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第二节不定积分的几种基本方法第四章不定积分一.凑微分法(第一换元法)二.变量代换法(第二换元法)三.分部积分法不定积分的换元法

利用积分性质和简单的积分表可以求出不少函数的原函数,但实际上遇到的积分凭这些方法是不能完全解决的.

现在介绍与复合函数求导法则相对应的积分方法——不定积分换元法.它是在积分运算过程中进行适当的变量代换,将原来的积分化为对新的变量的积分,而后者的积分是比较容易积出的.问题？解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令一、第一类换元法(凑微分法)在一般情况下：设则如果（可微）由此可得换元法定理第一类换元公式（凑微分法）说明使用此公式的关键在于将化为定理(凑微分法)凑微分法的步骤例求解（一）解（二）解（三）例求解一般地例求解例求解例.证明:(1)(2)(3)(4)说明以上四式可作为公式用.(1).证(2).(3).例求解例求解例求解例.求例求原式解例求解例求解（一）（使用了三角函数恒等变形）解（二）类似地可推出例解说明1)用凑微分法计算不定积分,常常需要对被积函数作适当的代数或三角恒等变换.

2)有些问题需要反复使用凑微分法求解不定积分.例求解例设求.令例求解解：问题解决方法改变中间变量的设置方法.过程令（应用“凑微分”即可求出结果）二、第二类换元法(变量代换法)证设为的原函数,令则则有换元公式定理第二类积分换元公式例求解令例求解令例求解令说明(1)以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令说明(2)积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换.也可以化掉根式例中,令

积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.说明(3)例求（三角代换很繁琐）令解例求解令说明(4)当分母的阶较高时,可采用倒代换例求令解例求解令（分母的阶较高）说明(5)例求解令当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令（其中为各根指数的最小公倍数）基本积分表解例：求积分解例：解：配方解：解：

即(1)(1)称为分部积分公式三、分部积分法定理：一般说来,当被积函数为下列形式之一时,可考虑运用分部积分法进行计算:幂函数与三角函数(或反三角函数)之积指数函数与三角函数(或反三角函数)之积幂函数与指数函数之积指数函数与对数函数之积

一个函数难于用其它方法积分

两个函数的乘积说明例求积分解（再次使用分部积分法）总结

若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为,使其降幂一次(假定幂指数是正整数)例求积分解令例求积分解总结

若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为.例求积分解例

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