小学五年级奥数 数的整除特征课件

第一单元数的整除特征

熟记整除的性质，以及能被2、3、4、5、7、8、9、11、13、25、125整除的数的特征，能应用性质和特征解决简单的数字问题及生活中的问题第一单元数的整除特征熟记整除的性质，以及1（一）整除——约数、倍数像15÷3＝5，63÷7＝9这样，一般的，如果a、b、c为整数，b≠0，且a÷b＝c，即整数a除以整数b所得的商正好等于c且没有余数，我们就说a能被b整除（或者说b能整除a），记作：b︱a，否则，称a不能被b整除（或b不能整除a），记作：ba（一）整除——约数、倍数像15÷3＝5，63÷7＝9这样，2（二）数的整除性质1、看下面的两个例子：⑴我们知道2︱10，2︱6，2能整除10与6的和或者差吗能。2︱（10＋6）且2︱（10－6）⑵我们再看5︱25，5︱10，5能整除25与10的和或差吗？能。5︱（25＋10），5︱（25－10）你能从上面的题目中得到上面规律？（二）数的整除性质1、看下面的两个例子：3数的整除性质1性质1：如果a、b都能被c整除，那么他们的和或差也能被c整除。即：如果c︱a，c︱b那么c︱（a±b）你能再举出一个例子吗？数的整除性质1性质1：4数的整除性质22、我们再来看一组例子：

①

15能整除45，3×5＝15，3和5都能整除45吗？

②

3×7＝21，21能整除84，3和7都能整除84吗？

③

5×9＝45，45能整除135，5和9都能整除135吗？上面的3个例子有什么共同点？如果一个数能被两个数的积整除，它能被这两个数整除吗？数的整除性质22、我们再来看一组例子：5数的整除性质性质2：如果b、c的积能整除a,那么b和c都能整除a。即：如果bc︱a，那么b︱a，c︱a

反过来，如果b︱a，c︱a那么bc︱a一定正确吗？数的整除性质性质2：6数的整除性质33、我们看下面的例子：

①

4能够整除36，6也能整除36，4与6的积能整除36吗？

②

4能够整除80，5也能整除80，4与5的积能整除80吗？

③

5能够整除80，8也能整除80，5与8的积能整除80吗？这说明这两个数需要满足一定的条件！不能能能数的整除性质33、我们看下面的例子：不能能能7数的整除性质3性质3：如果b、c都能整除a，且b和c，那么b、c的积能整除a。即：如果b︱a，c︱a且（b，c）＝1，那么bc︱a。例如8︱324685008，9︱324685008且（8，9）＝1，那么︱324685008。互质72数的整除性质3性质3：互质728数的整除性质44、我们最后再看一个问题：如果c能整除b，b能整除a，那么c一定能整除a吗？自己出几个题目试试？

7能整除14，14能整除140，那么，7能整除140吗？

9能整除18，18能整除54，那么，9能整除54吗？能能数的整除性质44、我们最后再看一个问题：能能9数的整除性质4性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。即：如果c︱b，b︱a那么c︱a。数的整除性质4性质4：10我们来总结一下性质1：如果a、b都能被c整除，那么他们的和或差也能被c整除。即：如果c︱a，c︱b那么c︱（a±b）性质2：如果b、c的积能整除a,那么b和c都能整除a。即：如果bc︱a，那么b︱a，c︱a性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b、c的积能整除a。即：如果b︱a，c︱a且（b，c）＝1，那么bc︱a。性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。即：如果c︱b，b︱a那么c︱a。我们来总结一下性质1：如果a、b都能被c整除，那么他们的和或11（三）数的整除特征（一）：能被2、3、5、9、整除的数的整除特征；（二）①能被4、25整除：末两位数能被4和25整除；②能被8、125整除：末三位数能被8、125整除；③能被11整除：奇位数字之和与偶位数字之和的差（大减小）能被11整除；④能被7、11、13整除：末三位与末三位前面的数的差（大减小）能被7、11、13整除。（三）数的整除特征（一）：能被2、3、5、9、整除的数的整除12应用举例（一）

判断一个数能不能被整除例1、①判断35112能不能被7、11、13整除②33333333468375能不能被125整除③1234567891011121314能不能被3和9整除应用举例（一）

判断一个数能不能被整除例1、13①判断35112能不能被7、11、13整除回忆：能被7、11、13整除的数的特征：末三位数字与前面的数字的差（大减小）能被7、11、13整除。解：112－35＝77

