高中数学必修二《231 232直线和平面垂直》课件

高中数学课件灿若寒星整理制作高中数学课件灿若寒星整理制作12.3.1直线与平面垂直ab2.3.1直线与平面垂直ab2直线和平面有那些位置关系?αaαAaaα直线和平面有那些位置关系?αaαAaaα3αAaαAa4直线与平面垂直的定义如果一条直线l和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直.记作l⊥αzx```xkαlPL叫做α的垂线,α叫做L的垂面,l与α的交点P叫做垂足直线与平面垂直的定义如果一条直线l和一个平面内的任意一条直线5bαa判断正误：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么,这条直线就与这个平面垂直。②若a⊥α,bα，则a⊥b。练习bαa判断正误：②若a⊥α,bα，则a⊥b。练习62.线面垂直判定定理的探究问题①在长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱BB1与底面ABCD垂直。观察BB1与AB、BC的位置关系,由此你认为保证BB1⊥底面ABCD的条件是什么？Zx```xkD1C1BACDB1A1D2.线面垂直判定定理的探究问题①在长方体ABCD－A1B1C7问题②如何将一张长方形贺卡直立于桌面？由此，你能猜想出判断一条直线与一个平面垂直的方法吗？猜想：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。问题②如何将一张长方形贺卡直立于桌面？由此，你能猜想出判断一8直线与平面垂直的判定定理zx```xk一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。mnPl线不在多,重在相交直线与平面垂直的判定定理zx```xkmnPl线不在多,重在9ABCa例1.如图，已知△ABC在平面α内，直线a与平面α相交，且a⊥AC，a⊥BC.求证：a⊥ABABCa例1.如图，已知△ABC在平面α内，直线a与平面α相10例2.如图(3)，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥αzxx```k（3）bamn如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面。例2.如图(3)，已知a∥b，a⊥α，（3）bamn如果两条11高中数学必修二《231232直线和平面垂直》课件12EABCDEABCD131、直线与平面垂直的定义2、直线与平面垂直的判定小结1、直线与平面垂直的定义2、直线与平面垂直的判定小结14OAP3.直线和平面所成角1.斜线2.斜足3.斜线在平面内的射影和平面相交,但不垂直的直线叫做平面的斜线斜线和平面相交的交点过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线平面的斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做直线和平面所成的角OAP3.直线和平面所成角和平面相交,但不垂直的直线叫做平面15说明:1.若直线垂直平面,则直线和平面所成的角为90°2.若直线和平面平行,或直线在平面内,则直线和平面所成的角为0°直线和平面所成角的取值范围为[0°,90°]说明:2.若直线和平面平行,或直线在平面内,则直线和平面所成16例3在正方体ABCD-A’B’C’D’中,求:(1)直线A’B和平面ABCD所成的角(2)直线A’B和平面A’B’CD所成的角BB’A’D’C’ACDO例3在正方体ABCD-A’B’C’D’中,求:BB’A’D’17平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定181二面角及二面角的平面角平面的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做一个半平面。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。(1)半平面:(2)二面角:lαlαl1二面角及二面角的平面角平面的一条直线把平面分从一条直线出发19lAB二面角－AB－l二面角－l－二面角C－AB－DABCD5OBA∠AOB二面角的认识你从图中看出了二面角的几种写法?lAB二面角－AB－l二面角－l－二面角20(3)二面角的平面角—过二面角棱上任一点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。αβB。OAB1。O1A1垂直于二面角棱的任一平面与两个半平面的交线所成的角叫做二面角的平面角。αβB。OAB。OAαβB。OA(3)二面角的平面角—过二面角棱上任一点在两个αβB。OAB21①二面角的平面角与点（或垂直平面）的位置无任何关系，只与二面角的张角大小有关。②二面角就是用它的平面角来度量的。一个二面角的平面角多大，我们就说这个二面角是多少度的二面角。说明以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。二面角的平面角①二面角的平面角与点（或垂直平面）的位置无任何关系，只与二面22二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内10lOABAOB二面角的平面角哪个对?怎么画才对?二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱1）角23练习题VABC练习题VABC241.定义法根据定义作出来2.垂面法作与棱垂直的平面与两半平面的交线得到lγABO12lOAB3.垂线法二面角的平面角的作法AOlD1.定义法2.垂面法lγABO12lOAB3.垂线法25问题提出1.二面角与二面角的平面角分别是什么含义？二面角的平面角有哪几个基本特征？(1)顶点在棱上；(2)边在两个面内；(3)边垂直于棱.问题提出1.二面角与二面角的平面角分别是什么含义？二面角的平26(4)二面角的范围[0。