教程函数单调性

2012年11月航空航天大学理学院数学系2一、单调性xyoy

f

(

x)xyoabABf

(

x)

0f

(

x)

0abBAy

f

(

x)1

单调性判别法PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大学理学院数学系3定理

设函数

y

f

(

x)在[a,

b]上连续，在(a,

b)内可导，则：y

f(x)在[a,b]单调增加当且仅当在(a,b)内f

(x)

0；y

f

(x)在[a,b]单调减少当且仅当在(a,b)内f

(x)

03如果在(a,b)内f

(x)

0，那末函数

y

严格单调增加；(4)

如果在(a,b)内f

(x)

0，那末函数

y

f

(x)在[a,b]上f

(x)在[a,b]上严格单调减少.PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大学理学院数学系4例1 函数y

ex

x

1的单调性.解

y

ex

1.又

D

:

(,).在(,0)内,

y

0,函数单调减少在(0,)内,

y

0,函数单调增加.注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大学理学院数学系52、单调区间求法问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．方法:用方程f

(x)

0的根及f

(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间,然后判断区间内导数的符号.PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大学理学院数学系6例2

确定函数

f

(

x)

2

x

3

9

x

2解

12

x

3的单调区间.D

:

(,).f

(

x)

6

x2

18

x

12

6(

x

1)(

x

2)解方程f

(x)

0

得当

x

1时当1

x

2时当

2

x

时x1

1,

x2

2.f

(

x)

0,f

(

x)

0,f

(

x)

0,在(,1]上单调增加

在[1,2]上单调减少

在[2,)上单调增加[2,).单调区间为(,1][1,2]PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大学理学院数学系7例3解确定函数

f

(

x)

3

x2

的单调区间.D

:

(,)., (

x

0)233f

(

x)

x当x

0时,导数不存在.当

x

0时当0

x

时f

(

x)

0,

在[0,)上单调增加f

(x)

0,

在(,0]上单调减少单调区间为(,0][0,).x2y

3PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大学理学院数学系8例4

当x

0时,试证x

ln(1

x)成立.证

设f

(

x)

x

ln(1

x),

则

f

(

x)

.x1

xf

(x)在[0,)上连续,且(0,)可导，f

(x)

0,

在[0,)上单调增加f

(0)

0,当x

0时x

ln(1

x)

0,即x

ln(1

x).注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,

y

x3

,

y

x0

0,

但在(,)上单调增加.PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大学理学院数学系9二、函数的极值oxbyy

f

(

x)a

x1x2x3

x4x5

x6oxyoxyx0x0PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大学理学院数学系10设函数f

(x)在区间(a,b)内有定义,x0是定义(a,b)内的一个点,如果存在着点x0的一个邻域,对于这邻域内的任何点x,除了点x0外,

f

(

x)

f

(

x0

)均成立,就称f

(x0

)是函数f

(x)的一个极大值;如果存在着点x0的一个邻域,对于这邻域内的任何点x,除了点x0外,

f

(

x)

f

(

x0

)均成立,就称f

(x0

)是函数f

(x)的一个极小值.函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大学理学院数学系11函数极值的求法y

x3

,

y

x0

0,例如,

但x

0不是极值点.(回忆费马定理)定理1(必要条件)设f

(x)在点x0

处具有导数,且在

x

处取得极值,

那末必定

f

'

(

x

)

0.0

0定义

使导数为零的点(即方程

f

(

x)

0

的实根)叫做函数

f

(

x)

的驻点.注意:

可导函数

f

(

x)

的极值点必定是它的驻

点,但函数的驻点却不一定 是极值点.PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大学理学院数学系12'定理2(第一充分条件)(1)如果x

(x0

,x0

),有f(

x)

0;而x

(x0

,x00有

f

'

(

x)

0

，则

f

(

x)在

x

处取得极大值.0

0(2)

如果x

(

x

,

x

),有

f(

x)

0;

),而x

(

x

,

x

)'0

0'f

(

x)

00有

，则

f

(

x)在x

处取得极小值.(3)如果当x

(x

0

,x0

)及x

(x0

,x0

)时,符号相同,则f

(x)在x0

处无极值.f

'(

x)xoy

yx0ox0x(是极值点情形)PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

航空航天大学理学院数学系2012年11月

13xyyo

ox0x0x(不是极值点情形)求极值的步骤:求导数f

(x)求驻点以及导数不存在的点(3)检查

f

(

x)

在上述点左右的正负号,判断极值点;

(4)求极值

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2012年11月航空航天大学理学院数学系14例1

求出函数

f

(

x)

x3

3

x2

9

x

5

的极值.解f

(

x)

3

x2

6

x

9

3(

x

1)(

x

3)令

f

(

x)

0

得驻点

x1

1,

x2

3.列表x(,1)

