等离子体9.非均匀中波

非均匀等离子体中的在第3章关于磁流体稳定性的中讲述了非均匀等离子体中磁流体模式。但是在那里主要关心的是这些模式的幅度随时间的演化没有涉及模式的传在的在这样实际的非均匀等离子体中波动的是等离子体物理的主要研究对象之一。在这一章里，非均匀等离子体中扰动的。多尺度分，等离子体是典型的多度、多运动模式、多时空尺度的系统。等离子体的非均匀性就是其多时空尺度性质的体现。研究这样的系统一般采用“多尺度分析（multi-scaleysis）方法。，在这一节里通过一般静电、电磁波在非均匀的等离子体介质中的传双时间尺度分（asymptoticmethod里只做简单的介绍。对这种方法的详尽了解可以参考有关的书籍（，1983等离子体中静电或电磁扰动的可以用其电矢量表示为0 (9-0上的算子（矩阵）()来说， (9-即如果在0附近展开，使()()()

O()2 其中等价于算i/t i/

Eˆ/t~

~O( 这样，就可以分开两个时间尺度，使2 (9-22B(t)1Bˆ()ei0tc.c. (9-2A(t)B(t)在时间间隔t上做平均——这个时间间隔t比远远长于快尺度振荡~10，但是远远小于慢时间尺度~10，即10t1

1

1ˆ

ˆ*A(t)B(t)dtA(t)B(t)4

AB (9-t能量密度及能量流密BE1BEB4J1E

(9- ct

ct 出发 得

B2E2JEcEB0 (9-t

Ohm加热功率JEσEE（E2，在各向同性等离子体中）Poynting矢量流，（即电磁场能量流）如果 (9- (9- 利用上面（9-05）给出的“时间平均”结果，忽略空间变化，可以容易得H（9-07）的零阶近似（~O(01）ˆ*εˆ0；和一阶近似（~O(H

1ˆ*0 0

ˆ

(9-Wˆ1|ˆ|2|ˆ|2iˆ*σH

1|ˆ|2Eˆ*(0εH)ˆ (9-16

其中，矩阵算子M

iM（及其转置共轭MT*

HiMAσ，ε（其转置共轭，包括了“对称的”Hermitian分2H 1MMT* (9-2H和“称的”非Hermitian分MA

1MMT* (9- MMHiMA

MT*MiM (9- 利用前面的“双尺度”分析将作用在慢变物理量（幅度）M 1MMT*M()O2 (9- M1MMT*M(0)

(9-

显然，在慢变近似下，称非Hermitian分量是~O()的数量级可以看出，波能密度随时间的变化是介电张量ε()的称非Hermitian分 (0H)|ˆ|2

1

|ˆ|20 (9-16t

0|ˆ|2

(0H)/

ˆ (9-0|ˆ|2|ˆ|2e2t (9-0

0(0H)/

0(0R)/

(9-其中的(0R0表征波能，而0I表征因为波-粒子相互作用引起的功率损方程（9-18）的物理图像是（1）对于“正能波，有(0R)/00，则0I0表示功率损失，导致波的衰减；而0I0表示功率增益，导致波的增长；（2）对于“负能波，有(0R)/00，则0I0表示功率损失，导致波的衰减；而0I0表示功率增益，导致波的增长。其物理机制类似于Landau阻尼率 R/双时空尺度分 E(x,t)Eˆ(,k;t,x)ei(k0x0t)

1 (9-若用xt来表示时空的快变，而ξx，t

E(x,t)Eˆ(,k;,ξ)ei(k0x0t) 类似地，对作用在Eˆ上的算子（矩阵）(,k)，k)ˆ (9-即，当算子(,k)(0,k0k在0kk0等价于id/d，而k等价于id/dξ。，基于上面对算子的还可以得到一般地一个算子MMHiMA，以写成对称的 称的部MH

)O2

MA~O() (9- k(kE(,k))c

ε(,k)E(,k)，可以写出其零阶（主导阶） D(,k)Ekkk2I0ε(,k)E0 0 2kkk2I0ε(

)0 (9-0 ˆ

ˆ ˆ* 2|B|20

k0EEεHE (9-群速利用上面的近似方法和关系式 可以得到电磁波方程的下一阶近 ˆˆ

1ˆ*

16t

1

ˆ ˆ

ˆ ˆ*0

EεHEc

BE

(9-16

(9-这是能量密度的“连续性方程。其 已经定义了能量密

1|ˆ|2Eˆ*(0εH)ˆ16

(

)

