2021一模解答题数列

【第一组】宝山21.若有穷数列は“｝:七、あ、…'x"满足ム+|N七+，，x,.>0(这里ハ〃eN*,«>3,l<z<n-l»常数，>0),则称有穷数列｛ん｝具有性质P").(1)已知有穷数列は"｝具有性质尸(り(常数f2丄),且21ス2ーム1+1ス3-*2I+…+|X"-X"_|| -,试求・的值;(2)设。川=2|り+，+2|-|4+,一2|(i、〃eN*,n>3,\<i<n-\,常数r>2),判断有穷数列｛4ノ是否具有性质ー2),并说明理由;(3)若有穷数列｛券｝:M、%、…'先具有性质P⑴,其各项的和为200〇,将あ、当、…、れ中的最大值记为A,当AeN・时,求A+〃的最小值.【第二组】崇明21.对于数列｛4｝,若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和,则称｛ム｝为P数列.(1)若数列1,2,x,8是P数列,求实数ズ的取值范围;(2)设数列ム,斯,是首项为ー1ゝ公差为［的等差数列,若该数列是P数列,求d的取值范围;(3)设无穷数列｛し｝是首项为公比为"的等比数列,有穷数列｛〃｝、｛g｝是从｛凡｝中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，起所有项和分别记为キ、T2,求证:当a>0且エ=4时,数列｛し｝不是数数列.【第三组】虹口21.设x是实数,〃是整数,若|xー〃|〈丄,则称〃是数轴上与x最接近的整数.2（1）数列｛4｝的通项为ム,且对任意的正整数〃,〃是数轴上与し最接近的整数,写出ー个满足条件的数列｛%｝的前三项;（2）数列｛q｝的通项公式为《,=〃,其前〃项和为S”,求证:整数明是数轴上与实数^^最接近的整数;（3）［是首项为2,公比为§的等比数列的前〃项和,ル是数轴上与,最接近的正整数,求4+4+…+"202〇.【第四组】普陀.已知无穷数列团,ノ的首项为《,其前〃项和为5“,且41Mーム=〃(”eN*),其中d为常数且d*0.(1)设q=d=l,求数列｛4｝的通项公式,并求lim(l-丄)的值;an(2)设d=2,S7=-7.是否存在正整数ん使得数列｛〃•邑｝中的项公S«く夜成立?若存在,求出满足条件k的所有值,若不存在,请说明理由;(3)求证:数列｛%｝中不同的两项之和仍为此数列中的某ー项的充要条件为存在整数〃?且加之一1,使得4=〃7ム,2【第五组】长宁,2.若对于数列数“｝中的任意两项《、％(，＞ノ),在｛2｝中都存在一项am,使得品=丄,aj则称数列｛%｝为“X数列”;若对于数列｛%｝中的任意ー项し(n＞3)»在｛%｝中都存在两项见、a,(k＞い,使得。,=",则称数列｛q｝为“丫数列”.ai(1)若数列/“｝为首项为1公差也为1的等差数列,判断数列｛”/是否为“X数列”，并说明理由;(2)若数列｛叫的前〃项和S“=2"-l(〃eN*),求证:数列｛叫为“丫数列”；(3)若数列｛%｝为各项均为正数的递增数列,且既为“X数列”,又为“丫数列”，求证:q,a2,%,%成等比数列.【第六组】徐汇21.对于项数为加(/n>3,/neN)的有限数列｛%｝,记该数列前，项4,も,…，4中的最大项为七(i=1,2,…,小),记若=max｛4,,该数列后/w-i项。川,at+2,…，4”中的最小项ル(i=L2,…,m—1),记％=min｛4+1,q+2,…，4”｝,4=%-y(i=1,2,3,••,/»—1).(1)对于共有四项的数列:3,4,7,1«求出相应的4、ム、&；⑵设c为常数,且ヘ+ス…=c(ん=1,2,3,…,め),求证:ム=%(ん=1,2,3,…,加)；(3)设实数ス>0,数列｛%｝满足q=l,atl=Aan_,+-(〃=2,3,…,机),若数列｛凡｝对应的4满足4+1>4对任意的正整数，=1,2,3,…,加ー2恒成立，求实数/1的取值范围.