高中数学选修2 3课件：11 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(一)

第一章——计数原理第一章——计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(一)[学习目标]1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理.2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(一)[学习目标]1预习导学

挑战自我，点点落实2课堂讲义

重点难点，个个击破3当堂检测

当堂训练，体验成功1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲[知识链接]1.用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？答因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26＋10＝36(种)不同的号码.[知识链接]1.用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里2.用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？答编写一个号码要先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字，我们可以用树形图列出所有可能的号码.如图：2.用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有6×9＝54(个)不同的号码.由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成[预习导引]1.分类加法计数原理完成一件事有

不同方案，在第1类方案中有

种不同的方法，在第2类方案中有

种不同的方法，那么完成这件事共有N＝

种不同的方法.两类mnm＋n[预习导引]1.分类加法计数原理两类mnm＋n2.分步乘法计数原理完成一件事需要

步骤，做第1步有

种不同的方法，做第2步有

种不同的方法，那么完成这件事共有N＝

种不同的方法.两个mnm×n2.分步乘法计数原理两个mnm×n要点一分类加法计数原理的应用例1

高二·一班有学生50人，男30人；高二·二班有学生60人，女30人；高二·三班有学生55人，男35人.(1)从中选一名学生任学生会主席，有多少种不同选法？解要完成“选一名学生任学生会主席”这件事有三类不同的选法：第一类：从高二·一班选一名，有50种不同的方法；要点一分类加法计数原理的应用第二类：从高二·二班选一名，有60种不同的方法；第三类，从高二·三班选一名，有55种不同的方法；故任选一名学生任学生会主席的选法共有50＋60＋55＝165种不同的方法.第二类：从高二·二班选一名，有60种不同的方法；(2)从一班、二班男生中，或从三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？解要完成“选一名学生任学生会体育部长”这件事有3类不同的选法：第一类，从高二·一班男生中选有30种不同的方法；第二类，从高二·二班男生中选有30种不同的方法；(2)从一班、二班男生中，或从三班女生中选一名学生任学生会体第三类，从高二·三班女生中选有20种不同的方法.故任选一名学生任学生会体育部长有30＋30＋20＝80种不同的方法.第三类，从高二·三班女生中选有20种不同的方法.规律方法应用分类加法计数原理应注意如下问题：(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些方法，怎样才算是完成这件事.(2)无论哪类方案中的哪种方法都可以独立完成这件事，而不需要再用到其他的方法.即各类方法之间是互斥的，并列的，独立的.(3)不同方案的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须做到既“不重复”也“不遗漏”.规律方法应用分类加法计数原理应注意如下问题：跟踪演练1

在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有多少个？解设个位数字为m，十位数字为n，且m＜n.当m＝0时，n＝1,2,3,4,5,6,7,8,9，有9个；当m＝1时，n＝2,3,4,5,6,7,8,9，有8个；当m＝2时，n＝3,4,5,6,7,8,9，有7个；……跟踪演练1在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共当m＝8时，n＝9，有1个.即个位数字小于十位数字的两位数共有45个.当m＝8时，n＝9，有1个.即个位数字小于十位数字的两位数共要点二分步乘法计数原理的应用例2

已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点，问：(1)点P可表示平面上多少个不同的点？解确定平面上的点P(a，b)，可分两步完成：第一步确定a的值，有6种不同方法；第二步确定b的值，也有6种不同方法.根据分步乘法计数原理，得到平面上点P的个数为6×6＝36.要点二分步乘法计数原理的应用(2)点P可表示平面上多少个第二象限内的点？解确定平面上第二象限内的点P，可分两步完成：第一步确定a的值，由于a＜0，所以有3种不同方法；第二步确定b的值，由于b＞0，所以有2种不同方法.由分步乘法计数原理，得到平面上第二象限内的点P的个数为3×2＝6.(2)点P可表示平面上多少个第二象限内的点？规律方法应用分步乘法计数原理应注意如下问题：(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某种方法是不是能完成这件事，也就是说要经过几步才能完成这件事.(2)完成这件事要分若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步，这件事都不可能完成.即各步之间是关联的，相互依存的，只有前步完成后步才能进行.规律方法应用分步乘法计数原理应注意如下问题：(3)根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，即分步要做到步骤完整.(3)根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步跟踪演练2

布袋里有3个球，颜色分别是红、黄、蓝.试验：(1)从中先摸出一个球，看一下颜色，将它放回布袋，再摸出一个球，看一下颜色，请画出树形图，并写出所有可能的结果.解树形图如图①，试验一共有以下9种等可能的结果：红红、红黄、红蓝、黄红、黄黄、黄蓝、蓝红、蓝黄和蓝蓝.跟踪演练2布袋里有3个球，颜色分别是红、黄、蓝.试验：解(2)从中先摸出一个球，看一个颜色，不将它放回布袋，再摸出一个球，看一下颜色.请画出树形图，并写出所有可能的结果.解如果第一次摸到红球，由于不再把它放回，因此第二次摸时只有从黄、蓝两个球中摸一个.同样，如果第一次摸到其他球，第二次摸都只有两种可能.(2)从中先摸出一个球，看一个颜色，不将它放回布袋，再摸出一所以，树形图如图②，试验一共有以下6种等可能的结果：红黄、红蓝、黄红、黄蓝、蓝红和蓝黄.所以，树形图如图②，试验一共有以下6种等可能的结果：红黄、红要点三两个原理的综合应用例3

