考试点2014考研数学概率统计轻松过关数三

第一 随机事件和概率 第二 随量及其分 第三 为随量及其分布 第四 随量的数字特 第五大数定律和中心极限定第六数理统计的基本概念第七参数估计《概率统计》轻松过第三部 概率论与数理统第一 随机事件和概随机事件与样本空间，事件的关系与运算，完备事件组，概率的概念，概率的基本性质古典型概率，几何型概率，条件概率，概率的基本公式，事件的独立性，独立重复试验．理 随机事件的概念，概率，条件概率的概念，事件独立性的概念，独立重复试验的概念掌握 事件的关系及运算，概率的基本性质，概率的加法公式，减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Ｂａｙｅｓ）公式，用事件独立性进行概率计算，计算有关事件概率的方法了 样本空间（基本事件空间）的概念 计算古典型概率和几何型概率全概率公式及贝叶斯公式，概率及条件概率，古典型概率，概率的基本公式第一 样本空间、事件的关系及运—、随机试验的概具有以下两个特点的试验称之为随机试验（１）试验的所有可能结果是已知的或是可以确定的（２）每次试验将要发生什么样的结果是事先无法预知的随机试验又依其可否在相同条件下重复进行分为：可重复试验及不可重复试验二、样本空间和随机事试验所有可能结果的全体构成样本空间；称试验的每一个可能结果为样本点，样本空间为全体样本点的集合；随机事件是对随机试验中出现的某些现象或某种情况的陈述；它可以用试验的某些可能结果加以描述，因而是样本空间的子集．往后也简称随机事件为事件．三、事件的关随机事件之间有如下四种关系（１）包含关 称Ａ蕴含了Ｂ，如果Ａ发生必导致Ｂ发生，且记之为Ａ（２）相等关 称Ａ与Ｂ相等，如果ＡＢ，ＢＡ同时成立，且记之为Ａ＝１考试点（ｗｗｗ．ｋａｏｓｈｉｄｉａｎ．ｃｏｍ）名师精品课 ：４００６８８５３６５（３）互斥关 称Ａ与Ｂ互斥，如果Ａ，Ｂ不能在一次试验中同时发生（４）互补关 称Ａ与Ｂ互补，如果Ａ，Ｂ在一次试验中必发生一个且只能发生一个四、事件的运随机事件之间有如下三种运算（１）并的运 Ａ与Ｂ的并产生这样一个事件，即Ａ，Ｂ至少发生一个，记之为（２）交的运 Ａ与Ｂ的交产生这样一个事件，即Ａ，Ｂ同时发生，记之为Ｂ（３）差的运 Ａ与Ｂ的差产生这样一个事件，即Ａ发生且Ｂ不发生，记之为Ａ－五、事件的运算交换律：Ａ∪＝Ｂ∪Ａ＝结合律：（Ｂ∪＝ＡＢＣ；（∩Ｂ∩＝ＡＢＣ分配律：（Ｂ∩＝（Ｃ∪ＢＣ；（∩Ｂ∪＝（∪Ｃ∩ＢＣ）对偶律：Ａ∪＝ＢＡ∩＝例１．１． （１）Ａ发生，Ｂ与Ｃ都不发生（２）Ａ，Ｂ，Ｃ中恰有两个发生（３）Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生（４）Ａ，Ｂ，Ｃ中至多有两个发生（５）Ａ，Ｂ，Ｃ不都发生思路点拨利用事件的运算关系表示事件，关键是要正确理解事件的运算和事件的关系．理解的思路不同，得到的表达式也不尽一样，但只要思路正确，所得到不同表达式相互等价．特别是在复合事件中常用“恰有”、“只有”、“不多于”、“至少”、“至多”、“都发生”和“不都发生”等词描述，必须弄清楚这些词语的确切含义． （１）“事件Ａ发生，Ｂ与Ｃ都不发生”等同于“Ａ，Ｂ，Ｃ三个事件同时发生”，所以“Ａ发生，ＢＣ都不发生”可表示为事件也可以把“Ｂ与Ｃ都不发生”看作一个整体，那么它的对立事件就是“Ｂ、Ｃ至少有一个发生”ＢＣ那么“Ｂ与Ｃ都不发生”等价于ＢＣ所以Ａ发生Ｂ与Ｃ都不发生也可表示为事件（Ｃ（２）“ＡＢＣ中恰有两个发生”的等价事件是“ＡＢ都发生Ｃ不发生ＡＣ都发生Ｂ不发生ＢＣ都发生Ａ不发生”以它可以表示为ＡＢＣＡＢＣ．