【第七组】闵行21.已知数列｛4｝与出“｝满足(+|ーム=え(ク向ーク)(ス为非零常数)，neN,.(1)若｛a｝是等差数列,求证:数列｛%｝也是等差数列;(2)若q=2,2=3,6=sin—,求数列｛q｝的前2021项和;2フ h4-h(3)设4=仇=え，ん=ク，ム=也エ%!(n>3I〃wN*),若对<%｝中的任意2 2两项。ハ%(i,jwN*,i*j),14一勺l<2都成立,求实数/1的取值范围.【第ハ组】青浦21.若无穷数列｛ム｝和无穷数列g,』满足:存在正常数ん使得对任意的〃eN*,均有\an-b„\<A,则称数列｛し｝与也｝具有关系P(A).(1)设无穷数列｛ム｝和也,｝均是等差数列,且%=2〃,b,,=n+2(〃wN*),问:数列｛凡｝与｛み｝是否具有关系P(D?说明理由;(2)设无穷数列｛し｝是首项为1,公比为g的等比数列,4=し+i+l,neN,.证明:数列｛し｝与｛々｝具有关系P(A),并求»的最小值;(3)设无穷数列｛し｝是首项为1,公差为［(JeR)的等差数列,无穷数列｛み｝是首项为2,公比为4(夕eN*)的等比数列,试求数列｛し｝与｛み｝具有关系P(A)的充要条件.【第九组】嘉定21.若项数为"的有穷数列｛%｝满足:044<%<生<…<a«(keN*,ZN3),且对任意的i、j(l<i<j<k),勺+4与arai至少有一个是数列｛%｝中的项,则称数列｛凡｝具有性质A(1)判断数列1、2、4、8是否具有性质。,并说明理由;(2)设项数为似keN*,223)的数列｛し｝具有性质タ,求证:ね*=2(ム+ム+…+4);(3)若项数为仪んeN・メN3)的数列｛a“｝具有性质タ,写出一个当セ=4时,｛6,｝不是等差数列的例子，并证明当と>4时,数列｛凡｝是等差数列.【第十组】浦东19.勤俭节约是中华民族的传统美德,为避免舌尖上的浪费,各地各部门采取了精准供应的措施,某学校食堂经调查分析预测,从年初开始的前〃(〃=1,2,3,…,12)个月对某种食材[ 635〃 1<n<6的需求总量S.(公斤)近似地满足,2 Cい，为保证全年每ー[-6ガ+774〃ー6187<«<12个月该食材都够用,食堂前〃个月的进货总量须不低于前〃个月的需求总量.(1)如果每月初进货646公斤,那么前7个月每月该食材是否都够用?(2)若每月初等量进货，(公斤),为保证全年每一个月该食材都够用，求P的最小值.【第十一组】杨浦21.设数列｛%｝与ゆ”｝满足:｛4｝的各项均为正数,"cos4,n€N*.(1)设も=亨,a,=y(若｛勿｝是无穷等比数列,求数列け』的通项公式;(2)设。<q4エ,求证:不存在递减的数列｛。,J,使得｛〃｝是无穷等比数列;(3)当14〃く2优+1时，｛2｝为公差不为。的等差数列且其前26+1项的和为0,若对任意满足条件。<4,46万(l<n<2w+l)的数列｛叫,其前2机+1项的和52"均不超过100万,求正整数〃［的最大值.【第十二组】松江21.对于由m个正整数构成的有限集加=｛《,ム，生，…，4“｝,记P(M)=q+%+…+4,特别规定P(0)=O,若集合M满足:对任意的正整数え4P(M),都存在集合”的两个子集A、8,使得ス=P(A)-P(B)成立,则称集合为M为“满集”.(1)分别判断集合M=凡2｝与％=｛L4｝是否是“满集”,请说明理由;(2)若外,生,…,ち由小到大能排列成公差为d(deN*)的等差数列,求证:集合M为“满集”的必要条件是《=1,4=1或2；(3)若q,a2,•••,ち由小到大能排列成首项为1,公比为2的等比数列,求证:集合”是“满集”.【第十三组】金山21.若数列｛凡｝满足:44^4ス(2>1.且ス为实常数),〃WN*,则称数列｛%｝为え«„5(え)数列.(1)若数列に,J的前三项依次为4=2,a2=x,a3=9t且｛%｝为8(3)数列,求实数x的取值范围;(2)已知｛し｝是公比为ワ(gwl)的等比数列,且り>0,记Tn=|a2—a)|+1a3—«21+…+1an+1ー。〃I,T—tT若存在数列｛q｝为8(4)数列,使得小川"W0成立,求实数1的取值范围;

