2022年秋高中数学第三章圆锥曲线的方程3.3抛物线3.3.2抛物线的简单几何性质课件新人教A版选择性必修第一册

3.3.2抛物线的简单几何性质第三章课标要求1.了解抛物线的简单几何性质.2.能运用抛物线的几何性质解决相关问题.3.掌握直线与抛物线的位置关系,并会用方程思想解决此类问题.内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标基础落实•必备知识全过关知识点1

抛物线的简单几何性质

标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R对称轴x轴

焦点F

x轴

y轴

y轴

标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)顶点

准线x=-

离心率

开口方向向右向

向

向

原点(0,0)e=1左

上

下名师点睛1.抛物线没有渐近线,在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状,因为双曲线的开口越来越开阔,而抛物线的开口越来越扁平.2.抛物线的顶点只有一个,抛物线的焦点总在对称轴上,抛物线的准线始终与对称轴垂直.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)抛物线关于顶点对称.(

)(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心.(

)(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.(

)2.抛物线的几何性质与椭圆、双曲线的有何不同?√×√提示

抛物线的几何性质与椭圆、双曲线的相比有较大差别,它的离心率为定值1,只有一个焦点,一个顶点、一条对称轴、一条准线,没有渐近线,没有对称中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆、双曲线为有心圆锥曲线.知识点2

直线与抛物线的位置关系设直线l:y=kx+m,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0.(1)若k≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点;当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个切点;当Δ<0时,直线与抛物线相离,没有公共点.(2)若k=0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.直线与抛物线只有一个公共点时,可以直线与抛物线相切,也可以相交

过关自诊已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则(

)A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点答案

C解析

∵直线y=kx-k=k(x-1),∴直线过点(1,0),又点(1,0)在抛物线y2=2px的内部,∴当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点.重难探究•能力素养全提升探究点一抛物线几何性质的应用【例1】

已知抛物线y2=8x.(1)求出该抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、自变量x的范围.(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,其中|OA|=|OB|.若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长.思路分析(1)利用抛物线的对应性质求解;(2)利用抛物线的对称性及重心的性质求解.解

(1)抛物线y2=8x的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、自变量x的范围分别为(0,0),(2,0),直线x=-2,x轴,[0,+∞).(2)如图所示.由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴,设垂足为点M.因为焦点F是△OAB的重心,规律方法

抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用,但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件.其中应用最广泛的是范围、对称性、顶点坐标.在解题时,应先注意开口方向、焦点位置,选准标准方程形式,然后利用条件求解.要注意运用数形结合思想,根据抛物线的定义,将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化.变式训练1已知抛物线的焦点F在x轴上,直线l过F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,坐标原点O为抛物线的顶点,若△OAB的面积等于4,求此抛物线的标准方程.探究点二直线与抛物线的位置关系【例2】

已知抛物线y2=2x,过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A,B两点,试求弦AB的中点的轨迹方程.规律方法

1.解决中点弦问题的基本方法是点差法,因为用点差法求轨迹方程时用到了斜率,所以必须验证斜率不存在的情况.2.直线与抛物线相交于两点,隐含着条件Δ>0,求y1+y2及x1+x2是为利用中点坐标公式做准备.3.设直线l:y=kx+b,抛物线y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立消元得k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.(1)若k2=0,此时直线与抛物线有一个交点,该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.(2)若k2≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点;当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点;当Δ<0时,直线与抛物线相离,无交点.变式训练2设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是(

)答案

C解析

由题知Q(-2,0),若直线l的斜率不存在,显然不合题意.故直线l的斜率存在,设为k,则l的方程为y=k(x+2).当k=0时显然符合题意;当k≠0时,需Δ≥0,即16(k2-2)2-4k2·4k2≥0,解得-1≤k<0或0<k≤1.故直线l斜率的取值范围是[-1,1].探究点三抛物线的焦点弦问题【例3】

设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求直线l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.解

(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.规律方法

AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的一条弦,称为焦点弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中点为M(x0,y0),过A,M,B分别向抛物线的准线l作垂线,垂足分别为A1,M1,B1,抛物线的焦点弦有以下结论:答案

C探究点四与抛物线有关的定点、定值问题【例4】

已知动圆经过定点D(1,0),且与直线x=-1相切,设动圆圆心E的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程.(2)设过点P(1,2)的直线l1,l2分别与曲线C交于A,B两点,直线l1,l2的斜率存在,且倾斜角互补.证明:直线AB的斜率为定值.(1)解

∵动圆经过定点D(1,0),且与直线x=-1相切,∴E到点D(1,0)的距离等于E到直线x=-1的距离,∴E的轨迹是以D(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线.∴曲线C的方程为y2=4x.(2)证明

设直线l1的方程为y=k(x-1)+2.∵直线l1,l2的斜率存在,且倾斜角互补,∴l2的方程为y=-k(x-1)+2.规律方法

定值与定点问题的求解策略(1)欲证某个量为定值,先将该量用某变量表示,通过变形化简若能消掉此变量,即证得结论,所得结果即定值.(2)寻求一条直线经过某个定点的常用方法:①通过方程判断;②对参数取几个特殊值探求定点,再证明此点在直线上;③利用曲线的性质(如对称性等),令其中一个变量为定值,再求出另一个变量为定值;④转化为三点共线的斜率相等或向量平行等.变式训练4已知抛物线的方程是y2=4x,直线l交抛物线于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2).(1)若弦AB的中点为(3,3),求直线l的方程;(2)若y1y2=-12,求证:直线l过定点.(2)证明

当l的斜率存在时,易知k≠0,设l的方程为y=kx+b,代入抛物线方程,整理,得ky2-4y+4b=0,y1y2==-12,b=-3k,l的方程为y=kx-3k=k(x-3),过定点(3,0).当l的斜率不存在时,y1y2=-12,则x1=x2=3,l过定点(3,0).综上,l过定点(3,0).本节要点归纳1.知识清单:(1)抛物线的几何性质及应用;(2)直线和抛物线的位置关系;(3)抛物线中弦长问题,轨迹问题.2.方法归纳:直接法、定义法、待定系数法.3.常见误区:(1)求抛物线方程时焦点的位置易判断失误;(2)数学运算的失误;(3)求轨迹方程的等价性失误.学以致用•随堂检测全达标1.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,若x1+x2=3p,则|PQ|等于(

)A.4p

B.5p

C.6p

D.8p答案A

解析

由焦点弦长公式知|PQ|=x1+x2+p=4p.2.(多选题)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为(

)A.y2=8x B.y2=-8xC.x2=8y

D.x2=-8y答案

CD解析

设抛物线方程为x2=2py或x2=-2py(p>0),2p=8,p=4.∴抛物线方程为x2=8y或x2=-8y.3.已知点P(6,y)在抛物线y2=2px(p>0)上,若点P到抛物线焦点F的距离等于8,则焦点F到抛物线准线的距离等于(

)A.2 B.1C.4 D.8答案C

解析

抛物线y2=