,180。](5)直二面角平面角为直角的二面角叫做直二面角OAB(4)二面角的范围[0。,180。](5)直二面角平面角为直27AOlD例1、已知锐二面角－l－，A为面内一点，A到的距离为2，到l的距离为4，求二面角－l－的大小。解：过A作AO⊥于O，过A作AD⊥l于D，连OD则AD⊥l∴AO=2，AD=4∵AO为A到的距离，AD为A到l的距离∴∠ADO就是二面角－l－的平面角∵sin∠ADO=∴∠ADO=60°∴二面角－l－的大小为60°在Rt△ADO中，AOAD①②③17AOlD例1、已知锐二面角－l－，A为面内一点，A28寻找二面角的平面角在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.BACDA’B’C’D’寻找二面角的平面角在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出29BACDA’B’C’D’寻找二面角的平面角在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.BACDA’B’C’D’寻找二面角的平面角在正方体ABCD-30寻找二面角的平面角BACDA’B’C’D’O寻找二面角的平面角在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.寻找二面角的平面角BACDA’B’C’D’O寻找二面角的平面31BACDA’B’C’D’O寻找二面角的平面角在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.BACDA’B’C’D’O寻找二面角的平面角在正方体ABCD32如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.猜想：如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂33如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直面面垂直的判定定理符号表示：ABCD线面垂直面面垂直线线垂直如果一个平面经过另一个平面的一面面垂直的判定定理符号表示：34课堂练习：1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.（）3.如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线,则α⊥β.（）一、判断：××4.若m⊥α，mβ，则α⊥β.()∪√2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条直线，则α⊥β.（）√课堂练习：1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线351.过平面α的一条垂线可作_____个平面与平面α垂直.2.过一点可作____个平面与已知平面垂直.二、填空题：3.过平面α的一条斜线，可作____个平面与平面α垂直.4.过平面α的一条平行线可作____个平面与α垂直.一无数无数一1.过平面α的一条垂线可作_____个平面2.过一点可作__36例1如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.PABOC例1如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于PABOC37例1如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.线线垂直→线面垂直→面面垂直PABOC例1如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于线线垂直→面面垂直PA38例2、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。求证：平面PAC平面PBD。ABDPCO例2、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。求39解答例2、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。求证：平面PAC平面PBD。证明：ABDPCO解答例2、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足40练习1、如右图：A是ΔBCD所在平面外一点，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，E是BD的中点，求证：平面AEC⊥平面ABDDACBE练习1、如右图：DACBE41练习2：ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥平面ABCD，E是PC的中点，求证：(1)PC⊥平面BDE；(2)平面PAC⊥BDE.是正方形，POABCDE练习2：ABCD是正方形，O是正方形的是正方形，POABCD42例3如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，M为AB的中点，求证：平面PMC⊥平面PCD.PABCDMEF例3如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA⊥底面ABCD43归纳小结：(1)判定面面垂直的两种方法：①定义法②根据面面垂直的判定定理(2)面面垂直的判定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据；(3)从面面垂直的判定定理我们还可以看出面面垂直有的问题可以转化为线面垂直的问题来解决.