…T(3)记无穷等差数列｛し｝的首项为a,,公差为イ,证明:“0444义ード是“｛し｝为8(え)数列”的充要条件.。。12“13 •"a\na2\。22。23 '"a2n431。32〃33 •"a3n氏1%3 ."am.【第十四组】静安15.ガ（〃N5）个正数排成"行"列方阵,其中每一行从左至右成等差数列,每一列从上至下都是公比为同一个实数4的等比数列.已知42=1，%»=2,%=a.（1）设2=4”,求数列S“｝的通项公式;（2）设5,=%+%+〇3]+…,求证:S〃<1（A7GN*）；（3）设（请用数学归纳法证明:北=2ーヰ（"eN*）.【第十五组】黄浦21.已知函数y=/(x)的定义域为R,数列{%}(〃eN*)满足生マ4,/(ム)+げ(0バ)=，(ム+切ハ(n>2,neN*)(实数え、/是非零常数).(1)若え=-1,且数列伍“}(〃wN*)是等差数列,求实数，的值;(2)若生+妬尸。,数列{2}(〃eN*)满足ク=%+也(nsN,)，求通项公式”;(3)若ん=一1,『ナ1,数列{4}(«eN*)是等比数列,且4=a(a/0,aeR),%*q,试证明:于(a)=ta.【第一组】21.(1)f=丄;(2)&｝具有性质尸”一2)；(3)110.2【第二组】21.(1)(3,5)；(2)(〇,;);(3)略.【第三组】21.(1)1、2、3,an=n.(2)略;(3)7；=6[1-(-)"],12108.【第四组】(1)4=〃,1；(2)1、2、3、4、5、6、7、8；(3)略.【第五组】TOC\o"1-5"\h\z(1)数列｛4｝的通项为4=〃,ム=2,%=3, 2分a29•••丄=ス不是正整数,•..不是数列｛%｝的项,a22...数列｛%｝不是“X数列”. ……4分(2)数列｛《,｝的前〃项和S“=2"-1(〃wN*),Aan=2n~', ……6分当〃N3时,取セ=〃j-l,I=m-2, 8分则”,=22iT=2"T=q 数列｛し｝是“丫数列”. ……10分ai(3)证明:记タ=幺,..•数列仅“｝是各项均为正数的递增数列,.・・り>1,且当ん>ノ时,—>1, ……11分巧若ん〉/,an=~=~Xak>ak>ai9贝リ〃>ん〉ノ,① 12分。/ai•..数列｛%｝是“3>i>JZlx数列”，.•.存在，•>_/,且4=",%由①知:3>/>；>1,.-.i=2,J=l,2即q=歪="イ，即q,a2.小成等比数列， 14分...数列｛し｝是"X数列”,存在正整数セ、/(%>/),使得包=",可由①得:4〉ん〉/,「・3之え〉ノ,进而生="=4ザ"',记〃4=2»1wN*,ai••・数列｛凡｝是“丫数列”存在正整数山,使得し=2=4メ生="ゴ,«2由ワ>1得:am>a3, 16分若q=qプ<qグ,再由%="デ<ム得:2<%<3,与〃くwN・矛盾;若。4>4/=am,贝リ％<am<a4,与数列｛““｝递增矛盾,.•.%=4/,即4,a2,a3,4成等比数列. ……18分【第六组】(1)4=2,ム=3,4=6；(2)证明略;⑶Ae(-,1).【第七组】(1)略;(2)-2018；(3)(-2,0)U(0,2).【第八组】(1);ム=2〃,bn=n+2(〃eN*),若数列｛凡｝与｛々｝具有关系尸⑴，则对任意的〃wN*,均有1%ー々区1,即|2〃-(〃+2)区1,亦即|〃-2区1,但〃=4时,|n-2|=2>l,...数列｛%｝与｛2｝不具有关系P(D.(2)证明:•..