理论力学 学习指南

第一章基本概念及基本原理[学习要求]一、熟悉力、力矩、力偶等基本概念及其基本性质，能熟练地计算力的投影、力对点的矩和力对轴地矩。二、熟悉各种常见约束的性质，对单个物体及物体系统，能熟练地取分离体并画出受力图。三、熟悉将工程实际问题抽象成为力学模型的方法，能将简单的工程问题作成计算简图。[内容要点]一、力的概念1.力是物体间的相互机械作用，这种作用使物体的运动状态发生改变，或使物体产生变形。在刚体静力学里，力是滑动矢量。作用于物体的若干个力，总称为力系。2.共点的两个力可以合成为一个合力，合力等于这两个力的矢量和。用矢量方程表示为(1-1)3.一个力可以分解成两个或两个以上的分力。最常用的是将一个力分解成为沿直角坐标轴的分力。即(1-2)其中是沿坐标轴正向的单位矢量，Ｆｘ、Ｆｙ、Ｆｚ分别是力在ｘ、ｙ、ｚ轴上的投影。4.力在任一轴上的投影。设有一轴ξ，沿该轴正向的单位矢量为ｎ，则力Ｆ在ξ轴上的投影为＝Ｆ·ｎ。(1-3)又设ｎ在坐标系Oxy中的方向余弦为、、，则(1-4)二、力矩与力偶力对一点的矩在空间力系问题里，力对一点的矩应作为矢量。力Ｆ对Ｏ点的矩用矢积Ｍo（Ｆ）=ｒ×Ｆ来表示，即(1-5)就是说，一个力对于任一点的矩等于该力作用点对于矩心的矢径与该力的矢积。

如过矩心Ｏ取直角坐标系oｘｙｚ，并设力Ｆ的作用点Ａ的坐标为（ｘ，ｙ，ｚ），如图1－1，则式（1－5）可表示为(1-6)或者用行列式表示为(1-7)图1－1力对一点的矩的矢积表示对于平面力系问题，取各力所在平面为ｘｙ面，则任一力的作用点坐标ｚ＝０，力在ｚ轴上的投影Fz＝０，于是公式（1－6）及（1－7）退化成为只与ｋ相关的一项。这时，将Ｆ对Ｏ点的矩作为代数量，就得到(1-8)2.力对一轴的矩一个力对于某一轴的矩等于这个力在垂直于该轴的平面上的投影对于该轴与该平面的交点的矩。于是得到，在下面两种情况下力对于一轴的矩等于零：力与矩轴平行。力与矩轴相交。这两种情况，也可以用一个条件来表示：力与矩轴在同一平面内。力对一轴的矩也可以用力在直角坐标轴上的投影及其作用点的坐标来计算,有

(1-9)3.力对点的矩与对轴的矩的关系一个力对于一点的矩在经过该点的任一轴上的投影等于该力对于该轴的矩。设有通过坐标原点Ｏ的任一轴ξ，沿该轴的单位矢量ｎ在坐标系oxyz中的方向余弦为、、，则(1-10)4.力偶的性质力学上把大小相等、方向相反、作用线不同的两个力作为一个整体来考虑，称为力偶。力偶具有以下性质：(1)力偶没有合力，即不能用一个力代替，因而也不能和一个力平衡。(2)力偶对于任一点的矩就等于力偶矩，而与矩心的位置无关。(3)力偶矩相等的两力偶等效。据此，又可得到以下推论：（a）只要力偶矩保持不变，力偶可在其作用面内及彼此平行的平面内任意搬动而不改变其对物体的效应。（b）只要力偶矩保持不变，可将力偶的力和臂作相应的改变而不致改变其对物体的效应。力偶矩是自由矢量。三、约束与约束反力阻碍物体运动的周围物体称为约束。确定约束力方向的原则是：约束力的方向总是与约束所能阻止的运动方向相反。1.柔索柔索给予所系物体的约束力作用于接触点，方向沿柔索中心线而背离物体。2.光滑接触面光滑接触面的约束力通过接触点，沿接触面在该点的公法线，并为压力（指向物体内部）。3.固定铰支座固定铰支座的约束力在垂直于销钉轴线的平面内，通过销钉中心，方向不定。通常用两个互相垂直的力表示。4.铰连接铰连接处的约束力通常表示为两个互相垂直的力。5.活动铰支座或辊轴支座辊轴支座的约束力通过销钉中心，垂直于支承面，指向不定(即可能是压力或拉力)。6.连杆连杆的约束力沿着连杆中心线，但指向不定。7.滑移支座滑移支座的约束力可表示为垂直于支承面方向的一个力和一个力偶。8.球铰支座球铰支座的约束力通过球心，可取空间任何方向，可用三个相互垂直的分力来表示。9.径向轴承其约束力可用垂直于轴线的两个相互垂直的分力表示。10.止推轴承与径向轴承相比，其约束力增加了沿轴线方向的分力。11.固定支座或固定端平面固定支座的约束力为一个方向未定的力和一个力偶。空间固定支座的约束力为空间内一个方向未定的力和方向未定的力偶矩矢。12.固定连接固定连接对杆端的约束力和固定支座的约束力相同。四、计算简图和示力图1.根据要求将工程上的结构物或机械适当简化，以抽象成为合理的力学模型，将这力学模型用图形表示出来，所得图形就叫做计算简图。2.将一个实际问题抽象成为力学模型并做成计算简图时，一般须从三方面加以简化：构件尺寸、荷载(力)和约束。3.