现有高一年级的四个班的学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？解分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；要点三两个原理的综合应用第四类，从四班学生中选1人，有10种选法.所以，共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)第四类，从四班学生中选1人，有10种选法.(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？解分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长.所以，共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5040(种).(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？解分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；(3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法.所以，共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种).从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；规律方法(1)在处理具体的应用题时，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么，选择合理的标准处理事件，关键是看能否独立完成这件事，避免计数的重复或遗漏.(2)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰.规律方法(1)在处理具体的应用题时，首先必须弄清是“分类”跟踪演练3

某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？解由题意，知有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语.方法一分两类.第一类：从只会英语的6人中选1人说英语，有6种选法，则说日语的有2＋1＝3(种)选法.此时共有6×3＝18(种)选法.跟踪演练3某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其第二类：从不只会英语的1人中选1人说英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有1×2＝2(种)选法.所以由分类加法计算原理知，共有18＋2＝20(种)选法.方法二设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语.第一类：甲入选.(1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理，有1×2＝2(种)选法；第二类：从不只会英语的1人中选1人说英语，有1种选法，则选会(2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理，有1×6＝6(种)选法.故甲入选的不同选法共有2＋6＝8(种).第二类：甲不入选.可分两步.第一步，从只会英语的6人中选1人有6种选法：第二步，从只会日语的2人中选1人有2种选法.由分步乘法计数原理，有6×2＝12(种)不同的选法.综上，共有8＋12＝20(种)不同选法.(2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，12341.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为(

)A.7 B.12 C.64 D.81解析要完成配套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法.故共有4×3＝12(种)不同的配法.B12341.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果12342.从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法为(

)A.1＋1＋1＝3 B.3＋4＋2＝9C.3×4×2＝24 D.以上都不对12342.从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，1234解析分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法.所以，共有3＋4＋2＝9种不同的走法.答案B1234解析分三类：12343.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有________个.解析第一步取b的数，有6种方法，第二步取a的数，也有6种方法，根据分步乘法计数原理，共有6×6＝36(种)方法.3612343.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互12344.将3封信投入6个信箱内，不同的投法有________种.解析分三步，每一步投一封信.每封信都有6种投法，共有6×6×6＝216(种)不同的投法.21612344.将3封信投入6个信箱内，不同的投法有______课堂小结1.应用两个原理时，要仔细区分原理的不同，加法原理关键在于分类，不同类之间互相排斥，互相独立；乘法原理关键在于分步，各步之间互相依存，互相联系.2.通过对这两个原理的学习，要进一步体会分类讨论思想及等价转化思想在解题中的应用.课堂小结1.应用两个原理时，要仔细区分原理的不同，加法原理关ThankYou!ThankYou!38第一章——计数原理第一章——计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(一)[学习目标]1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理.2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(一)[学习目标]1预习导学

挑战自我，点点落实2课堂讲义

重点难点，个个击破3当堂检测

当堂训练，体验成功1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲[知识链接]1.用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？答因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26＋10＝36(种)不同的号码.[知识链接]1.用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里2.用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？答编写一个号码要先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字，我们可以用树形图列出所有可能的号码.如图：2.用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有6×9＝54(个)不同的号码.由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成[预习导引]1.分类加法计数原理完成一件事有