无穷数列｛凡｝是首项为1,公比为く的等比数列，.•・4=(；)"T,.•,ク=4+|+1,..・仇=(*"+1,••-1へ-bnH(-)-,-(-)"-11=1-プ<1，.•.数列｛叫与电｝具有关系P(A),设A的最小值为4,\an-bn\<\,-：\an-bn\<\, A,^1,若。<ム<1,则当〃>1叫ロ-时,3- .则1— >ん，这与“对任意的〃eN*,均有1ムール区ん”矛盾，.ヽ4=1,即A的最小值为1.(3)..•数列5,』是首项为1,公差为d(JeR)为等差数列,无穷数列｛d｝是首项为2,公比为タ(qwN*)的等比数列,a“=%+(n—l)d=dn+1—d,bn=bxqn=—q"t设1—d=a,-=b>Otq q则ム=dn+a,b„=bqn,neN*»数列｛%｝与め｝具有关系尸(A),即存在正常数A,使得对任意的〃eN*,均有1/ー4区A,(I)当d=0,4=1时，I-b„H1-2|=1<1,取A=l,则I/一ク区A,数列｛%｝与｛4｝具有关系p(A)；(II)当d=0,4N2时，假设数列ノ"｝与｛a｝具有关系P(A),则存在正常数A,使得对任意的〃eN*,均有I4ー々区A,•.•也I一1%国。ー々I,.•.对任意的〃wN",\t>n\~\an\<A,即。グ41+A,qn<--,.■.n<\oSv--,b b这与“对任意的〃eN*,均有14I一I风区ん”矛盾,不合;(川)当［ナ0,4=1时,假设数列｛%｝与｛々｝具有性质尸(A),则存在正常数A,使得对任意的〃eN*,均有Iムー4IVA,•••|ム|一也国4fー纟I,.♦・对任意的“wN”,1ぐーク区A,即|凡区2+A,|グ〃+a区2+A,/.1|-1a|<2+A,n<"+ ,\d\这与“对任意的〃eN*,均有|ム|-1々区A”矛盾,不合;(IV)当dwO,gN2时，假设数列｛ム｝与｛a｝具有性质ア激),则存在正常数A,使得对任意的〃eN*,均有Iム一ガ区A,,:1力ITム141ムーガI,...对任意的〃wN*,I力I一Iム区A,bq"qdn+a\+Ad\n+\u\+A,q"4 〃H ,bb设W=/l>0,回±4=〃>O,则对任意的〃eN*,グ4ス〃+〃，b b..•グN2",••・对任意的〃eN*,2"<2n+/z,可以证明:存在N>1,当〃〉N时，2">n2,(利用バ〃)=2"ー〃2单调性)又2〃エ丸k+4,・・.ガくえ〃+〃,即ガース〃ー"<。,解得:0<れくス+ホプ4〃2这与对任意的〃eN*,2〃くス〃+ル矛盾,不合;综上:数列｛4｝与｛々｝具有关系尸(A)的充要条件为イ=O,q=L【第九组】21.(1)不具有性质P；(2)证明略;(3)数列。,1,4,5具有性质P,但该数列不是等差数列,证明略.【第十组】19.(1)够用;(2)652.2公斤.【第十一组】TOC\o"1-5"\h\z21.(1)b、=cos刈・=ー^^,b3-cos—=—,公比为q=— 2 分2 4 2 ' 32 ”2由片=ム也解得:ム=1,数列め｝的通项公式为4=(一也)"， ……4分7T(2)证明:反证法:设存在,则〇<ム<4<テ，此时cos%>cos“|>0,公比q=2>1, ……6分cosムcosan=cos01"(<7)"-1I考虑不等式cosq-グt>1, 8分当〃>1-10glz(cos4)时，即〃N1+［1—log/cosq)］时，有cosa“>l(其中［幻表示不超过x的最大整数)，这与れx)=cosx的值域为［-1,1］矛盾, ……10分••・假设不成立,得证.⑶..(ム+ち")(2加+1)=〇,.・.ム+%广。,2由等差数列性质ク+b2nl+2.,=ム+ム”用=。(IWiく机+1,/GN'), •”…11分TOC\o"1-5"\h\z即cos《.+cosa2m+2,,.=0J特别地,bm+i=0, 12分现考虑S?"的最大值,为使S?"取最大值,应有«„e［5］,6幻,否则在^2m+i中将替换a't,且cosan=cosa：,a：e［5乃,6乃］,将得到ー个更大的S2,向, ……14分由cosq.+cos%“+2t=°可知:q+%〃1+2T=2, =11乃,特别地,nw+1=-1,〒日,ハ、 八3ヽ11た(2m+1)/1万,,ハハ ,,ハ于是び21)2=机•(1阮)+テ=-ーキーG〇〇ズ， ……16分