将所要考察的物体单独取出来，并画上别的物体作用于它的力(包括主动力和约束力)，这样构成的图形称为示力图或受力图。[复习讨论题]1–1多跨梁如图1–1（a）所示。D、E为铰链，在D铰链上作用一铅直垂向下的集中力F1，K处作用一水平向右的集中力F2，梁上LK段作用着集中度为q的分布荷载。AH=HD=CK=EK=LE=LD=a。不计各构件的自重。试绘制整体及各构件的受力图。 解思路：在作受力分析时，首先要观察清楚结构中的各种约束。本题中有三种约束，它们是：固定铰支座A、C，圆柱铰链D、E，和可动铰支座B。严格按照约束的类型解除约束，画出相应的约束反力。 (1)选取整体为研究对象，解除A、B、C三处的约束，注意AC两处为固定铰支座，其约束反力可以用两个正交分力表示，而B处为一可动铰支座，只能提供一个铅直方向的约束反力。受力分析结果如图1–1（b）所示；(2)解除D、E两处的铰链约束，将整体拆分为三个研究对象，AD、DBE、ECK。并将D铰链中的销钉带在DBE上，因此集中力F1就作用在DBE上，分布荷载随着结构从E处拆开也分为两部分，它们分别作用在DBE的LE段和ECK的EK段。应特别注意到：D、E处的圆柱铰链的约束反力在不同的研究对象上画出时，它们的方向要满足作用与反作用定律。受力分析结果如图1–1（c）、（d）、（e）所示。图1–11–2图1–2（a）所示构架由三根杆子和一个滑轮铰接而成。今在AB杆的下端B作用一水平力F，跨过滑轮的绳索上挂一重量为G的物块。不计摩擦及各构件的自重，试绘制整体及各构件的受力图。图1–21–3平面承重结构如图1–3所示。不计各构件的自重，试绘制出每一构件及整体的受力图。1–4平面结构如图1–4所示，不计各构件的自重，试绘制出各构件及整体的受力图。 图1–3 图1–41–5画出图1–5示各题中各构件及整体的受力图，销钉A（销钉A穿透各构件）的受力图。未画重力的物体的重量不计，（d）图中B、D处为光滑接触。图1–5第二章力系的简化[学习要求]一、熟悉力系的分类及各种力系的特点。二、熟悉力的平移定理，掌握共平面的力与力偶的合成方法。三、掌握各种类型力系的简化方法，熟悉简化结果；能熟练地计算力系的主矢量和主矩。四、熟悉重心和形心的概念，掌握计算物体重心和形心的各种方法。五、熟悉平行分布力简化得出的结论，掌握简单的平行分布力的简化方法。[内容要点]一、力的平移定理：作用在刚体上的力，可以等效地平移到刚体上任一指定点，但必须同时在该力与指定点所确定的平面内附加一个力偶，该附加力偶的力偶矩等于原力对指定点的力矩。力的平移定理是力系简化的基础。二、根据力的平移定理的逆过程可知，共面的一个力和一个力偶总可以合成为一个力，此力的大小和方向与原力相同，但它的作用线却要相距一定的距离。三、汇交力系的简化1.汇交力系合成的结果是一个合力，它等于原力系各力的矢量和，合力作用线通过力系汇交点。以表示汇交力系的合力，则（2－1）2.汇交力系合成的解析计算取直角坐标系，各力用解析式表示为代入（2－２）式可得单位矢量ｉ，ｊ,ｋ前面的系数就是合力在三个坐标轴上的投影，于是得到(2-2)(2-3)四、力偶系的简化1．力偶系合成的结果是一个合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的矢量和。即(2-4)力偶系合成的解析计算取直角坐标系，则有其中、、及、、分别是及在、、轴上的投影。于是得到（2-5）而合力偶的大小及方向余弦为(2-6)五、任意力系的简化１.空间任意力系向一点简化空间任意力系向一点（简化中心）简化的结果一般是一个力和一个力偶，这个力作用于简化中心，等于原力系中所有各力的矢量和，称为原力系的主矢量；这个力偶的矩等于原力系中所有各力对于简化中心的矩的矢量和，称为原力系对于简化中心的主矩。即有(2–7)(2－8)由式(2–7)、(2－8)可见，一个力系的主矢量是一常量，与简化中心位置无关；而力系对于简化中心的主矩一般随简化中心位置的不同而改变。对于不同的两个简化中心及，力系对于它们的主矩之间存在如下的关系：(2－11)其中及分别是力系对于及的主矩，是由引向的矢径，而是作用于的力对于的矩。2．空间任意力系主矢量和主矩的解析计算过简化中心取直角坐标系，得到(2-12)而的大小及方向余弦为(2–13)（2－14）主矩Ｍo的大小及方向余弦为(2–15)3．平面任意力系的简化平面任意力系向一点简化得到的主矢量和主矩，由下式计算：(2–16)位于平面内，即原力系所在的平面内，而垂直于该平面，与互相垂直。对平面任意力系问题，力系的主矩可用代数式计算：(2–17)4．