因为777，1177，1377答：35112能被7和11整除，但不能被13整除。∣∣①判断35112能不能被7、11、13整除∣∣14②33333333468375能不能被125整除回忆：能被125整除的数的特征：末三位数字能被125整除。解：因为这个数的末三位数字375能被125整除，所以33333333468375能被125整除。②33333333468375能不能被125整除15③1234567891011121314能不能被3和9整除。回忆：能被3（或9）整除的数的特征：

各个数位数字的和能被3（或9）整除。解：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋1＋0＋1＋1＋1＋2＋1＋3＋1＋4＝60

因为360960

所以这个数能被3整除而不能被9整除。答：这个数能被3整除而不能被9整除。∣③1234567891011121314能不能被3和9整除。16应用举例（二）根据规律填空例2、⑴已知45︱

求所有满足条件的六位数。解：因为45＝5×9，根据整除的性质②，可知5︱

，9︱

所以y可以是0或者5，当y＝0时，根据9︱及数的整除特征可知x＝；当y＝5时，根据

9︱

及数的整除特征可知x＝

答：满足条件的六位数是或。59519930919935应用举例（二）根据规律填空例2、⑴已知45︱17（2）李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9□.2□元，已知□处数字相同，请问：每支钢笔多少元？分析：由28支钢笔的价格相同可知，总钱数9□.2□是28的倍数，同上面的解题思路类似，可以用数的整除性质和数的整除特征结合起来解答。（2）李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9189□.2□元＝9□2□分解：∵28＝4×7，根据整除的性质③，可知4︱9□2□且7︱9□2□

∴

根据4的整除特征可知□可以填0、4、8，

∵

79020，79424；79828。∴□处应当填。

÷28＝（分）＝（元）答：每支钢笔的价格是元。∣898283513.513.519□.2□元＝9□2□分解：∵28＝4×7，根据整除的性质③19思路回眸要判断一个数能否被一个合数整除，或者要确定一个能被合数整除的数，可以根据性质②，把合数拆成两个互质数相乘，再根据整除的特征确定所求的数。思路回眸要判断一个数能否被一个合数整除，或者要确定一个能被合20今日小结1、数的整除的有关概念；2、数的整除性质；3、数的整除特征；4、典型例题：

㈠判断一个数能否被另一个数整除；

㈡根据整除的性质和整除的特征求符合条件的数。今日小结1、数的整除的有关概念；21今日作业1.只修改970405的某一个数字，就可使修改后的六位数能被225整除，修改后的六位数是_____。（安徽省1997年小学数学竞赛题）2.在3□2□的方框里填入合适的数字，使组成的四位数是能被15整除的数中最大的一个，这个数是多少？（山东省1997年小学生数学竞赛初赛试题）3.一位采购员买了72只桶，在记账本上记下这笔账。由于他不小心，墨汁落在账本上把这笔账的总数污掉了两个数字。账本是这样写的：72只桶，共用去□67.9□元（□为被污掉的数字），请你帮忙把这笔账补上。应是____元。（德阳市第十届小学生数学邀请赛试题）。今日作业1.只修改970405的某一个数字，就可使修改后的六22

4、四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____5、

在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,

方格内应填_____。6、在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2

3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？

4、四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____5、

23第一单元数的整除特征

熟记整除的性质，以及能被2、3、4、5、7、8、9、11、13、25、125整除的数的特征，能应用性质和特征解决简单的数字问题及生活中的问题第一单元数的整除特征熟记整除的性质，以及24（一）整除——约数、倍数像15÷3＝5，63÷7＝9这样，一般的，如果a、b、c为整数，b≠0，且a÷b＝c，即整数a除以整数b所得的商正好等于c且没有余数，我们就说a能被b整除（或者说b能整除a），记作：b︱a，否则，称a不能被b整除（或b不能整除a），记作：ba（一）整除——约数、倍数像15÷3＝5，63÷7＝9这样，25（二）数的整除性质1、看下面的两个例子：⑴我们知道2︱10，2︱6，2能整除10与6的和或者差吗能。2︱（10＋6）且2︱（10－6）⑵我们再看5︱25，5︱10，5能整除25与10的和或差吗？能。5︱（25＋10），5︱（25－10）你能从上面的题目中得到上面规律？（二）数的整除性质1、看下面的两个例子：26数的整除性质1性质1：如果a、b都能被c整除，那么他们的和或差也能被c整除。即：如果c︱a，c︱b那么c︱（a±b）你能再举出一个例子吗？数的整除性质1性质1：27数的整除性质22、我们再来看一组例子：

