《理论力学》静力学典型习题答案

1-3试画出图示各结构中构件AB的受力图1-4试画出两结构中构件ABCD的受力图1-5试画出图a和b所示刚体系整体各个构件的受力图1-5a1-5b解：杆AB,BC,CD为二力杆，受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。解法1（解析法）假设各杆受压，分别选取销钉B和C为研究对象，受力如图所示：yBFb

yBFb由共点力系平衡方程，对B点有：工F=0F—Fcos45o=0x2BC对C点有：工F=0F—Fcos30o=0xBC126解以上二个方程可得：F二F二1.63F1322解法2（几何法）分别选取销钉B和C为研究对象，根据汇交力系平衡条件，作用在B和C点上的力构成封F的力多边形C点上的力构成封F的力多边形BC对B点由几何关系可知：F=Fcos45。2BC对C点由几何关系可知：F=Fcos300BC1解以上两式可得：F=1.63F122-3在图示结构中，二曲杆重不计，曲杆AB上作用有主动力偶M。试求A和C点处的约束力。

解：BC为二力杆（受力如图所示），故曲杆AB在B点处受到约束力的方向沿BC两点连线的方向。曲杆AB受到主动力偶M的作用，A点和B点处的约束力必须构成一个力偶才能使曲杆AB保持平衡。AB受力如图所示，由力偶系作用下刚体的平衡方程有（设力偶逆时针为正）：工M=0F-,10a-sin©+45。）-M二0F=0.354M1其中：tan1其中：tan9=3。对BC杆有：F=F=F=0.354MbaaA，C两点约束力的方向如图所示。2-4解：机构中AB2-4解：机构中AB杆为二力杆，点A,B出的约束力方向即可确定。由力偶系作用下刚体的平衡条件，点O,C处的约束力方向也可确定，各杆的受力如图所示。对BC杆有：工M=0F・BC・sin300—M=0B2对AB杆有：F=FBA

对OA杆有：工M=0M-F-OA=01A求解以上三式可得：M=3N-m1F=F=F=求解以上三式可得：M=3N-m1ABOC2-6求最后简化结果。解：2-6a2-6求最后简化结果。解：2-6a坐标如图所示，各力可表示为:3=-2心F先将力系向A点简化得（红色的）：F=F?+、.3/fMFakRA飞方向如左图所示。由于Fr丄MA，可进—步简化为—个不过A点的力（绿色的），主矢不变，其作用线距A点的距离d=a，位置如左图所示42-6b同理如右图所示，可将该力系简化为一个不过A点的力（绿色的），主矢为：F=-2FiR其作用线距A点的距离d=xLa，位置如右图所示。4简化中心的选取不同，是否影响最后的简化结果？是

2-13解：整个结构处于平衡状态。选择滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程（坐标一般以水平向右为X轴正向，竖直向上为y轴正向，力偶以逆时针为正）:工F=0x工F=0yPsina+F=0BxF-P-Pcosa二0By选梁AB为研究对象，受力如图，列平衡方程:工F=0x工F=0y工M=0AF-F=0AxBxF-F=0AyByM-F-1二0ABy求解以上五个方程，可得五个未知量F，F，F，F，M分别为：AxAyBxByAF=F=-Psina（与图示方向相反）AxBxF二F二P（1+cosa）（与图示方向相同）AyByM=P（1+cosa）1（逆时针方向）A18解：选AB解：选AB杆为研究对象，受力如图所示，列平衡方程:al工M=0N-一G-—cosa-F-1cosa二0Adcosa2工F=0Ncosa-G-F=0yD求解以上两个方程即可求得两个未知量N,a，其中：D「2(F+G)a二arccos[(2F+G)1未知量不一定是力。以下几题可看一看！以下几题可看一看！2-27解：选杆AB为研究对象，受力如下图所示。列平衡方程（运用力对轴之矩！