任意力系简化结果讨论空间任意力系向一点简化，得到的一般结果是一个力和一个力偶。但这并不是最后的或最简单的结果，还须区别几种可能的情形，作进一步的探讨。图2－１８共面的一个力和一个力偶（１）若＝０，≠０，则原力系简化为一个力偶，力偶矩等于原力系对于简化中心的主矩。在这种情况下，主矩（即力偶矩）将不因简化中心位置的不同而改变。（２）若≠０，≠０，而⊥，表明所代表的力偶与在同一平面内，于是可进一步简化为作用于Ｏ′点的一个合力，如图2－１８所示。对于空间平行力系、平面任意力系和平面平行力系，当和都不等于零时，总是垂直于，所以必能简化成为一个合力。（３）若≠０，≠０，且与不相垂直，如图2－19（ａ），则可用下述方法进一步简化。将分解成垂直于的和平行于的。因所代表的力偶与力位于同一平面（⊥）内，可合成为作用于在平面内的另一点Ｏ′的一个力。再将平移到Ｏ′与重合，如图2－19(ｂ)。这时，所代表的力偶位于与垂直的平面内，成为如图2－19(ｃ)所示的情况。这样的一个力和一个力偶称为力螺旋，而且，在与力作用线相重合的直线上的所有各点，主矢量和主矩都是和。直线称为原力系的中心轴。如与同方向，如图2－１９(ｂ)，则称为右手螺旋；如与方向相反，则称为左手螺旋。图2－１９力螺旋

六、空间任意力系的合力矩定理若空间任意力系可简化成为一个合力，则合力对任一点（或轴）的矩等于原力系各力对同一点（或轴）的矩的矢量和（或代数和）。这一结论称为合力矩定理。七、重心和形心1.重心由式(2-18)确定的一点C称为物体的重心，即(2-18)将上式两边投影到ｘ、ｙ、ｚ轴上，得(2–19)其中，，及，，分别是及重心Ｃ的位置坐标。2．形心如果物体是均质的，由式(2-19)可得(2-20)或(2-21)显然，均质物体的重心就是几何形体的中心，即形心。3.确定物体重心的方法(1).简单几何形体凡具有对称面、对称轴或对称中心的均质物体（或几何形体），其重心(或形心)必定在对称面、对称轴或对称中心上。(2).组合形体较复杂的形体，往往可以看作几个简单形体的组合,而简单形体的重心是已知的，那么整个物体的重心即可由式(2-19)求出。如果一个复杂的形体不能分成简单形体，则可用负面积法或实验方法求其重心（或形心）。八、平行分布力的简化1.沿平面曲线(或直线)分布的平行分布力的合力的大小等于荷载图的面积，合力通过荷载图面积的形心。2.平行分布的面力的合力的大小等于荷载图的体积，合力通过荷载图体积的形心。[复习讨论题]2–1力F沿长方体的对顶线AB作用如图2–1（a）所示。试求该力对EC轴及CD轴之矩。已知：F=1kN，a=18cm，b=c=10cm。解思路：在空间力系情况下，计算力对轴之矩的方法较多，应针对具体问题选用。 解法一利用力对点之矩与力对轴之矩的关系定理来计算。由于CD轴和CE轴均过C点，因此可以先计算力对C点之矩，再将其分别向CD轴和CE轴投影来求解。先将力F分解为沿坐标轴的三个分力如图2–1（b）所示，其中有代入数据可计算出计算力对过C点的三根正交轴之矩，因为有所以力对C点之矩为根据力对点之矩与力对轴之矩的关系定理有 解法二由力对轴之矩的定义计算。（略）第三章力系的平衡[学习要求]一、熟悉各种力系的平衡条件；熟悉静定与超静定的概念，能区分简单的静定和超静定问题。二、能应用各种类型力系的平衡条件和平衡方程求解单个物体和简单物体系统的平衡问题。对平面任意力系的平衡问题，能熟练地选取分离体和应用各种形式的平衡方程求解。[内容要点]一、汇交力系的平衡汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系的合力等于零，即＝０，亦即（3-1）上式等价于以下三个代数方程：∑＝０，∑＝０，∑＝０（3－２）即力系中各力在、、三轴中的每一轴上的投影之代数和均等于零。这三个方程称为汇交力系的平衡方程。若不平行的三个力成平衡，则三力作用线必汇交于一点。这就是所谓的三力平衡定理。二、力偶系的平衡空间力偶系平衡的必要与充分条件是：合力偶矩等于零，即力偶系中所有力偶矩的矢量和等于零，亦即（3-3）将这条件表示为代数方程，得∑＝０，∑＝０，∑＝０（3－4）即力偶系中各力偶矩在、、三轴中的每一轴上的投影的代数和均等于零。对于平面力偶系，取力偶所在平面为平面，则≡０，≡０，≡，而方程（3－５）退化为（3－5） 三、任意力系的平衡1.空间任意力系的平衡空间任意力系成平衡的必要与充分条件是力系的主矢量与力系对于任一点的主矩都等于零，即＝０，＝０（3－6）上述条件可用代数方程表为（3－7）这六个方程就是空间任意力系的平衡方程。