解得:机4解得:机4记,•.•根的最大值为8.2218分【第十二组】TOC\o"1-5"\h\z(1)集合是“满集”,集合“2不是“满集”， ……2分对于集合M，P(必)=1+2=3,且必共有4个子集:0,⑴，{2},{1,2},当k分别取1,2,3时,由1=P({1})—P(0),2=P({2})-P(0),3=P({1,2))-P(0),M是“满集”； ……3分对于集合“2,P(M,)=l+4=5,且共有4个子集:0,⑴，{4},{1,4},当ん=2时,不存在{1,4}的两个子集A、B,使得P(A)-P(8)=2,・•・加2不是“满集”. ……4分(2)••・叫，生,…,ち由小到大能排列成公差为"(deN*)的等差数列，ム<ム<L<ム，记自=P(M)=ム+ム+L+ム, 5分为“满集”，•..对任意的正整数スく%,都存在集合M的两个子集A、B,使得ん=P(A)-P(B)成立,当ス=%-1时，由ムー1=P(A)-P(5),及P(B)NO知:P(A)=%或P(A)=%—1,若P(A)=%,则P(B)=1,TOC\o"1-5"\h\zq=l,此时A={4M2，“3，L,q』,B={a}], 7分若P(A)=&-1,则AuM,在M的真子集中,P(A)=42+/+L+4.最大,必有イ=1,此时ん={%，q丄,8=0,综上可得:卬=1, ……8分若dN3,当ス=自ー3时，•.,(/ー〇)〉(ふー1)>((た〇一1)一1)>&>(ム)一(1+め)>L,.♦・不存在M的子集4、B,使得ん=ムー3=P(A)—P(8),."=1,2,综上：集合M为“满集”的必要条件是4=1,d=l或2. ……10分(3)由已知:P={1,2,4,L,2"i},P(M)=l+2+4+L+2吁|=2'"-1, ……11分对任意ス42'"-1,,•・たeN”,，存在用”,ムeN・和回e{O,l},使得％=2匕+0,同理有仁=2勾+02,&2=2ム+，3,…,其中匕<ム-1,ムeN*,Pi€{0,1},经过有限次的操作后,必存在え=1(0<5<W),

TOC\o"1-5"\h\zk=2k\+月=2(2k?+p,)+P[=L=2"+2"1ps+2'Ps^\+L+2p,+2°pt, 14分当P*=0ム=L=巴"=1时，k=2x+2j>+2h+L+2j", ……16分此时取A={2',2%L,2ん},5=0,则有/>(4)ー尸(3)=(2'+2ム+2ム+L+2J")-0=k,..・集合M是“满集”. ……18分-<-<321.-<-<321.(1)解:由；,得,-<-<3—<x<63I故实数x的取值范围是［3,6］； 4分3<x<27IJx（2）解:由他,』为8（4）数列，得タ= 4］, 6分①当ワ€(1,4]时,an+l>an,故（,=（ルー。|）+（。3一ル川 卜（ム+1-4）=an+l~a\»从而冬=4三L"m冬=46（1,4］,所以当。>1时,ナ》q； 9分②当qe匕」）时,an+l<an,4故％=（4一心）十（。2一%）+…+（。”ー。〃+|）=イーo〃+111分从而冬=貝丁，hmず1"="所以当0<K1时，ナス111分Tn\-q" —°Tn（3）证明:（必要性）当｛4｝为B（/l）数列时，—>4>〇,4,ル故数列｛凡｝的所有项都同号,……12分由.¢［不，ス］,得 4ス，即一くスーI, 13分qX.