工M=0p•_ctana-Fcos0-c一Fsin0-ctana=0y2BCBCF=60.6NBC1工M=0p._a-F-c-Fsino-a=0F=100N

工'2BBCB由工F=0和工F=由工F=0和工F=O可求出F,F。平衡方程工M=0可用来校核。yzAyAzx思考题：对该刚体独立的平衡方程数目是几个？F：BF：.y2-29解：杆1，2，3，4，5，6均为二力杆，受力方向沿两端点连线方向，假设各杆均受压。选板ABCD为研究对象，受力如图所示，该力系为空间任意力系。采用六矩式平衡方程：工M=0DEF.cos450=0F=022工M=0AO一Fcos45。.a一Fcos45。cos45。•a=06◎F=-F（受拉）62工M=0BH◎一Fcos450•a一Fcos45。•a=0F=、‘F（受压）4642sM=0ADF•a+Fcos450•a一Fsin450•a=0161+2F=；F（受压）121工M=0F-a+F-a—Fsin45o•a=0F二—_F（受拉）TOC\o"1-5"\h\zCD1332工M=0F•a+F•a一Fcos45o•a=0F=0BC3545本题也可以采用空间任意力系标准式平衡方程，但求解代数方程组非常麻烦。类似本题的情况采用六矩式方程比较方便，适当的选择六根轴保证一个方程求解一个未知量，避免求解联立方程。2-31力偶矩M=1500N•cm工F工F=0x<工F=0y工M=0OF+pcos450—N=012F—psin45o+N=02D1(F+F)•—M=0TOC\o"1-5"\h\z122IF=fN补充方程：<1s1[F=fN2s2五个方程，五个未知量F,N,F,N,f，可得方程:1122s2M•f2—、、2p•D•f+2M=0SS解得f=0.223,f=4.491。当f=4.491时有：S1S2S2N=1p(1N=1S2\2(1+f2)S2即棒料左侧脱离V型槽，与提议不符，故摩擦系数f=0.223。S

DF/TB2-33DF/TB2-33解：当a=45o时，取杆AB为研究对象，受力如图所示列平衡方程：工F=0x<工F=0y工M=0F-Tsin0二0NF+Tcos0-p=0SabTcos0-ACsina-Tsin0-ACcosa-p-sina=02附加方程：F二fFSSN四个方程，四个未知量F，F,T,f，可求得f二0.646NSss2-35解：选棱柱体为研究对象，受力如图所示。假设棱柱边长为a,重为P,列平衡方程：55M=0AM=0B工F=0xTOC\o"1-5"\h\zaaF-a-Pcosa•_+Psina=0nb22j3aa<-F•a+Pcosa•_+Psina=0na22j3F+F-Psina二0AB如果棱柱不滑动，如果棱柱不滑动，则满足补充方程｛fa_fs1piNABs2NB

时处于极限平衡状态。解以上五个方程，可求解五个未知量F,F,F,F,a,其中：ANABNB(1)(2)tana(1)(2)当物体不翻倒时F\0，贝9：NBtana<600即斜面倾角必须同时满足(1)式和(2)式，棱柱才能保持平衡10解：假设杆AB,DE长为2a。取整体为研究对象，受力如右图所示，列平衡方程：工M_0F•2a_0F_0CByBy取杆DE为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：工M_0F•a-F•a_0F_FTOC\o"1-5"\h\zHDyDy工M_0F•a—F•2a_0F_2FBDxDx工F=0y工M=0A工M=0B取杆AB为研究对象，受力如图所示，列平衡方程:F+F+F=0AyDyByF-a+F-2a=0DxBx—F-2a—F-a=0AxDxF=—F（与假设方向相反）AyF=—F（与假设方向相反）BxF=—F（与假设方向相反）AxxF=xF=_FdbxF=_F工M=0F-b—F-x=0CD取杆AB为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：工M=0F-b—F-x=0AB