不同方案，在第1类方案中有

种不同的方法，在第2类方案中有

种不同的方法，那么完成这件事共有N＝

种不同的方法.两类mnm＋n[预习导引]1.分类加法计数原理两类mnm＋n2.分步乘法计数原理完成一件事需要

步骤，做第1步有

种不同的方法，做第2步有

种不同的方法，那么完成这件事共有N＝

种不同的方法.两个mnm×n2.分步乘法计数原理两个mnm×n要点一分类加法计数原理的应用例1

高二·一班有学生50人，男30人；高二·二班有学生60人，女30人；高二·三班有学生55人，男35人.(1)从中选一名学生任学生会主席，有多少种不同选法？解要完成“选一名学生任学生会主席”这件事有三类不同的选法：第一类：从高二·一班选一名，有50种不同的方法；要点一分类加法计数原理的应用第二类：从高二·二班选一名，有60种不同的方法；第三类，从高二·三班选一名，有55种不同的方法；故任选一名学生任学生会主席的选法共有50＋60＋55＝165种不同的方法.第二类：从高二·二班选一名，有60种不同的方法；(2)从一班、二班男生中，或从三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？解要完成“选一名学生任学生会体育部长”这件事有3类不同的选法：第一类，从高二·一班男生中选有30种不同的方法；第二类，从高二·二班男生中选有30种不同的方法；(2)从一班、二班男生中，或从三班女生中选一名学生任学生会体第三类，从高二·三班女生中选有20种不同的方法.故任选一名学生任学生会体育部长有30＋30＋20＝80种不同的方法.第三类，从高二·三班女生中选有20种不同的方法.规律方法应用分类加法计数原理应注意如下问题：(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些方法，怎样才算是完成这件事.(2)无论哪类方案中的哪种方法都可以独立完成这件事，而不需要再用到其他的方法.即各类方法之间是互斥的，并列的，独立的.(3)不同方案的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须做到既“不重复”也“不遗漏”.规律方法应用分类加法计数原理应注意如下问题：跟踪演练1

在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有多少个？解设个位数字为m，十位数字为n，且m＜n.当m＝0时，n＝1,2,3,4,5,6,7,8,9，有9个；当m＝1时，n＝2,3,4,5,6,7,8,9，有8个；当m＝2时，n＝3,4,5,6,7,8,9，有7个；……跟踪演练1在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共当m＝8时，n＝9，有1个.即个位数字小于十位数字的两位数共有45个.当m＝8时，n＝9，有1个.即个位数字小于十位数字的两位数共要点二分步乘法计数原理的应用例2

已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点，问：(1)点P可表示平面上多少个不同的点？解确定平面上的点P(a，b)，可分两步完成：第一步确定a的值，有6种不同方法；第二步确定b的值，也有6种不同方法.根据分步乘法计数原理，得到平面上点P的个数为6×6＝36.要点二分步乘法计数原理的应用(2)点P可表示平面上多少个第二象限内的点？解确定平面上第二象限内的点P，可分两步完成：第一步确定a的值，由于a＜0，所以有3种不同方法；第二步确定b的值，由于b＞0，所以有2种不同方法.由分步乘法计数原理，得到平面上第二象限内的点P的个数为3×2＝6.(2)点P可表示平面上多少个第二象限内的点？规律方法应用分步乘法计数原理应注意如下问题：(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某种方法是不是能完成这件事，也就是说要经过几步才能完成这件事.(2)完成这件事要分若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步，这件事都不可能完成.即各步之间是关联的，相互依存的，只有前步完成后步才能进行.规律方法应用分步乘法计数原理应注意如下问题：(3)根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，即分步要做到步骤完整.(3)根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步跟踪演练2

布袋里有3个球，颜色分别是红、黄、蓝.试验：(1)从中先摸出一个球，看一下颜色，将它放回布袋，再摸出一个球，看一下颜色，请画出树形图，并写出所有可能的结果.解树形图如图①，试验一共有以下9种等可能的结果：红红、红黄、红蓝、黄红、黄黄、黄蓝、蓝红、蓝黄和蓝蓝.跟踪演练2布袋里有3个球，颜色分别是红、黄、蓝.试验：解(2)从中先摸出一个球，看一个颜色，不将它放回布袋，再摸出一个球，看一下颜色.请画出树形图，并写出所有可能的结果.解如果第一次摸到红球，由于不再把它放回，因此第二次摸时只有从黄、蓝两个球中摸一个.同样，如果第一次摸到其他球，第二次摸都只有两种可能.(2)从中先摸出一个球，看一个颜色，不将它放回布袋，再摸出一所以，树形图如图②，试验一共有以下6种等可能的结果：红黄、红蓝、黄红、黄蓝、蓝红和蓝黄.所以，树形图如图②，试验一共有以下6种等可能的结果：红黄、红要点三两个原理的综合应用例3

现有高一年级的四个班的学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？解分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；要点三两个原理的综合应用第四类，从四班学生中选1人，有10种选法.所以，共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)第四类，从四班学生中选1人，有10种选法.(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？解分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长.所以，共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5040(种).(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？解分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；(3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法.所以，共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种).从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；规律方法(1)在处理具体的应用题时，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么，选择合理的标准处理事件，关键是看能否独立完成这件事，避免计数的重复或遗漏.(2)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰.规律方法(1)在处理具体的应用题时，首先必须弄清是“分类”跟踪演练3

某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？解由题意，知有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语.方法一分两类.第一类：从只会英语的6人中选1人说英语，有6种选法，则说日语的有2＋1＝3(种)选法.此时共有6×3＝18(种)选法.跟踪演练3某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其第二类：从不只会英语的1人中选1人说英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有1×2＝2(种)选法.所以由分类加法计算原理知，共有18＋2＝20(种)选法.方法二设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语.第一类：甲入选.(1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理，有1×2＝2(种)选法；第二类：从不只会英语的1人中选1人说英语，有1种选法，则选会(2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理，有1×6＝6(种)选法.故甲入选的不同选法共有2＋6＝8(种).第二类：甲不入选.可分两步.第一步，从