平方根 优质课获奖课件

实数本章内容第3章实数本章内容第3章平方根本课内容本节内容3.1平方根本课内容本节内容3.1动脑筋

某家庭在装修儿童房时需铺地垫10.8m2，刚好用去正方形的地垫30块.

你能算出每块地垫的边长是多少吗？？动脑筋某家庭在装修儿童房时需铺地垫10.8m2，刚好每块正方形地垫的面积是10.8÷30=0.36(m2).即边长×边长=0.36.由于0.62=0.36，

因此面积为0.36m2的正方形地垫的边长是0.6m.每块正方形地垫的面积是10.8÷30=0.36(m2).即

在实际问题中，有时要找一个数，使它的平方等于给定的数.由此我们抽象出下述概念：

如果有一个数r，使得r2=a，那么我们把r叫作a的一个平方根，也叫作二次方根.0.32=0.09结论在实际问题中，有时要找一个数，使它的平方等于给定的数

若r2=a，则r是a的一个平方根.结论

例如，由于22=4，因此2是4的一个平方根.若r2=a，则r是a的一个平方根.结论探究

4的平方根除了2以外，还有其他的数吗？探究4的平方根除了2以外，还有其他的数吗？

为什么-2也是4的平方根？因为(-2)2=4，因此-2也是4的一个平方根.

除了2和-2以外，4的平方根还有其他的数吗？为什么-2也是4的平方根？因为(-2)2=4，因此

除了2和-2以外，4的平方根还有其他的数吗？

因为边长大于2的正方形，它的面积一定大于4，所以，比2大的数都不是4的平方根.边长为2边长为4<边长为1>

边长小于2的正方形，它的面积一定小于4，因此，比2小的正数都不是4的平方根.边长为2类似地，除了2和-2以外，4的平方根还有其他的数吗？

由于(-b)2=b2，因此，-2以外的负数都不是4的平方根.

显然0不是4的平方根.

所以，4的平方根有且只有两个：2与-2.由于(-b)2=b2，因此，-2以外的负数都不是4的

如果r是正数a的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：r与-r.结论如果r是正数a的一个平方根，那么a的平方根有

我们把a的正平方根叫作a的算术平方根，记作，读作“根号a”；

这样，正数a的平方根可以用“

”来表示.

把a的负平方根记作，读作“负根号a”.例如，4的平方根是2与-2，即我们把a的正平方根叫作a的算术平方根，记作，零的平方根是多少？负数有平方根吗？说一说零的平方根是多少？负数有平方根吗？说一说

由于02=0，而非零数的平方不等于0，因此零的平方根就是0本身.我们把0的平方根也叫作0的算术平方根，记作，即.由于02=0，而非零数的平方不等于0，因此零的平方根

由于同号两数相乘得正数，且02=0，即在迄今为止我们所认识的数中，任何一个数的平方都不会是负数，因此负数没有平方根.

求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方.由于同号两数相乘得正数，且02=0，即在迄今为止我们

开平方与平方互为逆运算，根据这种关系，可以求一个数的平方根.+1-1+2-2+3-3149开平方平方开平方与平方互为逆运算，根据这种关系，可以求一个数的举例例1

分别求下列各数的平方根：

36，，1.21.解

由于62=36，

因此36的平方根是6与-6.36是正数（1）36

有两个平方根

即举例1分别求下列各数的平方根：解解（2）

由于

2=，有两个平方根

因此

的平方根是与.解

由于1.12=1.21，有两个平方根（3）1.21

因此1.21的平方根是1.1与-1.1.即即解（2）由于举例例2

分别求下列各数的算术平方根：

100，，0.49.解

由于102=100，（1）100

算术平方根就是正平方根

因此；举例2分别求下列各数的算术平方根：解解（2）

由于

2=，算术平方根就是正平方根.解

由于0.72=0.49，算术平方根就是正平方根.（3）0.49

因此；

因此.解（2）由于练习1.分别求64，，6.25的平方根.练习1.分别求64，，6.25的平方解

由于82=64

所以64的平方根是8与-8.（1）64

由于

所以

的平方根是

与

.（2）

由于82.52=6.25

所以6.25的平方根是2.5与-2.5.（3）6.25解由于82=64（1）642.分别求81，，0.16的算术平方根.2.分别求81，，0.16的算术平方根.