杆AB为二力杆，假设其受压。取杆AB和AD构成的组合体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：工M二0(F+F)-b+F-(匕-x)-F-b=0EBD22AC2解得F=F，命题得证。AC注意：销钉A和C联接三个物体。工M=0M(F)-M+M二0AAB即F必过A点，同理可得F必过B点。也就是F和F是大小相等，方向相反BAAB且共线的一对力，如图所示取板AC为研究对象，受力如图所示，列平衡方程:工M=0Fsin45o-a一Fcos45o-b一M=0CAA辽M解得：F=—（方向如图所示）aa一b3-20解：支撑杆1,2,3为二力杆，假设各杆均受压。选梁BC为研究对象，受力如图所示。其中均布载荷可以向梁的中点简化为一个集中力，大小为2qa，作用在BC杆中点。列平衡方程：工F=0F-Fcos45o二0F=—+2qa（受压）x13ia工F=0-F-Fsin45o二0F=-（+2qa）（受拉）y232a选梁AB和BC为研究对象，受力如图所示。列平衡方程:工F=0F+Fcos45。二0F=-（M+2qa）（与假设方向相反）xAx3Axa工F二0F+F+Fsin45o一P一4qa=0F二P+4qayAy23Ay工M=0M+F-a一P-2a一4qa-2a+Fsin450-3a一M-0AA23M—4qa2+2Pa—M（逆时针）A3-21由题可知杆DG为二力杆，选GE为研究对象，作用于其上的力汇交于点G,受辽力如图所示，画出力的三角形，由几何关系可得：F-F。e2取CEB为研究对象，受力如图所示。列平衡方程:F-a+F-a一Fsin45°-a-0F二一一BxByEBx2

F代入公式(1)可得：F=-—Ax23-24解：取杆AB解：取杆AB为研究对象，设杆重为P,受力如图所示。列平衡方程:3rTOC\o"1-5"\h\zZM二0N-.3r-P•—COS60。=0N=6.93(N)a121—=6(N)Ax—=12.5、(N)AyZ—=—=6(N)Ax—=12.5、(N)AyxAx1Z—=0—+Ncos600-P=0yAy1取圆柱C为研究对象，受力如图所示。列平衡方程:Z—=0Ncos300-Tcos300=0T=6.93(N)x1注意：由于绳子也拴在销钉上，因此以整体为研究对象求得的A处的约束力不是杆AB对销钉的作用力。3-27解：取整体为研究对象，设杆长为L,重为P,受力如图所示。列平衡方程：LPZM=0—•2Lsin0-2P--cos0=0—=—(1)An2n2tan0取杆BC为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：ZM=0—-Lsin0+P-Lcos0-—-Lcos0=0—=P(2)BN2sS补充方程：F<f-FssN将⑴式和⑵式代入有：tan将⑴式和⑵式代入有：tano<即o<1003-29()证明：（1）不计圆柱重量法1：取圆柱为研究对象，圆柱在C点和D点分别受到法向约束力和摩擦力的作用，分别以全约束力F,F来表示，如图所示。如圆柱不被挤出而处于平衡状态，RCRD则F,F等值，反向，共线。由几何关系可知，F,F与接触点C,D处法RCRDRCRD线方向的夹角都是—，因此只要接触面的摩擦角大于—，不论F多大，圆柱不22会挤出,而处于自锁状态。

法2（解析法）：首先取整体为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：工M=0F-a—F-1=0F=_LfAndnda再取杆AB为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：工M=0F-a—F-1=0F=If=FTOC\o"1-5"\h\zANCNCaND取圆柱为研究对象，受力如图所示。假设圆柱半径为R,列平衡方程:工M=0O工F=0xF-R工M=0O工F=0xSCSDSCSDFsina—Fcosa—F=0NCSCSDsinasinaF=F=F=FSCSDNCND由补充方程：F<f-F,F<f-F，可得如果:SCSCNCSDSDND「sinaapaf>=tan,f>tan_SC1+cosa2则不论F多大，圆柱都不被挤出，而处于自锁状态。证明：（2）圆柱重量P时取圆柱为研究对象，此时作用在圆柱上的力有重力P,C点和D点处的全约束力(3)(3)(1)aLF=tan(1)aLF=tan•—F