归纳小结：(1)判定面面垂直的两种方法：①定义法②根据面面垂44小结线面关系线线关系面面关系线面平行线线平行线面垂直线线垂直面面垂直面面平行1、两个平面垂直的判定定理“转化思想”小结线面关系线线关系面面关系线面平行线线平行线面垂直线线垂直45例3在四面体ABCD中，已知AC⊥BD，BAC=∠CAD=45°，∠BAD=60°，求证：平面ABC⊥平面ACD.ABCDE例3在四面体ABCD中，已知AC⊥BD，BAC=∠CAD=446例2题目例2解答应用例2、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足，AB为O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。求证：平面PAC平面PBC；若PA=AB=a,例2解答例2题目例2解答应用例2、已知直线PA垂直于O所在的平面，47应用例2解答例2题目例2题目例2、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足，AB为O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。求证：平面PAC平面PBC；证明：例2解答应用例2解答例2题目例2题目例2、已知直线PA垂直于O所在48例2题目例2解答例2解答例2、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足，AB为O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。若PA=AB=a,FE解：过点A在平面PAC内作AFPC，交PC于F，过点A在平面PAB内作AEPB，交PB于E，连EF，应用计算例2题目例2解答例2解答例2、已知直线PA垂直于O所在的平49高中数学课件灿若寒星整理制作高中数学课件灿若寒星整理制作502.3.1直线与平面垂直ab2.3.1直线与平面垂直ab51直线和平面有那些位置关系?αaαAaaα直线和平面有那些位置关系?αaαAaaα52αAaαAa53直线与平面垂直的定义如果一条直线l和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直.记作l⊥αzx```xkαlPL叫做α的垂线,α叫做L的垂面,l与α的交点P叫做垂足直线与平面垂直的定义如果一条直线l和一个平面内的任意一条直线54bαa判断正误：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么,这条直线就与这个平面垂直。②若a⊥α,bα，则a⊥b。练习bαa判断正误：②若a⊥α,bα，则a⊥b。练习552.线面垂直判定定理的探究问题①在长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱BB1与底面ABCD垂直。观察BB1与AB、BC的位置关系,由此你认为保证BB1⊥底面ABCD的条件是什么？Zx```xkD1C1BACDB1A1D2.线面垂直判定定理的探究问题①在长方体ABCD－A1B1C56问题②如何将一张长方形贺卡直立于桌面？由此，你能猜想出判断一条直线与一个平面垂直的方法吗？猜想：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。问题②如何将一张长方形贺卡直立于桌面？由此，你能猜想出判断一57直线与平面垂直的判定定理zx```xk一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。mnPl线不在多,重在相交直线与平面垂直的判定定理zx```xkmnPl线不在多,重在58ABCa例1.如图，已知△ABC在平面α内，直线a与平面α相交，且a⊥AC，a⊥BC.求证：a⊥ABABCa例1.如图，已知△ABC在平面α内，直线a与平面α相59例2.如图(3)，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥αzxx```k（3）bamn如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面。例2.如图(3)，已知a∥b，a⊥α，（3）bamn如果两条60高中数学必修二《231232直线和平面垂直》课件61EABCDEABCD621、直线与平面垂直的定义2、直线与平面垂直的判定小结1、直线与平面垂直的定义2、直线与平面垂直的判定小结63OAP3.直线和平面所成角1.斜线2.斜足3.斜线在平面内的射影和平面相交,但不垂直的直线叫做平面的斜线斜线和平面相交的交点过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线平面的斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做直线和平面所成的角OAP3.直线和平面所成角和平面相交,但不垂直的直线叫做平面64说明:1.若直线垂直平面,则直线和平面所成的角为90°2.若直线和平面平行,或直线在平面内,则直线和平面所成的角为0°直线和平面所成角的取值范围为[0°,90°]说明:2.若直线和平面平行,或直线在平面内,则直线和平面所成65例3在正方体ABCD-A’B’C’D’中,求:(1)直线A’B和平面ABCD所成的角(2)直线A’B和平面A’B’CD所成的角BB’A’D’C’ACDO例3在正方体ABCD-A’B’C’D’中,求:BB’A’D’66平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定671二面角及二面角的平面角平面的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做一个半平面。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。(1)半平面:(2)二面角:lαlαl1二面角及二面角的平面角平面的一条直线把平面分从一条直线出发68lAB二面角－AB－l二面角－l－二面角C－AB－DABCD5OBA∠AOB二面角的认识你从图中看出了二面角的几种写法?lAB二面角－AB－l二面角－l－二面角69(3)二面角的平面角—过二面角棱上任一点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。