①

15能整除45，3×5＝15，3和5都能整除45吗？

②

3×7＝21，21能整除84，3和7都能整除84吗？

③

5×9＝45，45能整除135，5和9都能整除135吗？上面的3个例子有什么共同点？如果一个数能被两个数的积整除，它能被这两个数整除吗？数的整除性质22、我们再来看一组例子：28数的整除性质性质2：如果b、c的积能整除a,那么b和c都能整除a。即：如果bc︱a，那么b︱a，c︱a

反过来，如果b︱a，c︱a那么bc︱a一定正确吗？数的整除性质性质2：29数的整除性质33、我们看下面的例子：

①

4能够整除36，6也能整除36，4与6的积能整除36吗？

②

4能够整除80，5也能整除80，4与5的积能整除80吗？

③

5能够整除80，8也能整除80，5与8的积能整除80吗？这说明这两个数需要满足一定的条件！不能能能数的整除性质33、我们看下面的例子：不能能能30数的整除性质3性质3：如果b、c都能整除a，且b和c，那么b、c的积能整除a。即：如果b︱a，c︱a且（b，c）＝1，那么bc︱a。例如8︱324685008，9︱324685008且（8，9）＝1，那么︱324685008。互质72数的整除性质3性质3：互质7231数的整除性质44、我们最后再看一个问题：如果c能整除b，b能整除a，那么c一定能整除a吗？自己出几个题目试试？

7能整除14，14能整除140，那么，7能整除140吗？

9能整除18，18能整除54，那么，9能整除54吗？能能数的整除性质44、我们最后再看一个问题：能能32数的整除性质4性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。即：如果c︱b，b︱a那么c︱a。数的整除性质4性质4：33我们来总结一下性质1：如果a、b都能被c整除，那么他们的和或差也能被c整除。即：如果c︱a，c︱b那么c︱（a±b）性质2：如果b、c的积能整除a,那么b和c都能整除a。即：如果bc︱a，那么b︱a，c︱a性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b、c的积能整除a。即：如果b︱a，c︱a且（b，c）＝1，那么bc︱a。性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。即：如果c︱b，b︱a那么c︱a。我们来总结一下性质1：如果a、b都能被c整除，那么他们的和或34（三）数的整除特征（一）：能被2、3、5、9、整除的数的整除特征；（二）①能被4、25整除：末两位数能被4和25整除；②能被8、125整除：末三位数能被8、125整除；③能被11整除：奇位数字之和与偶位数字之和的差（大减小）能被11整除；④能被7、11、13整除：末三位与末三位前面的数的差（大减小）能被7、11、13整除。（三）数的整除特征（一）：能被2、3、5、9、整除的数的整除35应用举例（一）

判断一个数能不能被整除例1、①判断35112能不能被7、11、13整除②33333333468375能不能被125整除③1234567891011121314能不能被3和9整除应用举例（一）

判断一个数能不能被整除例1、36①判断35112能不能被7、11、13整除回忆：能被7、11、13整除的数的特征：末三位数字与前面的数字的差（大减小）能被7、11、13整除。解：112－35＝77

因为777，1177，1377答：35112能被7和11整除，但不能被13整除。∣∣①判断35112能不能被7、11、13整除∣∣37②33333333468375能不能被125整除回忆：能被125整除的数的特征：末三位数字能被125整除。解：因为这个数的末三位数字375能被125整除，所以33333333468375能被125整除。②33333333468375能不能被125整除38③1234567891011121314能不能被3和9整除。回忆：能被3（或9）整除的数的特征：

各个数位数字的和能被3（或9）整除。解：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋1＋0＋1＋1＋1＋2＋1＋3＋1＋4＝60

因为360960

所以这个数能被3整除而不能被9整除。答：这个数能被3整除而不能被9整除。∣③1234567891011121314能不能被3和9整除。39应用举例（二）根据规律填空例2、⑴已知45︱

求所有满足条件的六位数。解：因为45＝5×9，根据整除的性质②，可知5︱

，9︱

所以y可以是0或者5，当y＝0时，根据9︱及数的整除特征可知x＝；当y＝5时，根据

9︱

及数的整除特征可知x＝

答：满足条件的六位数是或。59519930919935应用举例（二）根据规律填空例2、⑴已知45︱40（2）李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9□.2□元，已知□处数字相同，请问：每支钢笔多少元？分析：由28支钢笔的价格相同可知，总钱数9□.2□是28的倍数，同上面的解题思路类似，可以用数的整除性质和数的整除特征结合起来解答。（2）李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9419□.2□元＝9□2□分解：∵28＝4×7，根据整除的性质③，可知4︱9□2□且7︱9□2□

∴

根据4的整除特征可知□可以填0、4、8