sc2aFRCFL(2)aa-cos_F,F。如果圆柱保持平衡，则三力必汇交于D点（如图所示）。全约束力FRCRDRCa与C点处法线方向的夹角仍为―，因此如果圆柱自锁在C点必须满足：2「sinaaf>=tan_SC1+cosa2该结果与不计圆柱重量时相同。只满足⑴式时C点无相对滑动，但在D点有可能滑动（圆柱作纯滚动）。再选杆AB为研究对象，对A点取矩可得F=Lf,nca由几何关系可得：Frda圆柱保持平衡，则作用在其上的三个力构成封闭得力三角形，如图所示。由几何关系可知：PF=-・RCsin[180o-Frda圆柱保持平衡，则作用在其上的三个力构成封闭得力三角形，如图所示。由几何关系可知：PF=-・RCsin[180o-申-(180o-》)]sin少将（2）式代入可得：tan申二FLsina(Pa+Fl)(1+cosa)因此如果圆柱自锁在D点必须满足f>tanT二Fsna—sd(Pa+Fl)(1+cosa)法1（几何法）：即当同时满足(1)式和(3)式时，圆柱自锁，命题得证法2(法2(解析法)：取圆柱为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：工F=0Fsina-Fcosa-F二0xNCSCSD工F=0F-P-Fsina-Fcosa二0yNDSCNCalal解得：F=F=tan•—F,SCSD2aF=P+(cosa+sina-tan_)NDa2代入补充方程：F<代入补充方程：F<f-F,SDSDND可得如果圆柱自锁在D点必须满足f>tanT=卩!匕0—sd(Pa+Fl)(1+cosa)(3)即当同时满足(1)式和(3)式时，圆柱自锁，命题得证3-30解：取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：工F=0rF-F=0工Fx=0[F+F-F-2P=0yNDNE

由题可知，杆AC为二力杆。作用在杆BC上的力有主动力F，以及B和C处的约束力F和F，由三力平衡汇交，可确定约束力F和F的方向如图所示,BACBACC90A90其中：C90A90其中：tan°=3，杆AC受压。取轮A为研究对象，受力如图所示，设F的作用线与水平面交于f点，列平衡AC方程：工M=0F•R-M=0ASDD工M=0(F-P)•R-M=0FNDD取轮B为研究对象，受力如图所示，设F的作用线与水平面交于G点，列平衡B方程：工M=0M-F-R=0BESE工M=0M+(P-F)-Rtano=0GENE解以上六个方程，可得：

13F=P+_F,F=P+_F,ND4NE4F=F=1F,M=M=1FRSDSE4DE4若结构保持平衡，则必须同时满足：M<5F,M<5F,F<fF,F<fFDNDENESDsNDSEsNE即：F<min{45P45p4fP4fP}-JLP，-{R-5P，R-35P，}R-5ss因此平衡时F的最大值F=0.36，此时：maxF=F=0.091(N),M=M=0.91(N-cm)SDSEDE3-35解：由图可见杆桁架结构中杆CF，FG，EH为零力杆。用剖面SS将该结构分为两部分，取上面部分为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：工M=0Fcos。-6+F-4一F-3二0F=-14.58(kN)(受拉)C1HG1工F=0—Fsin0—F—F=0F=-31.3(受拉)x13H3工F=0F-Fcoso-F=0F=18.3(受压)y21G23-38

解：假设各杆均受压。取三角形BCG为研究对象，受力如图所示。列平衡方程:工F=0F-F二0F=F（受压）xCDCDDGFcgAS取节点CDGFcgAS取节点C为研究对象，受力如图所示。列平衡方程:工F=0工F=0<x工F=0yF=2.5FBFcos45o-F-Fcos0=0