它们表示：力系中所有的力在三个直角坐标轴中的每一轴上的投影的代数和等于零，所有的力对于每一轴的矩的代数和等于零。对于空间平行力系，令轴平行于各力，则∑≡０，∑≡０，∑≡０。因而空间平行力系的平衡方程成为，＝０，＝０（3－8）还须说明，方程（3－7）虽然是由直角坐标系导出的，但在解答具体问题时，不一定使三个投影轴或矩轴相互垂直，也没有必要使矩轴和投影轴重合，而可以分别选取适宜轴线为投影轴或矩轴，使每一平衡方程中包含的未知数量最少，以简化计算。此外，有时为了方便，也可减少平衡方程中的投影方程，而增加力矩方程。如取二个投影方程和四个力矩方程(四力矩形式)，或取一个投影方程和五个力矩方程(五力矩形式)，或全部取六个力矩方程(六力矩形式)，而(3－7)式称为平衡方程的基本形式。不管采用何种平衡方程的形式，最多只能有六个独立的平衡方程且与空间任意力系平衡的充分与必要条件等价。2.平面任意力系的平衡平面任意力系平衡的充分与必要条件也是力系的主矢量和力系对任一点的主矩都等于零，即＝０，＝０设力系所在平面为Oｘｙ坐标面，则平衡方程为（3－9）即力系中各力在两个直角坐标轴中的每一轴上的投影的代数和都等于零，所有各力对于任一点的矩的代数和等于零。方程（3－9）称为平面任意力系的平衡方程，其中前两个称为投影方程，后一个称为力矩方程。这一组方程虽然是根据直角坐标系导出来的，但在写投影方程时，可以任取两个不相平行的轴作为投影轴，而不一定要使两轴互相垂直，写力矩方程时，矩心也可以任意选取，而不一定取在两投影轴的交点。方程（3－9）是平面任意力系平衡方程的基本形式，除了这种形式外，同样还可将平衡方程表示为二力矩形式或三力矩形式。四、静定与超静定问题物体系统的平衡问题1.静定与超静定问题如果所考察的问题的未知力数目恰好等于独立平衡方程的数目，那些未知数就可全部由平衡方程求得，这类问题称为静定问题；如果所考察的问题的未知力的数目多于独立平衡方程的数目，仅仅用平衡方程就不能完全求得那些未知力，这类问题称为超静定问题或静不定问题。物体系统的平衡对于平面力系问题而言，根据一个物体的平衡，一般可以写出三个独立的平衡方程。如果该系统共有ｎ个物体，则共有３ｎ个独立的平衡方程，可以求解３ｎ个未知数。在解答物体系统的平衡问题时，也可将整个系统或其中某几个物体的结合作为考察对象，以建立平衡方程。但是，对于一个受平面任意力系作用的物体系统来说，不论是就整个系统或其中几个物体的组合或个别物体写出的平衡方程，总共只有３ｎ个是独立的。因为，作用于系统的力满足３ｎ个平衡方程之后，整个系统或其中的任何一部分必成平衡，因而，多余的方程只是系统成为平衡的必然结果，而不再是独立的方程。至于究竟以整个系统或其中的一部分作为考察对象，则应根据具体问题决定，总以平衡方程中包含的未知数最少，便于求解为原则。需要注意的是，此３ｎ个独立平衡方程是就每一个物体所受的力都是平面任意力系的情况得出的结论，如果某一物体所受的力是平面汇交力系或平面平行力系，则平衡方程的数目也将相应减少；如受的力是空间力系，则平衡方程的数目要增加。[复习讨论题]3–1已知：P、l、R，各杆与滑轮自重不计；求固定端A处的约束反力。解分析取整体为研究对象，其受力图如图3–1（a）所示，共有五个未知约束反力，由整体看，一个未知力也不能求出，但注意到BC为二力杆，若BC杆给AB杆的力已知，则由AB杆可求出A处三个约束反力。而对CD杆（带着滑轮），受力图如图3–1（b）所示，共有三个未知反力，由ΣMD=0，可求出FCB。由AB杆的受力图3–1（c），可求出A处三个约束反力。这样，解题思路就已确定。取CD杆（带着滑轮），其受力图如图3–1（b）所示，由得 取AB杆，其受力图如图3–1（c）所示，由图3–1得 由 得 分析对此题，利用3–1（b）求出FDx、FDy，然后由图3–1（a）求出A处约束反力，工作量也不比上述解法增加许多。 对此题，先由整体，一个未知力也求不出，考虑到二力杆，先利用局部取得突破，从而求出了A处的约束反力。 注意在解题时，要注意二力杆（构件）的判断，若系统中存在二力杆（构件）并能准确迅速判断出来，将给解题带来方便。3–2均质直角三棱柱ABCDEF重F=1500N，∠ABE=30º，在BCEF平面作用一力偶，其力偶矩M=500N·m，由六根无重杆以球铰链连接，如图3–2所示，a=1，求每根杆受力。解取三棱柱为研究对象，其受力图如图3–2（b）所示。图3–2分析这是一个空间任意力系问题，可以列出六个方程求解六个未知力。