不可压缩橡胶圆柱的空穴和分叉

不压橡胶柱空穴分叉王 勇,唐立强,杨勇不压橡胶柱空穴分叉王 勇,唐立强,杨勇(哈尔滨工程大学建筑工程学院,黑龙江哈尔滨150001)摘要:利用.C.o给出的一类应变能函数,分析了不可压缩橡胶圆柱受静载荷作用时在等温条件下及有温度场分布时空穴产生的问题,给出了存在分叉解的条件,确定了外载荷与空穴半径的函数关系,研究了空穴形成时应力的分布讨论了本构参数和温度对极限载荷和应力分布的影响.结果说明:当本构参数满足0<n<1时,橡胶圆柱体存在分叉解;由N2ooken材料构成的圆柱体将会很稳定而不存在分叉解;本构参数n越大,材料越不容易发生孔洞化不稳定现象;温度越高,材料越不稳定.关键词:不可压缩;橡胶圆柱;分叉;应变能函数中图分类号:O34文献标识码:A文章编号:1007043(2007)009805avtyandfatnnancoessilerrclnrWANGong,TANGLiang,ANGong(ollegefiilnieering,HarinnieeringUierity,Harin150001,Cina)actiththestrainenergyfunctonpopoesdby.C.o,theadentofcaitywasanalysedintheinopresiblerubberclindersubjectedtostaticloadalongwiththetheeistenceofiothermalonitonorteperaturefield.Theonitonunderwhichafurcatedolutioneistedwasien.Therelationsipbetweenexternalloadandcaityraiuswasdeterined.Thestressistributonwhenthecaityformedwasstuied.Theffectsofonstitutiveonstantsandtheteperatureonthecriticalloadandthestressistributonwereicused.Theresultsinicatethattherubberclinderhasafurcationolutionwhentheonstitutiveparameteris0<n<1.TherubbercylindermadepofN2ookenmaterialisqitest2bleandoesothaeafurcatonoluton.Theiggertheonstitutieparameteris,theorefficultlytheunstablepheomenaoccurrsfortismaterial,theighertheteperatureis,theoreunstablethem2terialis.eyrsinopresiility;rubberclinder;furcaton;strainenergyfuncton年,橡胶材料和生物组织材料为代表的超弹性料应用越来越广泛,这类材料的空穴萌生和增长题已经引了人们极大关注.研究:对于某内部性质均匀的超弹性材料,如果变形前其内部有微空穴,当载荷低于临界值时,只存在一个凡解,该解对应着材料发生与外载荷成比例的均变形;而当外荷到达或过临界值时,会得到一分叉解,该解对于在材料形成一个穴,并迅增长.此临界值材料所固的,称其为极限载荷.1958年,ent和Linley[1]就在实验中发现了硫化胶的空穴萌生现象.但其理论的成熟却是在1982年Ball[2]将此类问题归结为非线性分叉问题.此后该问题得到了众多学者的青睐.Horgan和Abeyaratne[3]研究了压缩的情形;Antman和N2groMarrero[4]研究了各向异性材料的可压缩情形;Haughton[5]研究了不可压缩薄膜的空穴增长;而对不可压缩的情形,Abeyaratne和Hou[6]Hor2gan和Pence[7]宁建国[8]等分别考虑了率相关材收日期:200027.