1(1,3)3(3,)f

(

x)00f

(

x)极大值极小值极大值

f

(1)

10,

极小值

f

(3)

22.PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大学理学院数学系15f

(x)

x3

3

x2

9

x

5图形如下MmPDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大学理学院数学系16定理3(

第二充分条件)

设f

(

x)在x0

处具有二阶导数,且

f

'(

x

)

0,

f

''

(

x

)

0,

那末0

0当

f

''

(

x0

)

0时,

函数

f

(

x)在x0处取得极大值;当

f

''

(

x0

)

0时,

函数

f

(

x)在x0

处取得极小值.证

(1)xx0

x)

f

(

x0

)

0,0f

(

x

)

lim

f

(

x0故f

(

x0

x)

f

(

x0

)与x异号当x

0时当x

0时有f

(

x0

x)

f

(

x0

)

0,有f

(

x0

x)

f

(

x0

)

0,所以,函数f

(x)在x0

处取得极大值PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大学理学院数学系17例2

求出函数

f

(

x)

x3

3

x2

24

x

20

的极值.解f

(

x)

3

x2

6

x

24

3(

x

4)(

x

2)令

f

(

x)

0

得驻点

x1

4,

x2

2.f

(

x)

6

x

6,f

(4)

18

0,f

(2)

18

0,故极大值

f

(4)

60,故极小值

f

(2)

48.f

(x)

x3

3

x2

24

x

20

图形如下PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大学理学院数学系18Mm注意:

f

(

x0

)

0时,

f

(

x)在点x0处不一定取极值,仍用第一充分条件.PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大学理学院数学系19例3解2求出函数

f

(

x)

1

(

x

2)3的极值.(

x

2)3213f

(

x)

(

x

2)当x

2时,f

(x)不存在.当x

2时当x

2时f

(

x)

0;f

(

x)

0.

f

(2)

1为f

(x)的极大值.但函数f

(x)在该点连续.注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.MPDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大学理学院数学系20三、函数的最值ob

xo

aoab

xab

x若函数f

(x)在[a,b]上连续，除个别点外处处可导并且至多有有限个导数为零的点，则f

(x)在[a,b]上的最大值与最小值存在.y

y

yPDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大学理学院数学系21步骤:求驻点和不可导点;求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大学理学院数学系22最值应用举例例1

求函数

y

2

x3

3

x2

12

x

14

的在[3,4]上的最大值与最小值.f

(

x)

6(

x

2)(

x

1)解解方程

f

(

x)

0,得x1

2,

x2

1.f

(2)

34;f

(4)

142;计算

f

(3)

23;f

(1)

7;PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大学理学院数学系23比较得

最大值

f

(4)

142最小值

f

(1)

7.12

x

14y

2

x3

3

x2

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2012年11月航空航天大学理学院数学系24速度为2千米/分钟．问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？例2

敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击，PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大学理学院数学系250.5公里4公里BA解

(1)建立敌我相距函数关系设

t

为我军从B处发起追击至射击的时间(分).敌我相距函数s(t

)s(t

)s(t

)

(0.5

t

)2

(4

2t

)2(2)求s

s(t

)的最小值点.s(t

)

.(0.5

t

)2

(4

2t

)25t

7.5令s(t

)

0,得唯一驻点t

1.5.故得我军从B处发起追击后

1.5

分钟射击最好.PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大学理学院数学系26实际问题求最值应注意:建立目标函数;求最值;若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值即为所求的最(或最小)值．PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大学理学院数学系27例3

某房地产公司有50套公寓要出租，当

定为每月180元时，公寓会全部租出去．当每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修费．试问房租定为多少可获得最大收入？解 设房租为每月x元，

10租出去的房子有50

x

180

套，每月总收入为

10R(

x)

(

x

20)

50

x

180

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2012年11月航空航天大学理学院数学系2810

R(

x)

(

x

20)68

x

10

10

5R(

x)

68

x

(

x

20)

1

70

xR(

x)

0故每月每套

x

350

（唯一驻点）为350元时收入最高。10

最大收入为R(x)

(350

20)68

350

10890(元)PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大学理学院数学系29成一个曲边三角形，在曲边

y

x2

上求一点使曲线在该点处的切线与直

线y

0

及x

8所围成的三角形面积最大．例4

由直线

y

0，x

8

及抛物线

y

x2

围PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大学理学院数学系30解 如图,设所求切点为P(x0

,y0

),则切线PT为y

y0

2

x0

(

x

x0

),0

0y

x

2

,

A(1

x

,

0),

C

(8,

0),200

x

2

)0B(8,

16

xTxyoPABC2

2000

S

1

(8

1

x

)(16

x

x2

)ABC0(0

x

8)PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大学理学院数学系31

16

16)