若在图示坐标系下按常规列基本式平衡方程，则需解较复杂的联立方程，读者可以一试。但对此题，利用投影方程也好，取矩方程也好，可以列出六个比较简单的一元一次方程分别求出六个未知力。如，若考虑所有力在y轴投影，则只有力F6在此轴有投影，可得F6=0；所有力对z轴取矩可求F4；所有力对n1轴取矩可求F5；所有力对n2轴取矩可求F3；在求得F5的前提下，所有力对n3轴取矩可求F1；在求得F4的前提下，所有力对x轴取矩可求F2；这样，用六个一元一次方程而求得六个未知力，从而避开解联立方程，由此，解题思路已经确定。对图3–2（b），由得 F6=0由 得 （压）由 得 （拉）由 得 （压）由 得 （压）由 得 （压）技巧当在空间问题中遇到力偶时，若对轴的矩容易计算，则不一定用矢量表示，但当对轴的矩难以确定时，则应把力偶矩以矢量表示，然后考虑其在轴上的投影。3–3如图所示构架，A、B、C处均为铰链连接，构件自重不计，在AB构件上作用一矩为M的力偶，求A、C处的约束反力。若将此力偶移至BC构件上，再求A、C处的约束反力。在此情况下，力偶能否在其作用面内任意移转？力偶对任意点取矩是否还等于力偶矩？3–4由不计自重的杆AB、CD、CE、BF铰接而成的构架上，有一铅垂力P作用，求支座A与D处的约束反力。 图3–3 图3–43–5不计图示各构件的自重，尺寸a及矩为M的力偶已知，求支座A处的约束反力。图3–53–6不计图示各构件的自重，求支座A和铰链E处的约束反力。3–7不计图示各构件的自重，求支座A、C处的约束反力。 图3–6 图3–73–8平面构架由AB、BC、CD三杆用铰链B、C连接，其他支承及载荷如图4–4（a）所示。力G作用在CD杆的中点E。已知G=8kN，q=4kN/m，a=1m，各杆自重不计。试求支座A处的约束反力。3–9平面构架如图所示。A、C、D、E处均为铰链连接，BD杆上的销钉B置于AC杆的光滑槽内，力F=200N，力偶M=100N·m，不计各构件重量，AB=BC=0.8m，求A、B、C处所受的力。 图3–8 图3–93–10平面机构如图所示，已知：OA=b，，3CE=d，弧形滑道半径R=b，直角曲杆上作用一力偶M，弧形滑道的D端作用一水平力F。不计摩擦及各构件的自重，试求当AB恰好通过滑道圆心时（图示位置），若要使系统平衡，力F与M力偶之间的关系，以及E、K两轴承处的约束反力。图3–103–11一开有圆孔的方形薄板如图所示。已知：方板的边长为a=40cm，b=15cm，圆孔的半径R=10cm，板重量为G=100N，A为一球形铰链，B为一蝶形铰链。CD为柔软的细绳，θ=30º。薄板位于水平面内，试求平衡时作用在A、B铰链和绳上的力。图3–113–12图3–12（a）所示为水轮机涡轮转动轴结构。已知大锥齿轮D上受的啮合反力可分解为：圆周力Ft、轴向力Fa、径向力Fr；且有比例关系：Ft:Fa:Fr=1:0.32:0.17；转动所需扭矩Mz=1.2kN·m。转动轴及附件的总重为G=12kN；锥齿轮的平均半径为DE=r=0.6m，其余尺寸如图。试求两轴处的约束反力。图3–12第四章静力学应用专题[学习要求]一、熟悉桁架结构的受力特点，能用结点法、截面法计算杆件的内力。二、熟悉桁架结构中零杆的判别方法。三、理解滑动摩擦的概念和摩擦力的特征，掌握摩擦力变化规律和求解有摩擦的平衡问题。四、能求解考虑滑动摩擦时简单的物体系统平衡问题。五、了解滚动摩擦的概念。[内容要点]一、桁架1.桁架结构的基本假设：（１）杆端用光滑铰连接，铰的中心就是结点的位置，各杆的轴线都通过结点。（２）所有外力（包括荷载和支座反力）都集中作用于结点。如需计算杆件自重，亦将杆件自重平均分配到两端结点上。对于平面桁架，还假设所有荷载都在各杆轴线所在的平面内。

2.桁架内力分析的结点法结点法就是假想将某一结点周围的杆件截断，取该结点（包括被截断的杆件）作为考察对象。该部分在外力和被割断的那些杆件的内力作用下保持平衡。那些外力和杆件内力组成一平衡的汇交力系（对于平面桁架，为平面汇交力系；对于空间桁架，为空间汇交力系），由平衡条件可以求出未知的杆件内力。对桁架的所有结点逐个进行考察，便可求得所有杆件的内力。3.根据观察判定零杆判断平面桁架零杆的准则是：（1）如果某一结点有三根杆件相交，其中两根在一直线上，且该结点不受外力作用，则第三根杆件（不必一定与另两根杆件垂直）必为零杆。(2)如一结点只有两根不共线的杆件，又别无外力，该两杆件必然都是零杆。