正弦电磁场第1学期-03.k-变换及其应用

2K-K变换及其应用(并习题1-16题解)-RRx0ssRAjy一.K-K变换：A为实轴上任一点，由于在围线内无奇点，根据定理，该积分为零：设函数F(z)在复平面z的上半平面解析，且当

z

时F

(z)

F

()。考虑如图围c

z

A线积分：

F

(z)

dz

。3F

(z)

dz

0F

(

x)

dx

F

(z)

dz

RF

(

x)F

(z)z

AjyA

x

Az

Adx

dz

Rc

z

A x

AAsRs令

0时,

有F(z)

F(

A),

并设(z

A)

e

j

,

dz

j

e

j

d故有：0F

(

A)

ez

Ajj

e d

jF

(z)

dz

F

(z)

j

0s对沿

S

的积分，同样，对沿SR的积分，当

R

时,

有F(z)

F(),故有：F

()F

()F

(z)

dz0z

AsRjR

e

d

jR

ejjR并设z

Re

j

,

dz

jRe

j

d-R0

RxssRA分别计算各项：4则有(1)

x

AP

F

(

x)

dx

jF

()

jF

(

A)

0又令：P为积分主值，RRx

A

PRF

(

x)dxx

Ax

AF

(

x)dx

x

AF

(

x)dxRAA

F

(

x)dx

R变换对。分开实部与虚部：F

(x)

Re

F

(x)

j

Im

F

(x)F

(

A)

Re

F

(

A)

j

Im

F

(

A)Im

F

(()2)Re

F

()x

dxIm

F

()A

x

AP1Re

()上式称为

1dx

Re

F

((3))xAIm

Fx()

FPA则有：5-RRsd0A考虑复频率平面，将上式中的坐标进行变换：x

;y

j,，

A

为实轴上任一点，jsR（4-1）Re

F

()d

A1

Im

F

(

A

)

Im

F

()

P（4-2）AA

Im

F

()dRe

F

(

)

Re

F

()

1

P上式改写为：对物理问题，特别是电磁问题，可作进一步变换：由于所有物理量均为时间的函数，可用f(t)表示且在t<0时f

(t)

=0（即物理量的因果关系：没有输

入就没有输出）。作

变换：

0f

(t)e dt

f

(t)e

dtj

t

j

tF

(

)

()()jt

defFt(5

1)

2(将（5-1）式拓到复频率平面，即：

j,0，由于

t

0

，为保证e

,

t

为衰减项，必有

,亦即F

(

)

必须在复频率平面的上半平6

面解析。

0,,(f(F))te dt

jj(t)ft(e)e

dtjtt

7另一方面，在物理上有意义的量必为实数量，。即有

f

(t)

f*

(t)

j

t

j

t

j

tF

()e

dF

()e

d

()

F

()e

d

f

(t)

j

tF

()e

d***由（5-2）知，的奇函数。Im

F

(

)

Im

F

(

)，为故有F

*

()

F()，即：Re

F

(

)

Re

F

(

)

，为

的偶函数；这就是实函数的谱函数所应满足的条件，称为实数条件。以上关系即为Kramers-Kronig色散关系，简称K-K变换。（参看“物理学中的数学问题”第8

2卷）将此条件代入（4）式，可得（6-1）dd

]

d

0

Im

F

(

)

P[01

Im

F

(

)d

]

AIm

F

(

)d

AIm

F

(

)1d

Im

F

(

)

AAAAA

2A0

2

Im

F

(

)

2

P0Im

F

(

)

d

0P[00Re

F

(

)

Re

F

()

1

P[同理可证：（6-2）

d2PAA

)

Im

FIm

F

(

0

2

2ARe

F

()92

2

,,

()

,

2

d

0(

A

)

P0A1.16题得证。2

d

2

,()2

A

,,(

A

)

AP0上式即为：若令F()

()

,()

j

,,();

()

f

0Im[

()]

,,

(

)A则10二.K-K变换的应用：1.材料参数特性测量；将电磁波入射到待测材料表面，在介质分界面产生反射与折射，测出反射功率谱，然后由K-K变换计算反射系数的相角，从而计算材料介电常数，j，，2.由实验所得SIS超导隧道结的I-V曲线计算结的参数特性；对超导SIS（超导体—绝缘体—超导体）结的直流I-V特性表征了准粒子隧道电流（即单粒子电流）的电阻部分，与之相伴的还有其电抗性电流部分，如图1所示。分析得知，这两部分电流分别是响应函数j1的虚部Im(j1)与实部Re(j1)，因而互为K-K变换，在研制实用超导器件（超导混频器、参量放大器等）的工作中，透彻了解这两者的频率特性是十分重要的。图1

1VIRe(J1)Im（J1）

I-V特性12图1VIRe(J1)I-V特性Im（J1）13对于实际的结，可由实验测得其直流I-V曲线。这就提供了Im(j1(，但Re(j1)却很难从实验中得到。由此可利用K-K变换给出，如图2为某一SIS结的实验I-V曲线，图3为由此计算的Re(j1)曲线，其结果与理论值相符甚好。3.

