2正弦函数余弦性质周期性

§1.4

正弦余弦函数的性质(1)周期性举例：生活中“周而复始”的变化规律。日出

日落

、白天

黑夜

、四季更替问题：三角函数值是否具有“周而复始”的变化规律？公式(一)sin(

2k

)

sin

(k

Z

),

cos(

2k

)

cos

(k

Z

),

tan(

2k

)

tan

(k

Z

).x诱导公式sin(x+2π)=sinx,的几何意义．yoX+2πXXX+2π正弦函数值是按照一定规律不断重复地出现的能不能从正弦、余弦函数周期性归纳出一般函数的规律性？xyo1-1正弦曲线-2

-234-2-o23x-1y

1余弦曲线y

cosx

,

x

Ry

sinx

,

x

R如何用数学语言刻画周期性对于函数f

(

，如果存在一个非零常数T，使得当x

取定义域内的每一个值时，都有

f

(x

T

)

f

(x)，那么函数

f

(

就叫做周期函数，

非零常数

T

叫做这个函数的周期。1、周期的定义正弦函数和余弦函数的周期都是

2kπ1﹑sinx，cosx

的周期是2π

﹑4π

﹑6π

﹑-2π﹑-4π﹑-6π……2kπ.2﹑如果T是函数f

(x)的周期，那么2T

﹑3T

……kT也是函数f(x)的周期.3﹑对周期函数定义中的“定义域中的每一个值x

”的要求，而不是某一个值.思考：一个周期函数的周期有多少个？

4

2

4)

sin

,1.定义是对定义域中的每一个x值来说的,只有个别的x值满足:f

(

x

T

)

f

(

x)不能说T是y

f

(

x)的周期.例如:sin(注意:2sin(x

)

sin

x,因此

不是y

sin

x的周期.2

2就是说

不能对x在定义域内的每一个值使.

3

2)

sin但是sin(3练习：判断下列说法是否正确3（1）x

一定不是y

s3时，sin(x

2

)

sin

x

则

23的周期（√）2则3的周期（2）x

7

时，sin(x

2

)

sin

x6一定是y

s3（×）2、最小正周期的定义对于一个周期函数

f(x)如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做

f

(

的最小正周期。说明：现在谈到三角函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指的最小正周期；2.等式f

(

x

T

)

f

(

x),强调：自变量x本身加的常数才是周期,例如:f

(2

x

T

)

f

(2

x),T不是周期,

而应写成2

2

函数y

f

(

x)的周期.f

(2

x

T

)

f

2(x

T

)

f

(2

x),此时T

才是例

求下列函数的周期：(1)y=3cosx,

x∈R;(2)y=sin2x,

x∈R;cos(x

2

)

cos

x,(3)

y

2sin(

1

x

),

x

R2

6解:(1)

cos

x

是以2π为周期的周期函数.

y

3cos

x,x

R的周期为23cos(x

2这里的周期指的是最小正周期!sin(2x)

sin(2x

2

)sin(2x)

sin2(x

)

y

sin

2x

的周期为π.(3)2sin(1

2

61

2

6x

)

2sin(x

2

)

y

2sin(1

x

)

的周期为４π2

61

1

2

sin(

x

)

2

sin

(

x

4

)

2

6

2

6

另解1例

求下列函数的周期：(1)y=3cosx,x∈R;

(2)y=sin2x,x∈R;(3)

y

2sin(2

6x

),

x

R解:(2)归纳总结一般地，函数y

Asin及y

A

cos（其中A,,为常数，且

A

0,

）的周期是T

2若

0

则

T

2(1)

f

(x)

sin(2

x

)52(2)

f

(x)

1

cos(

x

)3

2P36

练

,2练习：(1)

求下列函数的最小正周期T

2

2

1

22|

|T

2

2

41.周期函数、最小正周期的定义；2.

y

Asin小结：和y

A

cos型函数的周期的求法。函数

y

=tan

x是周期函数吗？如果是，那么它的最小正周期是多少？课后思考作业：P46

3

2 6

解:设f

(x)

2sin

1

x

的周期为T

.f

(

x

T

)

f

(

x)

2sin

1

(

x

T

)

2sin

1

x

2 6

2 6

22sin

1

x

1

T

2sin

1

x

2 6

2