判断空间桁架零杆的准则是：(1)汇交于一节点的各杆中，除某一杆外，其余各杆都在同一平面内，且该节点不受外力，或者外力也与其余各杆共面，则不共面的那一直杆必为零杆。(2)如果一节点只有不共面的三根杆件，又别无外力，该三杆都是零杆。4.平面桁架内力分析的截面法截面法是用适宜的截面，假想将桁架的某些杆件截断，取出桁架的一部分(包含两个及两个以上结点)作为考察对象。取出的这一部分在外力和被截断的杆件的内力作用下保持平衡。这些力组成一平衡的任意力系，故可利用任意力系的平衡方程，求解被截断的杆件中的未知内力。因为平面任意力系只有三个独立的平衡方程，所以对平面桁架被割断的杆件的未知内力一般不应超过三个。摩擦及有摩擦的平衡问题1.当两物体接触处沿着接触点的公切面有相对滑动或有相对滑动趋势时，在接触处的公切面内彼此作用着阻碍相对滑动的力，称为滑动摩擦力，简称摩擦力。由于摩擦力阻碍两物体相对滑动，所以它的方向必与物体相对滑动方向或相对滑动趋势的方向相反。2.静摩擦力的大小，由平衡条件决定，但必介于零与极限摩擦力的大小之间，如以表示极限摩擦力的大小，则静摩擦力的大小的变化范围为０≤≤3.库伦摩擦定律极限摩擦力的大小与接触面之间的法向反力成正比，即＝（４－１）式中比例常数的量纲为1，称为静摩擦因数。4.物体间有相对滑动时的摩擦力称为动摩擦力。动摩擦力与法向反力也有与式（４－１）相同的近似关系。如以′代表动摩擦力′的大小，则有′＝(４－2)其中ｆ也是一个无量纲的比例常数，称为动摩擦因数。5.摩擦角当摩擦力达到极限摩擦力时，全约束反力与所成的角称为静摩擦角，简称摩擦角。根据式（４－１）有(４－3)即摩擦角的正切等于静摩擦因数。6.摩擦锥若通过接触点在不同的方向作出在极限摩擦情况下的全约束反力的作用线，则这些直线将形成一个锥面，称摩擦锥。如沿接触面的各个方向的摩擦因数都相同，则摩擦锥是一个顶角为2的圆锥。因为全约束反力与接触面法线所成的角不会大于，也就是说作用线不可能超出摩擦锥，所以物体所受的主动力的合力的作用线必须在摩擦锥内，物体才不致滑动；而只要的作用线在摩擦锥内，则不论多大，物体总能保持静止，这种现象称为“自锁”。[复习讨论题]4-1利用对称性计算图示桁架支座A、B的反力。图4–1解计算RA、RB时可将荷载分为对称和反对称两组，分别作用，并利用对称性计算，得：RA=R'A+R''A=–P/3，RB=R'B+R''B=P。4–2轮子A、B分别置于光滑斜面上，如图4–2（a）所示，两轮的中心用铰链与一直杆连接。设轮A重量为G，B轮重量为P，杆重略去不计，斜面的倾角分别为α与β，且α+β=90º。求平衡时，杆与水平线的交角θ。解思路：求解平衡问题时，首先应明确地选取研究对象。本题有两种不同的研究对象可供选择，即：①选取整体，其受力分析如图4–2（b）所示；②分别选取A轮和B轮及AB杆其受力分析如图4–2（c）和图4–2（d）所示。图4–2（b）的受力分析结果给出了一个平面一般力系，其平衡条件将在第四章中讨论。现在只能分别取A轮、B轮及AB杆为研究对象，未知数的总数为4个，独立的平衡方程的总数也为4个，因此，可分别应用平面汇交力系的平衡条件求解。因为杆AB为二力杆，所以在图4–2（c）中有FAB=FBA。分别选取A轮和B轮为研究对象，受力分析如图4–2（c）所示。建立坐标系Oxy如图，列平衡方程如下 A轮ⓐ ⓑB轮 ⓒ ⓓ图4–2由式ⓐ、ⓑ得式ⓔ，由式ⓒ、ⓓ得式ⓕ ⓔ ⓕ因为FAB=FBA，由式ⓔ、ⓕ可得化简后可得4–3一个重量为G=196N的圆盘静置在斜面上，如图4–3（a）所示。圆盘与斜面间的摩擦系数为0.2，杆重及滚动摩阻不计。R=20cm，e=100cm，a=40cm，b=60cm。求作用在曲杆AB上而不致引起圆盘在C处发生滑动的最大铅垂力F。解思路：首先需要判断圆盘上C处在临界状态下的滑动趋势，从而确定其滑动摩擦力的方向。因为当力F足够大时，圆盘的A点将向下运动，所以圆盘上的C点将沿斜面向上滑动。从而可以断定斜面作用于C点的摩擦力向下。首先选取圆盘为研究对象，受力分析如图4–3（b）所示，建立坐标系如图，考虑到C处的滑动摩擦力达到临界值，列平衡方程图4–3补充方程 解方程得 再选取曲杆AB为研究对象，受力分析如图（c）所示，列平衡方程解得 4–4在图4-4（a）所示的结构中，A物块重量为P=500N，轮轴B重量为G=1000N。物块A与轮轴的轴以水平绳连接。在轮上绕以细绳，此绳跨过一光滑的滑轮D在其端点上系一重物C。重物A与水平面间的摩擦系数为0.5，而轮与水平面间的摩擦系数为0.2（不计滚阻）。R=2r=5cm。求使物体系统平衡时重物C的最大重量G1。