，函数在处的切线方程是，即.故答案为：.【答案点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.16、【答案解析】

借助正切的和角公式可求得，即则通过降幂扩角公式和辅助角公式可化简,由，借助正弦型函数的图象和性质即可解得所求.【题目详解】，所以，.因为，所以，所以.故答案为:.【答案点睛】本题考查了三角函数的化简,重点考查学生的计算能力,难度一般.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）【答案解析】

（1）的中点，连接，，证明四边形是平行四边形可得，故而平面；（2）以为原点建立空间坐标系，求出平面的法向量，计算与的夹角的余弦值得出答案．【题目详解】（1）证明：取的中点，连接，，，分别是，的中点，，，又，，，，四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面．（2）解：，，又，故，以为原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，2，，，0，，，2，，是的中点，是的三等分点，，1，，，，，，，，，0，，，2，，设平面的法向量为，，，则，即，令可得，，，，，直线与平面所成角的正弦值为．【答案点睛】本题考查了线面平行的判定，空间向量与直线与平面所成角的计算，属于中档题．18、（1）；（2）.【答案解析】

（1）求出，再求恒成立，以及恒成立时，的取值范围；（2）由已知，在区间内恰有一个零点，转化为在区间内恰有两个零点，由（1）的结论对分类讨论，根据单调性，结合零点存在性定理，即可求出结论.【题目详解】（1）由题意得，则，当函数在区间上单调递增时，在区间上恒成立.∴（其中），解得.当函数在区间上单调递减时，在区间上恒成立，∴（其中），解得.综上所述，实数的取值范围是.（2）.由，知在区间内恰有一个零点，设该零点为，则在区间内不单调.∴在区间内存在零点，同理在区间内存在零点.∴在区间内恰有两个零点.由（1）易知，当时，在区间上单调递增，故在区间内至多有一个零点，不合题意.当时，在区间上单调递减，故在区间内至多有一个零点，不合题意，∴.令，得，∴函数在区间上单凋递减，在区间上单调递增.记的两个零点为，∴，必有.由，得.∴又∵，∴.综上所述，实数的取值范围为.【答案点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到函数的单调性、零点问题，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.19、（1）（2）【答案解析】试题分析：（1）由条件可先求水平方向每根支条长，竖直方向每根支条长为，因此所需木料的长度之和L=（2）先确定范围由可得，再由面积为130cm2，得，转化为一元函数，令，则在上为增函数，解得L有最小值．试题解析：（1）由题意，水平方向每根支条长为cm，竖直方向每根支条长为cm，菱形的边长为cm．从而，所需木料的长度之和L=cm．（2）由题意，，即，又由可得．所以．令，其导函数在上恒成立，故在上单调递减，所以可得．则=．因为函数和在上均为增函数，所以在上为增函数，故当，即时L有最小值．答：做这样一个窗芯至少需要cm长的条形木料．考点：函数应用题20、（1）见解析（2）（3）见解析【答案解析】试题分析：（1）(),所以，故数列是等比数列；（2）利用特殊值法，得，故；（3）得，所以，得，可证数列是等差数列.试题解析：（1）证明：若，则当(),所以，即，所以，又由，，得，，即，所以，故数列是等比数列．（2）若是等比数列，设其公比为（），当时，，即，得，①当时，，即，得，②/r/