微积分学课件：6-2 正项级数收敛性的判别法_第1页
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第二节正项级数的判别法第六章级数一、正项级数收敛的充要条件二、比较判别法三、达朗贝尔比值判别法四、柯西根值判别法五、积分判别法1.定义:这种级数称为正项级数.2.正项级数收敛的充要条件定理注该级数为正项级数,又有(n=1,2,…)故当n1时,有即其部分和数列

{Sn}有界,从而,级数解级数是否收敛？例：证明即部分和数列有界3.比较审敛法不是有界数列定理证毕.比较审敛法的不便:须有参考级数.判断级数的敛散性.(0<x<3)由于又由等比级数的敛散性可知：原级数收敛.解例例解例解重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.4.比较审敛法的极限形式:则二级数有相同的敛散性;若å¥=1nnv发散,则å¥=1nnu发散;设å¥=1nnu与å¥=1nnv都是正项级数，如果,(1)当时(3)当时，(2)当时，;则收敛收敛，若证明由比较审敛法的推论,得证.故

>0,N>0,当

n>N时,由于(=0)取=1时,N>0,当

n>N时,故由比较判别法知：证(2)由于(=)M>0(不妨取

M>1),即由比较判别法知,证(3)故N>0,当

n>N时,0vn<un原级数发散.故原级数收敛.解判别级数的敛散性

(a>0为常数).因为(即

=1为常数

)又是调和级数,它是发散的,发散.解原级数故例解由比较判别法及

P

级数的收敛性可知：例证明比值审敛法的优点:不必找参考级数.注解例判别下列级数的收敛性:

例解6.根值审敛法(柯西判别法)：

级数收敛.解例例研究级数的敛散性。解：由于所以级数收敛。注：此时比值判别法失效。因为：解：由于

判别的敛散性.(x>0,a>0为常数)记解即当

x>a时,当

0<x<a时,当

x=a时,

=

1,

但故此时原级数发散.（级数收敛的必要条件）例

.

,1级数发散>=axl

.

,1级数收敛<=axl７.积分判别法设为上非负递减连续函数,那么级数与广义积分同时收敛或同时发散。证：由假设为连续非负减函数，数在上可积，从而有对任何正依次相加可得若广义积分收敛，则由上式左边，对任何正整数有：由比较判别法知：若收敛。收敛，反之，若为收敛级数，则由（1）式右边，对任一正整数有因为为非负减函数，故对任何正数Ａ，都有结合（2）式及比较判别法得广义积分收敛。

同理可证它们同时发散。设为上非负单调连续函数(b>1为常数)，那么正项级数与广义积分同时收敛或同时发散。推论：例讨论P级数的敛散性。解：函数,当时在上是非负减函数，时发散。当时收敛，当时发散。显然它是发散的.在由广义积分时收敛，故由积分判别法得:例讨论下列级数的敛散性.研究

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