图4–4解思路：首先物体系统是处在平衡状态，其次可由题意判断物体A有向左滑动趋势，并且处于临界平衡状态。轮B在E处的滑动趋势不清楚，该处滑动摩擦力的大小与方向应由平衡条件来决定。以物体A为研究对象，受力分析如4-4（c）所示，并选取直角坐标如图。列平衡方程，并考虑到物体A 处于临界平衡状态补充条件 解得再选取轮B为研究对象，受力分析如图4-4（b）所示，列平衡方程解得因为轮B在E处受到的滑动摩擦力的最大值为所以有 FE<FEmax又因为G1=FC所以，使物体系统平衡时物块C的最大重量为208.3N。4–5图示系统，物块A重P1=100N，均质轮B重P2=300N，R=0.2m，AB杆自重不计，轮与水平面间的静滑动摩擦系数fS=0.4，滚动摩阻不计，斜面光滑，θ=60º，为使系统在图示位置（β=30º）平衡，在轮B上应作用矩为多大的力偶M？此时轮与水平面间的滑动摩擦力为多大？4–6重为P1、P2的两物体A、B叠放在一起，置于光滑水平面上，两物块间的静滑动摩擦系数为fS，物块A用水平绳栓在直杆CD的E点，物块B用绕过滑轮的水平细绳栓在CD杆的G点，各杆、滑轮、绳重均不计，尺寸如图。求使物块A、B产生的相对滑动的铅直力F的大小。 图4–5 图4–6第五章点的运动【学习要求】1.掌握点的运动的有关概念，如位移、速度与加速度等。2.掌握点的运动分析的三种基本方法，即：失量法、直角坐标法、自然坐标法。3．能用合适的方法描述点的运动，并根据运动方程能熟练地计算点的速度及加速度。4．根据点的速度及加速度，以及运动的初始条件，能求出点的运动方程。5．根据不同方法表示的各运动量之间的关系，能由描述点运动的某种方法转换到另一种方法。【内容要点】本章主要研究点相对某一参考系的运动规律，包括点的运动方程、运动轨迹、位移、速度、加速度，以及它们之间的关系。研究点的运动通常有以下几种方法：矢量表示法选取参考系上某一确定点Ｏ为坐标原点，由Ｏ向动点Ｍ作矢量，称为动点对于原点Ｏ的位置矢或矢径。当动点Ｍ运动时，矢径ｒ是时间的单值连续函数，即运动方程（5-1）速度==（5-2）加速度==（5-3）在国际单位制中，位置矢的单位是米（m），速度的单位是米每秒（ｍ／ｓ），加速度的单位是米每秒２（ｍ／ｓ２）。二、直角坐标表示法选取一直角坐标系，动点Ｍ的位置不仅可用它相对于坐标原点Ｏ的矢径ｒ表示，还可用它的三个直角坐标ｘ，ｙ，ｚ来确定:运动方程x=f(t),y=f(t),z=f(t)（5-4）消去ｔ，可得到点的轨迹方程，如Ｆ(x,y)＝０，Ｆ(x,y)＝０速度==i+j+k（5-5）速度的大小和方向余弦分别=加速度a===（5-6）加速度的大小和方向余弦分别为=三、自然坐标表示法如果点的运动轨迹已知，则点沿轨迹的运动规律可用弧坐标s表示。运动方程为（5-7）速度（5-8）加速度===（5-9）式中和n分别为运动轨迹在点M处的切向和法向单位矢量,为轨迹的曲率半径。式中的第一分量称为切向加速度，为速度大小的变化率；第二分量称为法向加速度，为速度方向的变化率，二者在与方向的投影分别为：，加速度的大小和方向可由下式决定:可见，建立点的运动方程的关键，是选择合适的方法，建立相应的坐标系，并将点置于一般位置，再根据问题的约束条件建立运动方程。矢量法运算简捷，推导理论时常用；点的运动轨迹未知时，运用直角坐标法比较简便；点的运动轨迹已知时，常用自然坐标法。消去点的运动方程中的参变量，即得到点的轨迹方程。将运动方程对时间求导后，得到速度和加速度的表达式，它们表明点的速度和加速度随时间的变化规律。点的运动问题，一般有以下三类：已知点的运动方程，求速度、加速度等。在运动方程建立后，这类问题可通过求导运算得到速度和加速度等植。已知点的速度或加速度变化规律，求点的运动方程。这类问题可通过积分运算求得运动方程，积分常数由运动初始条件确定。给出用直角坐标表示的点的运动方程，求点沿轨迹的运动方程，点的切向加速度、法向加速度，全加速度及曲率半径等。这类问题表明，可用不同方法描述同一点的运动。【复习讨论题】5-1飞机M在高度h以速度v沿着一条直线飞行轨迹飞过一个雷达站R。在图示地面上的坐标系中，飞行轨迹水平面Rxy上的投影用方程y=ax+b表示。若当t=0时飞机恰好飞过y轴，请给出其矢径r(t)。为了把雷达天线对准飞机，角度-时间函数和应该如何表示？题5-1图题5-2图5-2在椭圆规尺BC上固连一半径为的半圆盘，圆心重合于BC的中点A，如图所示。已知曲柄OA=，并以的规律转动，其中k为常量。试求圆盘边缘上任一点的运动方程、轨迹方程。