另外件“ＡＢＣ中恰有两个发生”也等价于“Ａ，Ｂ同时发生，或Ａ，Ｃ同时发生，或Ｂ，Ｃ同时发生ＡＢＣ不同时发生”以“Ａ，Ｂ，Ｃ中恰有两个发生”也可表示为（Ｂ∪Ｃ∪－ＡＢＣ或（ＢＣ∪Ｃ）（３）“ＡＢＣ中不多于一个发生”等价于“Ａ发生ＢＣ都不发生；或Ｂ发生，而Ａ，Ｃ都不发生；或Ｃ发生ＡＢ都不发生ＡＢＣ都不发生”可表示为ＡＢＣＣＢＣＢＣ．２《概率统计》轻松过“ＡＢＣ中不多于一个发生”也等价于“ＡＢＣ中至少有两个都不发生”，所以它也可表示成Ａ∪Ｃ∪Ｂ另外，“Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生”的对立事件是“Ａ，Ｂ，Ｃ中至少有两个发生”，所以也可以把“ＡＢＣ中不多于一个发生”表示为事件Ｂ∪∪Ａ．（４）“ＡＢＣ中至多有两个发生”等价于“ＡＢＣ中至少有一个不发生”此它可表示为ＢＣ．也可把“ＡＢＣ中至多有两个发生”分解成三个事件“Ａ，Ｂ，Ｃ三个事件不同时发生”，“Ａ，Ｂ，Ｃ三个事件恰好有一个发生”ＡＢＣ三个事件恰好有两个发生”的和事件么它可表示为ＡＢＣＢＣ∪ＢＣＢＣ∪ＣＣ∪此外ＡＢＣ中至多有两个发生”的对立事件为“Ａ，Ｂ，Ｃ三个事件都发生”，从而也可表示为ＡＢＣ．（５）“Ａ，Ｂ，Ｃ不都发生”等价于“Ａ，Ｂ，Ｃ三个事件至少有一个不发生”，或者等价于“Ａ，Ｂ，Ｃ不能同时发生”它可表示为ＢＣ或ＡＢＣ．【注】 ①“两个事件的差”可用对立事件来表示，如Ａ－Ｂ＝ＡＢ，Ａ－ＢＣ＝ＡＢＣ．②易犯错误是，误将ＡＢ与ＡＢ等同起来．事实上，ＡＢ＝ＡＢＡＢ．又如ＡＢＣ＝ＡＢＣＣ．③误以为Ｓ＝Ｂ∪Ｃ．如将ＡＢＣ写成Ｂ－ＡＢＣ．事实上，Ｓ－（∪ＢＣ）可能不等，一般地，Ａ∪Ｂ∪ＣＳ．④误将Ｓ成必然事件的概率１．如将事件Ａ，Ｂ，Ｃ中至少有一个发生的对立事件写成１－（Ａ∪Ｂ∪Ｃ）的错误结果．例１．１． 以事件Ａ表示“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件Ａ为 ）Ａ．“甲、乙两种产品均畅销 Ｂ．“甲种产品滞销，乙种产品畅销Ｃ．“甲种产品滞销 Ｄ．“甲种产品滞销，或乙种产品畅销思路点拨 运用事件的的关系及运算，把复合事件分解成基本事件，并用字母表示，然后在运用有关性质进行推演．解因为事件Ａ表示“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，设Ｂ表示“甲种产品畅销”，Ｃ表示“乙种产品畅销”，所以Ａ＝ＢＣ．于是Ａ＝ＢＣ＝Ｂ∪，即Ａ的对立事件表示“甲种产品滞销或乙种产品畅销”应选Ｄ．例１１３在电炉上安装了４个温控器，其显示温度的误差是随机的．在使用过程中，只要有两个温控器的显示温度不低于临界温度ｔ０，电炉就断电．以事件Ｅ表示“电炉断电”，而Ｔ（１）≤Ｔ２）≤Ｔ３）Ｔ４）为４个温控器显示的按递增序列排列的温度值，则事件Ｅ等于 ）Ａ．（Ｔ（１）≥ Ｂ．（Ｔ（２）≥Ｃ．（Ｔ（３）≥ Ｄ．（Ｔ（４）≥解由已知条件，（Ｔ（ｉ）≥ｔ）表示４个温控器中有４－（ｉ－１）个温控器的显示温度不低于临界温度ｔ０，因为只要有两个温控器的显示温度不低于临界温度ｔ０，电炉就断电，即事件Ｅ发生，所以事件Ｅ等价于事件（Ｔ（３）≥ｔ）应选Ｃ．