38 总体离散程度的估计

课时分层作业（三十八）总体离散程度的估计（建议用时：60分钟）[合格基础练]一、选择题1．下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是（）平均数B.中位数C.方差D.众数C[由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度．]2.对一组样本数据Xj（i=l,2,…，n）,如将它们改为兀厂加（=1,2,…，n）,其中mHO,则下面结论正确的是（）平均数与方差都不变平均数与方差都变了平均数不变，方差变了平均数变了，方差不变D[若X],x2,…，Xn的平均数为x，方差为S2,则ax]+b,ax2+b,…，axn+b（aHO）的平均数为ax+b,方差为a2s2，标准差为岑亦2,则正确-=答案=-应为D.]3•样本中共有5个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1,则样本的标准差为（d.^2d.^2C.2D[•・•样本a,0丄2,3的平均数为1,-=1，解得a=-L则样本的方差

S2=|X[(-1--1)2+(0-1)2+(1-1)2S2=|X[(-1--1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2]=2，攵标准差为\；2故选4•高三学生李丽在一年的五次数学模拟考试中的成绩(单位：分)为：x,D.]—yl的值为()A．15B．16C．17D．18y,105,109,110.已知该同学五次数学成绩数据的平均数为108，方差为35.2，贝验x＋y＋105＋109＋110D[由题意得，5'=108，①(x-108)2+(y-108)2+9+1+4

5=35.2,②x=99由①②解得｛[y=117,x=117,或｛所以lx-yl=18.故选D.]y=99,5•样本中共有五个个体，其值分别为a,0丄2,3.若该样本的平均值为1,则样本方差为(B-5C.\/2D．2[由题可知样本的平均值为1，所以a+0+1+2+3=1，解得a=-1，所以样本的方差为1[(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2]=2.]二、填空题6．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：甲乙丙丁平均数匚8.58.78.88.0方差s23.53.52.18.7则参加奥运会的最佳人选应为丙[因为丙的平均数最大，方差最小，故应选丙．]7.五个数1,2,3,4,a的平均数是3,则a=，这五个数的标准差是.l1+2+3+4+a5*2[由5二3得a二5；由s2=|[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2]=2得标准差s=\!2.]8．为了调查公司员工的健康状况,用分层随机抽样的方法抽取样本,已知所抽取的所有员工的平均体重为60kg,标准差为60,男员工的平均体重为70kg,标准差为50,女员工的平均体重为50kg,方差为60,若样本中有20名男员工,则女员工的人数为.200[设男，女员工的权重分别为①男，少女，由题意可矢知S2=0男[s2+(x男-x)2]+(D女血+(x女-x)2]，即卩男女(D男[502+(70-60)2]+(1-0男)[602+(50-60)2]=602，解得0男=+，0女=12=11，因为样本中有20名男员工，所有样本中女员工的人数为200.]三、解答题9．为了保护学生的视力,教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换．已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下表：天数151〜180181〜210211〜240241〜270271〜300301〜330331〜360361〜390灯管数1111820251672试估计这种日光灯的平均使用寿命；若定期更换,可选择多长时间统一更换合适？[解](1)各组的组中值分别为165,195,225,255,285,315,345,375，由此可算得这种日光灯的平均使用寿命约为165X1%+195X11%+225X18%+255X20%+285X25%+315X16%+345X7%+375X2%=267.9^268(天).⑵100X[1X(165-268)2+11X(195-268)2+18X(225-268)2+20X(255-268)2+25X(285-268)1+16X(315-268)2+7X(345-268)1+2X(375-268)习二2128.6.故标准差为-../2辽86~46.估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天，标准差约为50天，故在222天到314天之间统一更换较合适.10．某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50人，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差．[解]由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为匚高二3X58+5X40+2X38

C.C.平均数是11,方差为2D.平均数是10,方差为3C[若X],x2,…，xn的平均数为x，方差为s，那么x]+a,x2+a,…，xn+a的平均数为x+a,方差为s，故选C.]2.某学校共有学生2000人,其中高一800人,高二、高三各600人,学校对学生在暑假中每天的读书时间做了调查统计,全体学生每天的读书时间的平均数为匚=3小时，方差为s2=2.003,其中高一学生、高二学生每天读书时间的平均数分别为x严2.6,x2=3.2,又已知三个年级学生每天读书时间的方差分别为s用每组区间的中点作为每组用水量的平均值，这9组居民每人的月均用水量前四组的方差都为0.3，后5组的方差都为0.4，求这100户居民月均用水量=1,s2=2,用每组区间的中点作为每组用水量的平均值，这9组居民每人的月均用水量前四组的方差都为0.3，后5组的方差都为0.4，求这100户居民月均用水量B.3.3D.4.5B.3.3D.4.5或3.2C.2.7A[由题意可得2.003=8002000[1+(32.003=8002000[1+(3x2.6)2]+6002000[2+(3x3.2)2]+6002000[3+(3xx解得x3=3.3或2.7.]3.已知样本9,10,11,x,y的平均数是10,方差是4,则xy=91[由题意得厂9+10+11+x+y=5X10,<¥[(9—10)2+(10—10)2+(11—10)2+(x—10)2+(y—10)2]=4,x+y=20，x=7，x=13，即解得或所以xy=91.](x－10)2+(y－10)2=18.y=13y=7，4.由正整数组成的一组数据x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为(从小到大排列).1,1,3,3[不妨设x1<x2<x3<x4且x1,x2,x3,x4为正整数.

x1＋x2x1＋x2＋x3＋x4由条件知v=2,X2+X32=2,x1+x2+x3+x4=8,即]又X]、x2、x3、x4为正整数，x2+x3=求直方图中a的值；2的方差．求直方图中a的值；的方差．［解］(1)由频率分布直方图可知月均用水量在［005)内的频率为0.08X0.5・°・X]=X2=X・°・X]=X2=X3=X4=3或x1=x2=1，x3=x4=3.=2或x1=1，x2=x3=2，x4・・・s=1，・x1=x2=1，x3=x4=3.由此可得4个数分别为1,1,3,3.]5．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100户居民每人的月均用水量(单位：吨).将数据按照［0,0.5),［0.5,1),…，［4,4.5］分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

=0.04，同理，在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5]内的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=2aX0.5,解得a=0.30.⑵由题意可知，这9组月均用水量的平均数依次是x1=0.25,x2=0.75,x3=1.253=1.25，x4=1.75，x5=2.25x6=2.75，x7=3.25x8=3.75，x9=4.25,这100户居民的月均用水量为T=0.04X0.25+0.08X0.75+0.15X1.25+0.21X1.75+0.25X2.25+0.15X2.75+0.06X3.25+0.04X3.75+0.02X4.25=2.03，则这100户居民月均用水量的方差为s2=0.04X[0.3+(0.25-2.03)2]+0.08X[0.3+(0.75-2.03)2]+0.15X[0.3+(1.25-2.03)2]+0.21X[0.3+(1.75-2.03)2]+0.25X[0.4+(2.25-2.03)2]+0.15X[0.4+(2.75-2.03)2]+0.06X/