5-3点的运动方程为x=3t,y=4t–3t2求时点的速度和加速度的夹角。5-4点M运动的轨迹如图所示，OA段为直线，AB和BC段分别为四分之一圆周，已知运动方程S=30t+5t2(m)求t=0,1,2秒时点M的加速度。题5-4图5-5点在平面xy内作曲线运动，已知某瞬时vx=4m/s，vy=4m/s，ax=2m/s2，ay=0。求点在此位置轨迹的曲率半径。刚体的基本运动【学习要求】熟悉刚体平动、定轴转动的运动特征，能正确、熟练地判断刚体的基本运动形式。掌握转动方程，角速度和角加速度的概念。能熟练计算刚体的角速度和角加速度、能熟练刚体上任一点的速度和加速度。【内容要点】一、刚体的平行移动刚体运动时，如其上任一直线始终保持与其初始位置平行，则这种运动称为平行移动，简称为平动或平移。刚体的平动又分为直线平动和曲线平动两种。刚体的平动是极易判断的。只要通过对该刚体上若干特殊点（例如它与其它构件的两个连接点）的运动分析，就可确定刚体的运动形式，如果有两点的轨迹曲线完全相同，该刚体即作平移；如果有两点的轨迹不相同，一般而言，这一刚体作其它形式的运动。平动的特点是：体内各点的轨迹的形状相同；在同一瞬时，各点具有相同的速度和加速度。因此，只要求得刚体上任意点的运动，就可得知其他各点的运动，也就得知了整个刚体的运动。因此，刚体平动的问题可以归结为点的运动问题来研究。圆弧形的曲线平动问题，常应用自然坐标法分析运动；作直线或其它曲线平动的问题，一般采用直角坐标法分析运动。二、刚体的定轴转动刚体运动时，若其上（或其扩展部分）有一条直线始终保持不动，则称这种运动为定轴转动。这条固定的直线称为转轴。轴线上各点的速度和加速度均恒为零，其它各点均围绕轴线作圆周运动。1．刚体的转动方程、角速度和角加速度如果有一刚体相对于参考体绕固定轴转动，如图2-1。过固定轴作一固定平面，再选一与刚体固连的平面。平面在任一瞬时的位置可由它与固定平面的夹角来确定，角称为位置角或转角,以弧度（rad）计。由于刚体上各点相对于平面的位置是一定的，因此，只要知道平面P的位置也就知道刚体上各点的位置，亦即知道整个刚体的位置。于是，转角随时间t的变化描述了刚体的运动，由此得到刚体定轴转动的运动方程为：图6-1（6-1）刚体的角速度ω与角加速度分别为：（6-2）＝（6-3）角速度的单位是弧度每秒（rad/s），角加速度的单位是弧度每秒２（rad/）。转角（或角位移）、角速度与角加速度都是描述刚体整体运动的物理量。上式中，角速度与角加速度均为代数量。当规定转角以逆时针方向为正时，与均应以增加的方向为正，即均按逆时针方向为正，相反则为负。若与同号，则刚体加速转动；若异号，则刚体减速转动。2．转动刚体内各点的速度、加速度图6-2当刚体作定轴转动时，体内各点都在垂直于转动轴的平面内作圆周运动，圆心就在转动轴上。在图6-1所示的转动刚体的平面内任取一点来考察。设点到转动轴的距离为，则其轨迹是半径为的一个圆，如图6-2(ａ)所示。取固定平面与该圆的交点′为弧坐标的原点。可见点的弧坐标与位置角有如下的关系（6-4）刚体上点M作圆周运动的速度与加速度（包括切向与法向分量）的大小为 ＝＝（6-5）（6-6）（6-7）点的总加速度的大小为（6-8）用表示与（即）之间的夹角，则＝（6-9）这表明，刚体定轴转动时，在同一瞬时，其上各点的速度和加速度大小与点到转轴的距离成正比，刚体内所有各点的总加速度与其法向加速度的夹角相同。3．角速度和角加速度的矢量表示与点的速度和加速度矢积表示

图6-3设转轴的单位矢为，则刚体角速度与角加速度度可以分别表示为矢量和，称为角速度矢和角加速度矢（6-10）（6-11）若刚体加速转动，则与同向，若减速转动，则与反向。刚体上某一点M的速度和加速度可以表示为：（6-12）（6-13）其中，，这表明，刚体作定轴转动时，体内任一点的速度等于刚体的角速度矢与该点矢径的矢积；任一点的切向加速度等于刚体的角加速度矢与该点矢径的矢积；任一点的法向加速度等于刚体的角速度矢与该点速度的矢积。刚体的定轴转动也容易判断。在已知定轴转动刚体的角速度与角加速度的条件下，根据相应的关系式，就可分析、计算刚体上任一点的速度及加速度。【复习讨论题】6-1判断以下各图形中的1号刚体和2号刚体各作什么形式的运动。（1）（a）中的1号刚体作（），2号刚体作（）。（2）（b）中的1号刚体作（），2号刚体作（）。图中，。（3）（c）中的1号刚体作（），2号刚体作（）。图中。（4）（d）中的1号刚体作（），2号刚体作（）。题6-1图6-2半径为R