基工程:黑龙江省自然科学基金资助工程(A20004-08);哈尔滨工大根底研究金助(HEU04005).简介:王勇(1982-),男,博研究生,mil:wangong3502tom.om;唐强(1948-),男,教授,博生师.料材料的均匀性及温度对叉问题的响.中采用.C.o[9]从形变和体变角度给出的一应变能函数为根底,深入分析了橡胶圆柱在外外表受外载荷作用时空穴的萌生和增长问题,同时考了温度和构参数影响.形,K>0表示圆柱体中出现空穴且空穴的半径为K.故21r+ =.=(6)zA2R在初构形中的衡方程为r θ-rdr(7)=dR.方程中考虑橡圆柱在外表R=A受拉伸载荷p0作的力学模型.采用柱坐标系,设物质坐标系和间坐标系坐标分为(R料材料的均匀性及温度对叉问题的响.中采用.C.o[9]从形变和体变角度给出的一应变能函数为根底,深入分析了橡胶圆柱在外外表受外载荷作用时空穴的萌生和增长问题,同时考了温度和构参数影响.形,K>0表示圆柱体中出现空穴且空穴的半径为K.故21r+ =.=(6)zA2R在初构形中的衡方程为r θ-rdr(7)=dR.方程中考虑橡圆柱在外表R=A受拉伸载荷p0作的力学模型.采用柱坐标系,设物质坐标系和间坐标系坐标分为(R,)和(r,z),那么变前的构形为1dRr[9].C.o在究橡胶类材料中 ,给出的应变能函为nn)a(I1-3 .()8W=式中:a>0,n>0.当a=/2,n=1时即可退化为N2Hooken材料.因此,方程(8)较N2Hooken材料具普遍性.auchy应为={(R,)/0≤R≤A,0Θ≤π,-H/2≤Z≤H/2}.变形式为r=r(R),θ=,0σ=-pI+29WB-29WB-1.(9)9I19I2(1)式中:p为静水压力,I为单位张量.形不变量为=zZ.z式中:r=r(R)为待定函数.假设r(0)=0那么认为橡胶=--2 2 21 θz+θ+z,圆柱发生分叉,仍为实心;假设r(0)>0,那么认为在圆柱的中心将现一个柱形的空穴.由程(1)可得形梯度张为2=2θz θ+z,+-2 -2( )10=1.3温条件圆柱体穴的生2drer0eR+rθ0Θ+zez0ez. (2)F=dRR到9W=anIn-1,9W左右auch2reen量分别为=0,由式(3)(4)(9)19I19I2=(dr)2err)2θ0θ+B=FFT0er+(可得dRz)2ezRrn-1-2-2θzp+2nI1=-,0ez,θ=-p+2nIn-2,(11)1 θC=FTF=(dr)2eR0eR+(r)2Θ0Θ+dRz)2ez0Rz=-p+2nIn-1z2.1ez.将式(11)代入式(7)有(3)式中:erθez和eRΘeZ分别为空间坐标系和物质坐系标准正基矢量.取主长为2nIn-12---2)1θ θzrdR.(12)=r即时形中边界件为r(A)=Ap0 dr,(13).r=r(AzdR式中:0为初构型中所加的拉伸荷.形成空穴空穴边界力自由,边界条为(4)r,θ=Rz不可压缩料有=z.r(0)=0.对式(12)积分,结合式(14)得(14)J=detF=1,即drzn-12 -2-2R2nI1rθ-θz)=1.=∫σ()dR.(15)RdRrRr0积分得故nIn-12 -2-22A01rθ-θz2)R+2.r(R)=(5)r(A)(16)=dR.zr式中:K为积分常数,K=0表示圆柱体发生均匀变由式(13)(16)可得哈尔滨工程大学学报第28卷982·A2nIn-1r2θz)-2-20=zr(A)θ-01dR.Ar(17)利用式(6)将式(17)化为21 K0=z+ ×哈尔滨工程大学学报第28卷982·A2nIn-1r2θz)-2-20=zr(A)θ-01dR.Ar(17)利用式(6)将式(17)化为21 K0=z+ ×zA2212n2zAλ+2θ+2+--2)n-12---2)z θzθ θz.