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第六节极限存在准则两个主要极限第一章二、两个主要极限一、极限存在两个准则三、内容小结10/10/11.单调有界准则数列单调增加单调降低准则I单调有界数列必有极限单调上升有上界数列必有极限单调下降有下界数列必有极限说明:(1)在收敛数列性质中曾证实：收敛数列一定有界，但有界数列不一定收敛．(2)利用准则Ⅰ来判定数列收敛必须同时满足数列单调和有界这两个条件．10/10/2(3)准则Ⅰ只能判定数列极限存在性，而未给出求极限方法．比如，数列，即使有界但不单调；，即使是单调，但其无界，易知，这两数列均发散．数列(4)对于准则I，函数极限依据自变量不一样改变过程也有类似准则，只是准则形式上略有不一样.比如，准则I′

设函数在点某个左邻域内单调在左极限必存在．而且有界，则10/10/3作为准则Ⅰ应用，我们讨论一个主要极限：首先，证是单调．＝＝所以，数列是单调增加．10/10/4显然，单调性证实可证得数列是单调增加．设数列因为数列是单调增加，所以数列是单调降低.又其次，证有界．类似于，则则.综上，依据极限存在准则Ⅰ可知，数列是收敛.10/10/5通惯用字母来表示这个极限，即也能够证实，当取实数而趋于或时，函数极限都存在且都等于，即利用变量代换，可得更普通形式10/10/6例1解:例2求解:10/10/72.夹逼准则准则II证:由条件(2),当时,当时,令则当时,有由条件(1)即故10/10/8我们可将准则II推广到函数情形：准则II′且注意:准则II和准则II′统称为夹逼准则..,极限是轻易求与而且与关键是结构出利用夹逼准则求极限10/10/9例3解：由夹逼准则得10/10/10解:

利用夹逼准则.且由思索题：？1211lim222=øöçèæ++++++¥®pppnnnnnnL10/10/11夹逼准则不但说明了极限存在，而且给出了求极限方法．下面利用它证实另一个主要圆扇形AOB面积证:

当即亦即时，显然有△AOB

面积＜＜△AOD面积故有注极限公式：10/10/12当时注10/10/13例4求解:例5求解:令则所以原式注:利用变量代换，可得更普通形式10/10/14例6求解:例7求解:10/10/15内容小结1.极限存在两个准则夹逼准则;单调有界准则.2.两个主要极限或注:代表相同表示式10/10/16作业习题1-61（2）（4）

2（3）（4）（6）3（3）（4）思索与练习1.填空题(1～4)10/10/17解：原式=2.求10/10/183.证实证实：对任一，有，则当时，有于是,（1）当时，由夹逼准则得（2）当时，一样有10/10/19故极限存在，4.设,且求解：设则由递推公式有∴数列单调递减有下界，

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