0,14020(3

x

64

x令

S

解得30x

16(舍去).0x

16

,s

(

16

8

0.3

3

21716

4096

为极大值.)

s(

)故s(16)

4096

为所有三角形中面积的最大者.3

27PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大学理学院数学系32六、小结单调性的判别是

日中值定理定理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大学理学院数学系33极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点.函数的极值必在临界点取得.判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大学理学院数学系34注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤.PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大学理学院数学系35思考题1若f

(0)

0，是否能断定f

(x)在原点的充分小的邻域内单调递增？PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大学理学院数学系36思考题1解答不能断定.0,

x

0

x

2

x2

sin

1

,

x

0x例

f

(

x)

xx0f

(0)

lim(1

2

x

sin

1

)

1

01但

f

(

x)

1

4

x

sin

1

2cos

,

x

0x

xPDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大学理学院数学系37(2k

1)当

x

2时，

f

(

x)

1

01时，f

(x)

1

02(2k

1)412k当

x

注意k可以任意大，故在

x0

0

点的任何邻域内，f

(

x)

都不单调递增．PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大学理学院数学系38下命题正确吗？如果x0

为f

(x)的极小值点，那么必存在

x0

的某邻域，在此邻域内，f(x)在x0

的左侧下降，而在x0

的右侧上升.思考题2PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大学理学院数学系39解答例不正确．2

x2

(2

sin

1

),

x

0x2,

x

0f

(

x)

x当x

0时，f

(

x)

f

(0)

x2

(2

sin

1

)

0于是x

0为f

(x)的极小值点PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大学理学院数学系40当x

0时，x2

x(2

sin

1

)

0,xcos

1

在–1和1之间振荡因而f

(x)在x

0的两侧都不单调.故命题不成立．1f

(

x)

2

x(2

sin )

cos

1x

x当x

0时，PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大学理学院数学系41一、填空题：1、函数y

2

x

3

6

x

2

18

x

7单调区间为

.2、函数y

1

x

22

x在区间[-1,1]上单调，在

上单调减.，3、函数y

x

2

ln

x

2

的单调区间为单减区间为

.二、 确定下列函数的单调区间：1、y

4

x

3

9

x

2

6

x10；(

a

0

)

；2、y

3

(2

x

a)(a

x)23、y

x

sin

2

x

.练习题1PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大学理学院数学系42三、

证明下列不等式：1、当x

0时，1

x

ln(x

2、

当x

4时，2

x

x

2

；1

x

2

)

1

x

2

；3、若x

0，则sin

x

x

1

x

3

.6四、

方程

ln

x

ax

(a

0)有几个实根.五、 设f

(

x)在[

a,

b

]

上连续，在(

a,

b)

内

f

(

x),

试证明：对于[

a,

b]上任意两x1

，

x2

有2

2

x2

)

f

(x1)

f

(x2

)[提示：方法（1）f

(

x1f

(

x)

0，f

(

x)单增；方法（2）

f

(

x)

0，利用

公式]PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大学理学院数学系432一、1、(,1],[3,)单调增加,[1,3]单调减少；2、增加,(,1],[1,)3、(,1],[1,)；[1,0),(0,1];(,1],(0,1].1二、1、在(,0),

(0,

],[1,)内单调减少,在1[

,1]上单调增加；

232、在(,2

a],[a,)内单调增加,2在[

a,

a]上单调减少；

3练习题1答案PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大学理学院数学系44k

k

3、在[

,

]上单调增加,2

2

3在[k

,

k

]上单调减少,

(k

0,1,2,

).2

3

2

2e四、(1)

a

1

时没有实根；e(2)

0

a

1

时有两个实根；e(3)

a

1

时只有x

e一个实根.PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大学理学院数学系45

x

1,

x

0一、 填空题：1、

极值反映的是函数的 性质.2、

若函数

y

f

(

x)

在

x

x0

可导，则它在点

x0

处到得极值的必要条件中为

.23、

函

数

y

2

(

x

1)

3

的

极

值

点

为1y

3

2(

x

1)

3

的极值为；.3

x

x

,

x

04、已知函数f

(x)当x

时，y

为极

小值；

当

x

时

，y

为极大值.练习题2PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大学理学院数学系46二、求下列函数的极值：1、y

e

x

cos

x

；212、y

x

x；3、方程e

x

y

y

0所确定的函数y

f

(

x)；2e

,

x

04、y

1x.0,x

0三、证明题：1、如果y

ax

3

bx

2

cx

d

满足条b

2

3ac

0

，则函数无极值.2、设f

(x)是有连续的二阶导数的偶函数f(x)

0

，则x

0

为f

(x)的极值点.PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年11月航空航天大学理学院数学系47一、1、局部；3、(1,

2),

无；2、f

(x0

)

0

；1

134、

,( )

e

,0,1;二、1、极大值y(e

e2ke

4