<BCCDCGFsin450+Fsin0=0BCCG1i2其中：哑=齐’解以上两个方程可得：Fbc=0.586F（受压）3-40解：取整体为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：F-2a-F-2a-F-3a=0B用截面S-S将桁架结构分为两部分，假设各杆件受拉，取右边部分为研究对象受力如图所示。列平衡方程：7工M=0F-a+F-a-F-3a二0F=_F（受拉）CB226工F=02F一F一F—0F二?F（受拉）X12i64-1解：1.选定由杆OA，O1C，DE组成的系统为研究对象，该系统具有理想约束。作用在系统上的主动力为F，F。M2•该系统的位置可通过杆OA与水平方向的夹角e完全确定，有一个自由度。选参数e为广义坐标3•在图示位置，不破坏约束的前提下，假定杆OA有一个微小的转角50，相应的各点的虚位移如下：

5r=OA-50,5r=OB-80,5r=OC-50TOC\o"1-5"\h\zABC15r=OD-505r=5r5r=5rJJD1BCDE代入可得：5r=305rAE4•由虚位移原理工5W(F)=0有：iF・5r-F・5r=(30F一F)-5r=0AMEME对任意5r主0有：F=30F，物体所受的挤压力的方向竖直向下EM4-4解：4a1•选杆AB为研究对象，该系统具有理想约束。设杆重为P,作用在杆上的主动力为重力2•该系统的位置可通过杆AB与z轴的夹角e完全确定，有一个自由度。选参数e为广义坐标由几何关系可知：h为广义坐标由几何关系可知：h=atan0杆的质心坐标可表示为：atan0latan0--cos23•在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定杆AB逆时针旋转一个微小的角度oe,则质心c的虚位移:5z=-°八50+Lsin0-50csin2024•由虚位移原理工5W(F)=0有：i

—P-5z=—P-—P-5z=—P-(——C・sin+2血0)50=0al+sinsin2022ai即杆AB平衡时：0=arcsin()3O解：4b1.选杆AB为研究对象，该系统具有理想约束。设杆重为P,作用在杆上的主动力O解：4b1.选杆AB为研究对象，该系统具有理想约束。设杆重为P,作用在杆上的主动力为重力。2•该系统的位置可通过杆ab与z轴的夹角e完全确定，有一个自由度。选参数e为广义坐标。由几何关系可知：sin为广义坐标。由几何关系可知：sin0杆的质心坐标可表示为：-cos0R-cos0z=ycsin03•在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定杆AB顺时针旋转一个微小的角度oe,则质心c的虚位移:5厂5厂-爲cos0-50+:sin0-504•由虚位移原理工5W(F)=°有：i对任意50-P-5z对任意50-P-5zC丰°有：=-P•(-Rcossin200+2血0)50=°sin20cos0+2sin0=即平衡时0即平衡时0角满足：2Rcos0-lsin30=°。4-5解：4-5解：1•选整个系统为研究对象，此系统包含弹簧。设弹簧力F，F，且F=F,1212将弹簧力视为主动力。此时作用在系统上的主动力有F，F，以及重力P。122.该系统只有一个自由度，选定0为广义坐标。由几何关系可知：z=z=a-sin0AB3•在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定有一个微小的虚位移de，贝g质心的虚位移为：5z=5z=5z=acos0-50CAB0弹簧的长度l=2asin―,在微小虚位移de下：2==081=aC0ST廐4•由虚位移原理工8W(F)=0有：iP-8z-F-81=(Pa-cos0-Fa-cosC222a其中F=k(2asin-)，代入上式整理可得:222a[2卩C0S0-ka(2sin0-C0S2)]280=0由于a丰0，对任意80丰0可得平衡时弹簧刚度系数为：了2Pcos0k=一a(2sin0-cos)26解：解除A端的约束，代之以F,F,M，并将其视为主动力，此外系统AxAyA还受到主动力F,F,F,M的作用。系统有三个自由度，选定A点的位移123x,y和梁ac的转角w为广义坐标。AA1•在不破坏约束的前提下给定一组虚位移8x主0,8y=0,8w=0，如AA图所示。由虚位移原理工8W(F)=0有：iF-8x=0AxA对任意8x主0可得：F=0AAx2•在不破坏约束的前提下给定一组虚位移8x=0,8y主0,8W=0，如AA(2)(2)(1)由几何关系可得各点的虚位移如下：下图所示。由虚位移原理工5W(F)=0有：i—F・(1)由几何关系可得各点的虚位移如下：下图所示。由虚位移原理工5W(F)=0有：i—F・5y+F・5y+F•5y—F•5y+M•50=0AyA1122335y=5y二5yC3A5035yc代入(1)式：(-FAy3M)・5y3A主0，如3•在不破坏约束的前提下给定一组虚位移5x=0,5y=0,5申AA对任意5XA主0可得：FAy=4(kN)，方向如图所示。5y二25甲150=5申上图所示。由虚位移原理工5W(F)=0有：i一M•5申+F-5y+F-5y一F-5y+M-50二0A112233有几何关系可得各点的虚位移如下：5y=5y二35q3C5y=50=5q2==0代入(2)式：(-M+2F+F-3F+M)仙二0A123对任意冈丰0可得：M=7(kN-m)，逆时针方向A4-7解：将均布载荷简化为作用在CD中点的集中载荷F，大小为6q31.求支座1.求支座B处的约束力解除B点处的约束，代之以力F，并将其视为主动力，系统还受到主动力BF,F,F,M的作用，如图所示。在不破坏约束的前提下，杆AC不动，梁123CDB只能绕C点转动。系统有一个自由度，选转角。为广义坐标。给定虚位移50，由虚位移原理工5w(F)=0有：i1500-F-5y=0(1)3322F-5rcos45o+M-1500-F-5y=0(1)3322BB各点的虚位移如下：5y=9-5025y=3-5y=9-5025y=3-503B代入(1)式整理可得：93(6F+M—F—3F)-50