(

)

E*

0HE

0HE (9- H 0H波能流密度（等价于Poynting矢量P

ˆ

ˆ*

ˆ08 20 0 cReEˆ*ˆ1ˆ*

ˆ (9-8

2

ˆ*εˆ

(9-。 。

ˆ0H0H与上一小节的相同，有着类似Landau阻尼的性质。

(Wˆ (9-可以得到波能的速度VW，即波的群速 VVcReEˆ*ˆ ˆ*

ˆ (9-

2 几何光学近似，光线度分析为提供了解决问题的有力在这一节里进一步研究其对非均几何光学近时空尺度，则可以把波（的电矢量）表示为E(x,t)Eˆ(ξ,)ei(kxt) 1 (9-这里保持时空变量x，t作为快变时空尺度，并将慢变时空尺度表示为ξx，t，（wavelet从上节的可知，(k)是快尺度下的色散关系即波方程的最低（零阶）近似而由波方程的一阶近似可以得到波能方程如果把这“波包”（quasi-particle，（tajectory）VdξdxV(k) (9- （geometricapproximation在零阶近似下 已经(k;ξ,) (9-kk(ξ,) (9-（（RayEquations光线方光线方程（组）假设“光迹”dξ/d(k)/k已经被解出，来尝试求解另外两个“色不失一般性，仅假设空间慢变尺度的存在，则可以写（9-26）E(x,t)Eˆ(ξ)ei(k(ξ)xt)Eˆ(ξ)eiS(x,ξ,t) (9-（eikonalDˆD(,k;ξ)ˆ(ξ) (9-D|D|D(k;ξ)0(kξ)。对于波矢kk(ξ)，可以多方程D(,k;ξ)0沿着光迹对时间求全导数dDDDdDdkDdξ0 (9- 即DdkDdξDdkD0 (9-

(9-“程函”表E(x,t)ˆeiS(x,t) (9-可以适当选择程函S(x,t)以包括Eˆ的慢变性质那么对于一维问题可以得S (x,t)Sx

t

0 (x,t)14S/t

(9-S1/2cS0，1/2cV(x,t) (9- k(x,t)dSSdxS0 (9- x dx1/2cV

(9-kS (9- t (9-“准粒子”表从上面的出发，考虑多时空尺度，对于“程函”表示E(x,t)ˆeiS(x,t) (9-D|D|D(x,t;k,)0 (9-kSk(x,t) (9-S(x,t;k) (9-k2 2 k k dkk

k

kk

x(kSS t kk (9- kx x ddx (9- x 从光线方程组（9-27，可以得D(x,t;k,) (x,t;k) (9-kSk(x,

x (9-(x,t;k

d (9- (xt;k具有“能量”即H

，p

27加上“光迹方程（9-27a，可以写成Hamiltonian方程的形式d dHH dx dxH dtx

dtx这个工作与量子力学发展过程中对德布罗意（deBroglie）波的“准经典近粒子密度表示以及类似“FeynmanDiagram”的表示方式都是以此为基础的。均匀等离子体中的截止先来回顾一下均匀等离子体中波的截止与的一般性质22k2c2 对于k0，有。如果，则k20，即波不再在等离子体中，其振幅在~1|k|的距离上指数衰减。所以pe被称为光学电磁波在等离子体 还发现，在截止时（k0对于垂直磁 的准电磁波，有色散关k2k

2

0在k，有“”解ce还看到，在“”处（k，波的相速度和群速度都趋近零。非均匀等离子体中的截止，方法来研究等离子体中的物理过程。对于非均匀等离子体中的波可以使用（Schrödinger方程的“准经典近似”或渐进方法中的“WKB近似。，（turningpoint“k2无论对于“”点

0，WKB似方法，而必须对波动方程（waveequation）做出必要的修正。先 ”与“截止（即“转向点）的性质d dx2q(x)E(x)0 (9- 这里，21q(x)xWKBx (9-x