微波复反射系数的扫频测量。V

(mv)Im（J1）图2实验I-V特性图3V

(mV)Re(J1)I(×0.1mA)

I(×0.1mA)电抗性电流式中fA为待测点的频率，L

()为f

时负载反射系数的相角。由此可知，只要测出全频段反射系数模的频响特性，就可计算出频率为fA时的相角L

，逐点计算各

f

点的L

，就得到全频段的相频特性，从而测出扫频复反射系数。14三.利用K-K变换进行微波复反射系数测量。已知复反射系数

e

j

；两边取对数：ln

ln

jd2P

2A0

2

ln

()AA)

(

)

(PA

f

20

f

2

ln

(

f

)dfA2

fA)

(

f

)

(即：代入上式，有：扫频测量通常采用反射计技术，反射计技术的基本思想是利用适当的微波元件将传输线上由待测负载所引起的反射波与入射波分离开来，以比较它们的大小和相位。反射计技术在微波测量中是非常重要的，它是组成近代微波测量仪器（如自动网络分析仪、六端口反射计等）的基础。151.扫频复反射系数：一般测量复反射系数的方法是利用开槽测量线测量传输线上的驻波场分布从而计算驻波系数和复反射系数。它适用于点频测量，可以达到较高的精度，但用于扫频测量却较。16基本反射计电路：DDCiViCrVr待测负载短路器定向耦合器1定向耦合器2a1a2理想反射计由两个高方向性的宽带定向耦合器反向联接构成，其基本框图如下：1722L

Ka

Ea

E1

入

2

K

反K为与定向耦合器、晶体检波器、指示器增益有关的比例常数，一般可用实验方法进行校正。若用微波扫频信号发生器作为信号源，输出指示改为比值计或示波器、X-Y记录器，就能直接测出待测负载在整个扫频范围的反射特性（

(f

)），其相位特性可由K-K变换求出。DCiViDCrVr待测负载短路器定向耦合器1定向耦合器2a1

a2由图中可见，由于晶体检波器的平方率检波特性，a1、a2分别正比于入射波功率与反射波功率：显然，当

t

0

时，必须

,,

0

才有实际意义，这就确定了函数在上半平面解析（因果性意味着一定的解析性）。182.实验中出现的问题及解决方法：1）符号差与下半平面解析：进行复反射系数测量时首先遇到的问题是测量计算结果和负载实际的相角值相差一符号。为此对上述公式的推论作进一步分析：

j

,,，则：由(5-1)式，若令

,

0,fF()te()

dt

()ftee

jt,t,,

dt

jjt

)(

19在一般物理问题中，波函数写为

e

j

(

z

t

)，上述假设是正确的。但对电磁问题，波函数一般写为e

j

(

t

z

)故：

F

(

)

0f

(t)e dt

j

t,

,,f

(t)e

e

dt

j

t

t显然只在

,,

0

方有实际意义。所以此时应对应下半平面有效。用完全类似的步骤可推得：（7）。PA

f

20

f

2

ln

(

f

)dfA2

fA

(

f

)

()

（参看“微波测量技术”p.41）202）实验的可行性：从上述公式看，积分限中

f都从0

，测量上难以实现。对上式进行分部积分，即发现：

d

ln

(

f

)

dfdf时，有：lnPf

f

AA

(

f

)

()

0ln1

f

f

A可见：当或

f

f

AAf

f

0f

ff

f

AA不随f变化时，，此时的

对积分无贡献。(

f

)dfd

ln

(

f

)

0当(f

)这样就实际上限制了所需测量的频率范围。一般的微波元器件都是窄带的，只须在一定的带宽范围内测量即可。213.测量数据的具体处理方法：可采用分段线性方法，将积分化为求和：Pk

[(

f

A

fk

)

ln

f

A

fk

(

f

A

fk

)

ln(

f

A

fk

)]1NA)

(

f

)

(k

2k k

1

ln

(

fk

)

ln

(

fk

1

)k

1f

fkk

U

;

Uk其中：

P

Uffn+1ff

fffn(f)注意：在使节上述求和公式时，须有：(

f1

)

(

f

2

)

;

(

f

N

)

(

f

N

1

)22四.微波谐振腔特性测试：YcLn2C1

：nLG0n2G0Ycn2CTmT0

1

[1

jQ(

f

f0

)]

f

fcYinYin其中：

~

Y2

LCo2f

012010

0C

;0

nYQ

GQc

C23定义1

0Q

n2G

Q0

Yc~

1为耦合系数。当f=f0时，Yin理想情况下，f

变化时，输入导纳的轨迹为一等G0园，在Smith园图上的阻抗轨迹如图：oo极点

，x0、x1均24为奇点。用保角变换可将上述阻抗轨迹变到复频率平面，轨迹园对应于下半平面；外部对应于上半平面。由此可见，

1

时，原点O变至上半平面；

1

，原点O变至下半平面。令，代入可得：00f

fx(

f

)

Q

(

f

f0

)

1

jx

1

jx1

(1jx);inininin~

(

fY)fY)(~1

1

~

fY)(；in拓至复频率平面，可知

有零点

x0

j(1

)25当

1时，x0、x1均位于上半平面，故下半平面无奇点，可直接应用上述K-K变换化式，且；()

f

1;in当

1

时，x0位于实轴或下半平面，K-K变换式不能直接应用，须进行修正。作如下变换：(x)

1

jx

1

jx

1

jx

1

jx

1

jx

1

jx两边取对数：ln

(x)

ln

1

jx

ln

1

jx

1

jx

1

jxx

1

1

jx即为

ln

(x)

j

(