B223AyAy对任意50丰0可得：F—18.6(kN)，方向如图所示。B2.求固定端A处的约束力解除A端的约束，代之以F,F,M，并将其视为主动力，系统还受到AxAyA主动力F,F,F,M的作用。系统有三个自由度，选定A点的位移x,y和123AA梁AC的转角。为广义坐标。2a.求FAx在不破坏约束的前提下给定一组虚位移5x丰0,5y=0,50=0，此AA时整个结构平移，如上图所示。由虚位移原理工5W(F)=0有：iF-5x+F-5x+F-5xcos120o=0⑵AxA1122各点的虚位移如下：5x=5x=5x12A代入(2)式整理可得：(F+F-0.5F)-5x=0Ax12A对任意5x丰0可得：F=2(kN)，方向如图所示。AAx2b.求F

在不破坏约束的前提下给定一组虚位移5x=0,5y丰0,50=0,AA此时梁AC向上平移，梁CDB绕D点转动，如上图所示。由虚位移原理(3)F・5y-F・5y+F・5ycos3Oo-M-50=0(3)32AyA32各点的虚位移如下：5y=5y5y=5y2325yc25『A5065『A代入(3)式整理可得：(F-1FAy23(F-1FAy23-6M)-5y6a=0对任意5yA丰0可得:FAy=3.8(kN)，方向如图所示2c.求MA在不破坏约束的前提下给定一组虚位移5X=0,5y=0,500,此AA时梁AC绕A点转动，梁CDB平移，如上图所示。由虚位移原理工5W(F)=0i有：-M-50+F-5x+F-5xcos120o=0⑷A1122各点的虚位移如下：5x=3505x=5x=65012C代入(4)式整理可得：(-M+3F-3F)-50=0A12对任意50丰0可得：M=一24(kN-m)，顺时针方向。A4-8解：假设各杆受拉，杆长均为a1．求杆1受力去掉杆1，代之以力P，系统有一个自由度，选AK与水平方向的夹角0为1广义坐标，如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，此时三角形ADK形状不变，绕A点转动，因此有5r丄AD,5r丄AK，且：DK5r=/