αβB。OAB1。O1A1垂直于二面角棱的任一平面与两个半平面的交线所成的角叫做二面角的平面角。αβB。OAB。OAαβB。OA(3)二面角的平面角—过二面角棱上任一点在两个αβB。OAB70①二面角的平面角与点（或垂直平面）的位置无任何关系，只与二面角的张角大小有关。②二面角就是用它的平面角来度量的。一个二面角的平面角多大，我们就说这个二面角是多少度的二面角。说明以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。二面角的平面角①二面角的平面角与点（或垂直平面）的位置无任何关系，只与二面71二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内10lOABAOB二面角的平面角哪个对?怎么画才对?二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱1）角72练习题VABC练习题VABC731.定义法根据定义作出来2.垂面法作与棱垂直的平面与两半平面的交线得到lγABO12lOAB3.垂线法二面角的平面角的作法AOlD1.定义法2.垂面法lγABO12lOAB3.垂线法74问题提出1.二面角与二面角的平面角分别是什么含义？二面角的平面角有哪几个基本特征？(1)顶点在棱上；(2)边在两个面内；(3)边垂直于棱.问题提出1.二面角与二面角的平面角分别是什么含义？二面角的平75(4)二面角的范围[0。,180。](5)直二面角平面角为直角的二面角叫做直二面角OAB(4)二面角的范围[0。,180。](5)直二面角平面角为直76AOlD例1、已知锐二面角－l－，A为面内一点，A到的距离为2，到l的距离为4，求二面角－l－的大小。解：过A作AO⊥于O，过A作AD⊥l于D，连OD则AD⊥l∴AO=2，AD=4∵AO为A到的距离，AD为A到l的距离∴∠ADO就是二面角－l－的平面角∵sin∠ADO=∴∠ADO=60°∴二面角－l－的大小为60°在Rt△ADO中，AOAD①②③17AOlD例1、已知锐二面角－l－，A为面内一点，A77寻找二面角的平面角在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.BACDA’B’C’D’寻找二面角的平面角在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出78BACDA’B’C’D’寻找二面角的平面角在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.BACDA’B’C’D’寻找二面角的平面角在正方体ABCD-79寻找二面角的平面角BACDA’B’C’D’O寻找二面角的平面角在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.寻找二面角的平面角BACDA’B’C’D’O寻找二面角的平面80BACDA’B’C’D’O寻找二面角的平面角在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.BACDA’B’C’D’O寻找二面角的平面角在正方体ABCD81如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.猜想：如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂82如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直面面垂直的判定定理符号表示：ABCD线面垂直面面垂直线线垂直如果一个平面经过另一个平面的一面面垂直的判定定理符号表示：83课堂练习：1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.（）3.如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线,则α⊥β.（）一、判断：××4.若m⊥α，mβ，则α⊥β.()∪√2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条直线，则α⊥β.（）√课堂练习：1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线841.过平面α的一条垂线可作_____个平面与平面α垂直.2.过一点可作____个平面与已知平面垂直.二、填空题：3.过平面α的一条斜线，可作____个平面与平面α垂直.4.过平面α的一条平行线可作____个平面与α垂直.一无数无数一1.过平面α的一条垂线可作_____个平面2.过一点可作__85例1如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.PABOC例1如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于PABOC86例1如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.线线垂直→线面垂直→面面垂直PABOC例1如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于线线垂直→面面垂直PA87例2、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。求证：平面PAC平面PBD。ABDPCO例2、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。求88解答例2、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。求证：平面PAC平面PBD。证明：ABDPCO解答例2、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足89