E(x)~E dxk(xq(x1/2WKB

k2（1）截止——规则转向点（regularturning如果q(x)x（0，发现，在x0附近，k02 k

x (9-显然，WKB近似在这一区间不再成立。事实上，对于几何光学近似xE(x)~ExE(x)~E dxk(x（evanescentx0数学上，类似（9-36）的方d

2

(9-

x 被称为Airy方程，其两个线性独立解被称为Airy函1 3Ai(r)dcosr3 (9- 1

3

3Bi(r)dexpr3sinr3 (9- 其中r213x，而x0是这类方程的“规则转向点（2）——奇异转向点（singularturning39，如果)

1x0

dk dk d2则WKB近似不成立。事实d

2xE(x) x0处有一个奇点，所以方程的解在这里是奇异的，而且很可能剧烈振荡。所以称x0为“奇异转向点”或者“点“面。x0k（leadingorder——因为，；wave，KAW吸等离子体静电振荡（Langmuiroscillation）

4ne2 xt

E(x,t)0。 (9-m E(tEeit，其中224ne2m D()

pe0 (9-这个解类似于一维谐振子。考虑到阻尼 类比一维阻尼谐振子，得

4ne2 E(t)0。 (9- 2 (9-如果等离子体是非弱均匀的，其密度n0n0(x22(x)4n(x)e2/m (9-

xt

pe(x)E(x,t)0 (9- 如果外部驱动源的频率是0，对稳态解（不考虑时间的多尺度）可以利WKB的程函近 E(x,t)Eˆ(x)expi(x)itEˆ(x)ei0t dD(x,)Eˆ(x)0 (9- ˆ(x)

ˆ00D0(x,0

(9-D0(x,0)

220

(9-DdEˆ0 kSdidEˆiD0 (9- 明显地如果在xx有22(x)导致D(x,)0；则有

ˆ(x0)。很显然，xx0是一个点。在这个点，阻尼引起的吸xx0D0(x0,0)0，所以解（9-46）的振幅（9-48）趋向无穷大。这可以用6引进很小的阻尼率，/0，得D(x,0;)

(i

(9-如果00D(x,0;)

pe

pe (9- 在点xx0附 )i(x

i) (9- 这里2pe(x00n0(x0n0(x0，0不失一般性如果假设pe(x0)0则0写1/Ln其中xx0点Lnn0(x0n0(x0)0是耗散效应的特征长度；或者说，在xx0~区间，耗散效应不可忽略。从能 方程可以得P0ImD(x,0;)Eˆ2 ˆ2ˆ2ˆ2

0Im

0D*(0

(9-在点xx0附近，得

x0sgn(WPsgn()

(xx) (9-

则波在“”xx0面的功率损失

0ˆ2 ˆ2P

8

(9-线性模式转与等离子体静电振荡的入射波转换成Bohm-Gross仍然上面的情形，即频率是0，对时间平稳变化的情况（忽dD(x,)Eˆ(x)0 (9- 显然，其一般解（9-48）在点xx0附近有1/(xx0)奇异性Dˆ(x)D

ˆ

ˆ00(xx0

0 (9-022d2

dx D

D0(x)E(x)0 (9- 或 2d

Ddx2D0(x)E(x)E00 (9- 这里De0D~DLn1，这个方程的齐次方程的两个独立解给出Bohm-Gross波（ 22(x)k22(x)，在均匀等离子体情况下成一般的Langmuir波 在xx0D的区域，热波长的影响很小，非齐次方程的特解ˆ(xˆ00D0(xBohm-Gross波解（通解）与非齐xx0~DAiry 2d Ddr2rE(r0， 2d

Ddr2rE(r)E00 (9- 这里rxx0。则非齐次方程（9-56’）在点xx0（r0）两边的渐进解

ˆ00x0

2x

A

0

(9-

xx0

4 ˆ00x0

(9-L21313Airy 0Airyxx10

~L

ˆ00

ˆ00

(9-

2/且入射波的“通解”部分转换成Airy函数形式的Bohm-Gross波磁化等离子体中低频入射波转换成动理学Alfvén线性“模式转换。这里进一步研究动理学效应，限Larmor半径效effect幅度对时间缓慢变化（可以忽略）d

D

d ˆ(x)D(x)ˆ(x)0。 (9- dxky2DA(x)dx