θ-z∞θ(18)从而出应力分为212 2 -2-2-12 -2-2λ+z22nθzθz)θ-θz)r∞θ,λλθ-θzθ=2n22--2)-12---2)+θ z θz θ θz21λ+22n22--2)-12---2)zA θ z θz θ θzθ,θ-z∞θz=2n22--2-1z) z-θz)+2 -2-2θ z θ21λ+22n22--2)-12---2)zA θ z θz θ θz.θ-z∞θ(19)式(18)即为载荷0z与空穴半径K的关系,假设令K→+0可得临界荷为1z2nθzθz)θ-θz)2 2 -2-2-12 -2-2λ∞.cr=3λθ-z(20)欲使pcr为有限值,那么2(n-1)+2-3<-1,即n<1.(21)这说对于满足.C.o提出的应变能函数的材料,能否存分叉解是由本构参数n单独决定的而与一本构参数a无关,即只有当0<n<1时,才存在分叉解.式(20)说明对于给定的有限变形材料(即an定),pr只z有关,而几何因素(如半径等)无关.当a=/2,n=1时那么退化为N2Hooken材料,但n=1并满足式(21)说明由N2Hooken材料构的圆柱体不会发分叉失稳的.令a=,μ为剪切模量.那么由式(20)易得pcr/-z间的关系(见图1),为方起见令c=1.图1可以出:1)本构参数n值越大,pcr/μ值越大,说越不容发生分叉;2)存一个临界值n=149,当n>149时,pcr/μz的增大而单调递减;n149,pcr/z的增大增大而后减.令K=15Aλz=1那么由式( )19得到应力分布曲线,即图2～4.由图可以看出随着本构参数n值的大,力值r//z/增大.2R).0-T0ep(-(22)2R度场用下圆体空穴产生节考虑温度场对橡胶圆柱体空穴产生的影响.在材料变形中本构参数是随温度的变化而变化的.由文献[8]出:3将式(22)代入式(20)并考虑K=0,得pr/0=z×T0 2 2 -2-2n-12值的大,力值r//z/增大.2R).0-T0ep(-(22)2R度场用下圆体空穴产生节考虑温度场对橡胶圆柱体空穴产生的影响.在材料变形中本构参数是随温度的变化而变化的.由文献[8]出:3将式(22)代入式(20)并考虑K=0,得pr/0=z×T0 2 2 -2-2n-12 -2-2)θ+z+θz) θ-θz)z2n(1-K1μμ=0-T0ep(-).λz0.2 2Rz-1)θ-z3∞(23)式(23)即是考虑度影响时pr/-z间的关系.式(19)(22)可以得出在温度场中的应力分布见式(24):中0为参考度下小变形时材料的剪切模量κ为与温度有关的材料参数,K为空穴半径,R为温度的布系数.故本参数zKa=0-T0ep(-)=2 2Rz-1)2n(1-T0ep(-2R 22--2n-12 --22))(θ+z+θz (θ-θz))21μλ+RA2∞0r/0zθ,λθ-z3T02/0))θ+z2 2 -2-2n-1 2 -2+θz) θ-θz)-2=2n(1- ep(-+μ20R2n(1-T0ep(-2R)22 --2n-12 --2)(θ-θz)21θ02λ+2(24)zARθ,θ-z∞θT02z/0))θ+z2 2 -2-2n-1 2 -2+θz) θ-θz)-2=2n(1- ep(-+2μ0R2n(1-T0ep(-2R ))2θ+z+λλ2 -2-2n-1 2 -2-2θz λ-λλ))21θ θz02λ+2zAR.θ-z∞θ取c=1,对应不同的n值,pr/0与z的变化曲线图56给出.图56可看出:温度场只是将pr/0值相应的降低,这与文献[8]的结论是一致的.这就说明0/0越高,材料越易发生孔洞化不稳现象.图6n=13时,pcr/0与z的关系图pr/0vszwhenn=13i16otof令n=15,K=15Az=1,R=1,c=1,A=1cm,应力分布由图7～9给出.如图7～9所示,随着图5n=15时,pcr/0与z的关系图T/00增高,应力值相的降低.pr/0vszwhenn=15i15 ot/r