例１．１． 设Ａ，Ｂ为两个随机事件，则（Ｂ（ＡＢ）（Ｂ（Ｂ 思路点 根据事件运算规律进行推演 应填３考试点（ｗｗｗ．ｋａｏｓｈｉｄｉａｎ．ｃｏｍ）名师精品课 ：４００６８８５３６５由（Ｂ（Ｂ＝（∩∪＝∪Ｂ＝（∪Ｂ（Ｂ＝（Ａ∩）∪＝∪Ｂ＝Ｂ，所以（Ｂ（Ｂ（Ｂ（Ｂ＝Ｂ＝例１．１． 设Ａ，Ｂ，Ｃ为三个事件，则（Ａ－Ｂ）∪Ｂ－Ｃ）＝ ）Ａ．Ａ－Ｃ Ｂ．Ａ∪Ｂ－Ｃ） Ｃ．（Ｂ－Ｃ Ｄ．（Ｂ－ＢＣ 应选Ｄ．由（Ａ－Ｂ）∪Ｂ－Ｃ）＝ＡＢ（Ｂ－ＢＣ＝（Ｂ∩ＢＣ）＝（Ｂ∩＝ＡＢＣＢＣ＝ＡＢＣ＝ＡＢＡＢＣＢＣ）∪＝（ＡＢＢＣ）∪ＢＣ∪Ｃ）＝ＡＢ所（Ａ－Ｂ）∪Ｂ－Ｃ）＝（Ｂ－第二 古典概率与几何概—、概率的概概率是随机事件出现的可能性大小，因而是随机事件不确定性的度量概率的统计定义揭示了随机现象的统计规律，即概率是频率的稳定值，在实际应用中可用作概率的近似计算．二、古典概型及概率的确称有以下两个特点的随机试验为古典概型：１．（有限性）试验的可能结果只有有限个；２．（等可能性）各个可能结果出现是等可能的；其事件的概率的计算公式为：Ｐ（Ａ）＝有利于Ａ的样本点数＝样本点总数 三、几何概型及概率的确几何概型是古典概型的推广，即保留等可能性而去掉有限性的限制，即容许试验可能结果有无穷多个．其计算概率的公式为Ｐ（Ａ） ４《概率统计》轻松过其中Ｓ为所有可能试验结果所处的某空间区域，ＳＡ是Ｓ的一个子区域，为事件Ａ的样本点在区Ｓ中的相对位置四、概率的公理化定义及性１．公理化定满足以下三个公理的一个集函数Ｐ（·）称之为概率：公理１（非负性）对每一事件Ａ，０Ａ）１公理２（规范性）Ｐ（Ｓ）＝ 公理３（完全可加性）对任意一列两两互斥事件ＡＡＰ（∪）＝∑Ａｎ）ｎ ｎ２．性（１）Ｐ（）＝（２）Ｐ（Ａ）＝１－Ｐ（Ａ）（３）Ｐ（Ｂ＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（（４）若ＡＢ，则Ｐ（Ｂ－Ａ）＝Ｐ（Ｂ）－Ｐ（Ａ）且Ｐ（Ａ）ＰＢ）（５）若ＡＡ…，Ａｎ是两两互不相容的事件，则Ｐ（Ａ１∪∪…Ａ）＝Ｐ（Ａ１）＋Ｐ（Ａ２）＋…＋Ｐ（Ａｎ）例１．２． 若Ｐ（Ａ）＝０．５，Ｐ（Ｂ）＝０．４，Ｐ（Ａ－Ｂ）＝０．３，求Ｐ（Ｂ和Ｐ（ＡＢ） 由Ｐ（Ａ－Ｂ）＝Ｐ（Ａ－ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）－Ｐ（ＡＢ）那么由已知条件Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）－Ｐ（Ａ－Ｂ）＝０．５－０．３＝０．于Ｐ（Ｂ＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（ＡＢ）＝０．５＋０．４－０．２＝０．Ｐ（Ｂ＝Ｐ（ＡＢ）＝１－Ｐ（ＡＢ）＝１－０．２＝０．例１．２．２设随机事件Ａ，Ｂ及其和事件∪的概率分别是０．４，０．３和０．６．若Ｂ表示Ｂ的对立事件，那么积事件ＡＢ的概率Ｐ（ＡＢ）＝ 应填０．因Ｐ（Ｂ＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（ＡＢ）那么由已知条件Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（/r