2022年秋高中数学第二章平面解析几何2.3圆及其方程2.3.1圆的标准方程课件新人教B版选择性必修第一册

2.3.1圆的标准方程第二章课标要求1.掌握圆的定义及标准方程;2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程,并能解决一些简单的实际问题;3.能用待定系数法求圆的标准方程;4.能用圆的几何性质处理与圆心及半径有关的问题.内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标基础落实•必备知识全过关知识点1

圆的定义平面内到一定点的距离等于定长的点的

是圆,其中定点是

,定长是圆的

.

知识点2

圆的标准方程一般地,如果平面直角坐标系中☉C的圆心为C(a,b),半径为r(r>0),设M(x,y)为平面直角坐标系中任意一点,则点M在☉C上的充要条件是|CM|=r,即

=r,两边平方,得

,通常称为圆的标准方程.

集合

圆心半径(x-a)2+(y-b)2=r2

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)方程(x-a)2+(y-b)2=r2一定是圆的方程.(

)(2)函数y=b-

(r>0)的图象是以(a,b)为圆心,半径为r的位于直线y=b下方的半圆弧.(

)×√2.在平面直角坐标系中,圆是函数的图象吗?提示根据函数知识,对于平面直角坐标系中的某一曲线,如果任意一条垂直于x轴的直线与此曲线至多有一个交点,那么这条曲线是函数的图象,否则,不是函数的图象.对于平面直角坐标系中的圆,存在一条垂直于x轴的直线与其有两个交点,因此圆不是函数的图象.知识点3

点与圆的位置关系点M(x0,y0)与☉C:(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断方法

位置关系利用距离判断利用方程判断点M在圆上|CM|=r(x0-a)2+(y0-b)2=r2点M在圆外|CM|>r(x0-a)2+(y0-b)2>r2点M在圆内|CM|<r(x0-a)2+(y0-b)2<r2过关自诊点P(1,3)与圆x2+y2=24的位置关系是(

)A.点在圆外 B.点在圆内C.点在圆上 D.不确定答案

B重难探究•能力素养全提升探究点一求圆的标准方程【例1】

(1)圆心在点C(2,1),半径长是

的圆的标准方程为

.

(2)圆心在点C(8,-3),且过点P(5,1)的圆的标准方程为

.

(3)已知两点A(-1,-3),B(3,a),以线段AB为直径的圆经过原点,则该圆的标准方程为

.

答案

(1)(x-2)2+(y-1)2=3

(2)(x-8)2+(y+3)2=25

(3)(x-1)2+(y+2)2=5

∵以线段AB为直径的圆经过原点,∴(0,0)代入①成立,解得a=-1.故圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=5.规律方法

1.确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径,因此用直接法求圆的标准方程时,要首先求出圆心坐标和半径,然后直接写出圆的标准方程.2.确定圆心和半径时,常用到中点坐标公式、两点间距离公式,有时还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”,“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等.变式训练以两点A(-3,-1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是(

)A.(x+1)2+(y+2)2=100 B.(x-1)2+(y-2)2=100C.(x+1)2+(y+2)2=25 D.(x-1)2+(y-2)2=25答案D

解析

∵线段AB为直径,∴AB的中点(1,2)为圆心,∴该圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=25.

探究点二点与圆的位置关系【例2】

已知在平面直角坐标系中有A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2)四点,这四点能否在同一个圆上,为什么?(x-1)2+(y-3)2=5.把点D的坐标(-1,2)代入上述圆的方程,得(-1-1)2+(2-3)2=5.所以点D在经过A,B,C三点的圆上,即A,B,C,D四点能在同一个圆上.规律方法

判断点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系的方法

变式探究试求过三点A(0,1),B(2,1),C(3,4)的圆的标准方程,并且判断点(3,6)与所求圆的位置关系.解所求圆的方程同例题中的结论(x-1)2+(y-3)2=5.因为点(3,6)代入方程的左边可得(3-1)2+(6-3)2=13>5,所以点(3,6)在该圆外.素养培优一题多解——待定系数法与几何法求圆的标准方程【典例】

求经过点P(1,1)和坐标原点,并且圆心在直线2x+3y+1=0上的圆的标准方程.【规范答题】

解(方法一)待定系数法设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,∴圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25.(方法二)几何法由题意知OP是圆的弦,其垂直平分线为x+y-1=0.∵弦的垂直平分线过圆心,规律方法

1.待定系数法求圆的标准方程的一般步骤

2.几何法即是利用平面几何知识,求出圆心和半径,然后写出圆的标准方程.3.有时待定系数法和几何法交叉使用,体现数形结合的数学思想.学以致用•随堂检测全达标1.圆心为(3,1),半径为5的圆的标准方程是(

)A.(x+3)2+(y+1)2=5B.(x+3)2+(y+1)2=25C.(x-3)2+(y-1)2=5D.(x-3)2+(y-1)2=25答案

D2.若点(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部,则实数a满足(

)答案

D解析

依题意有(5a)2+144a2<1,所以169a2<1,3.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的标准方程是(

)A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=1答案A

解析

(方法一)直接法

∴b=2,∴圆的标准方程是x2+(y-2)2=1.(方法二)数形结合法作图(如图),根据点(1,2)到圆心的距离为1,且圆心在y轴上易知,圆心为(0,2),故圆的标准方程是x2+(y-2)2=1.4.圆(x-3)2+(y+1)2=1关于直线x+y-3=0对称的圆的标准方程是