由于

因此

.（2）解

由于92=81

因此.（1）81

由于0.42=0.16

因此.（3）0.16由于（2）解3.判断下列说法是否正确.正确.（4）(-4)2的平方根是-4.（1）

是

的一个平方根；（2）

是6的算术平方根；（3）

的值是±4；正确.不正确.不正确，是±4.3.判断下列说法是否正确.正确.（4）(-4)2的平方根做一做

将一个长为4cm，宽为2cm的长方形纸片剪拼成一个正方形.

最后得到的这个正方形的面积是多少呢？它的边长是整数吗？做一做将一个长为4cm，宽为2cm的长方形纸片剪拼成平方根优质课获奖课件正方形的面积为8cm2，由于22=4，32=9，又4＜8＜9，且面积较大的正方形的边长也较大，因此面积为8cm2的正方形的边长不是整数.

最后得到的这个正方形的面积是多少呢？它的边长是整数吗？正方形的面积为8cm2，最后得到的这个正方形的面积是动脑筋观察下列结果：

2.82=7.84，2.92=8.41；

2.822=7.95242.832=8.00892.8282=7.9975842.8292=8.003241……

从上述数据，你能猜出面积为8的正方形的边长是多少吗？

面积为8的正方形，它的边长应该比2.828大，比2.829小，……动脑筋观察下列结果：2.82=7.84，结论

由此猜想，面积为8cm2的正方形，它的边长是一个小数点后面的位数可以不断增加的小数.

事实上，我们可以说明这个边长不是分数，从而它既不是有限小数，也不是无限循环小数，这种小数叫作无限不循环小数.

我们把无限不循环小数叫作无理数.结论由此猜想，面积为8cm2的正方形，它的边长是一个小提示

由于正方形的边长的平方等于它的面积，因此面积为8cm2的正方形的边长可以记作cm.

从上述分析知道，是一个无限不循环小数，即是一个无理数.小提示由于正方形的边长的平方等于它的面积，因此面积为

圆周率

…，也是一个无理数.与有理数一样，无理数也有正负之分，

…，…，…都是无理数.例如，，，是正无理数，

，，是负无理数.圆周率…，也是一个无理数.

根据实际需要，我们往往用一个有限小数来近似地表示一个无理数.

例如…，用四舍五入法，分别取到小数点后面第二位，第三位，…，得到，，…，我们称3.14，3.142是的精确到小数点后面第二位，第三位的近似值.

3.14，3.142，3.1416，…都是的近似值，称它们为近似数.根据实际需要，我们往往用一个有限小数来近似地表示一个

利用计算器可以求一个正数的算术平方根或它的近似值.利用计算器可以求一个正数的算术平方根或它的近似值.小提示

我们可以用计算器求一个正数a的平方根，其操作方法是按顺序进行按键输入：小提示我们可以用计算器求一个正数a的平方根，其操作方举例例3用计算器求下列各式的值.举例3用计算器求下列各式的值.1.用计算器求下列各式的值：解练习1.用计算器求下列各式的值：解练习2.面积为6cm2的正方形，它的边长是多少？

用计算器求边长的近似值（精确到0.001cm）？

正方形的面积是6cm2，因此它的边长为

cm.解用计算器计算：显示2.4494897所以，2.面积为6cm2的正方形，它的边长是多少？3.用计算器分别求，，，，的近似值（精确到0.001）.解3.用计算器分别求，，，，的近解中考试题例1

9的算术平方根是（）.A.-3

B.3C.±3

D.81B解

因为32=9，所以9的算术平方根是3.

即.

故，应选择B.中考试题例19的算术平方根是中考试题例2

4的平方根是

.±2解

因为(±2)2=4，所以4的平方根是±2.

即.

故，答案是±2.中考试题例24的平方根是中考试题例3

若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，则m为().A.-3B.1C.-3或1D.-1C解

依题意，得(2m-4)+(3m-1)=0,解之，得m=1.或2m-4=3m-1.解之，得m=-3.故，应选择C.

根据平方根的性质，一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，即(2m-4)+(3m-1)=0；而本题隐含一个条件，也就是说，2m-4与3m-1也可能是其中的一个平方根，即2m-4=3m-1.分析中考试题例3若2m-4与3m结束结束湘教版SHUXUE八年级上本节内容1.5分式方程的应用（一）执教：黄亭市镇中学

湘教版SHUXUE八年级上本节内容1.5分式方程的应用（一）列方程解应用题的一般步骤分析题中已知什么,求什么.有哪些事物在什么方面产生关系。一个相等关系.（和/倍/不同方案间不变量的相等）设未知数(直接设，间接设),包括单位名称.把相等关系中各个量转化成代数式,从而列出方程.解方程,求出未知数的值(x=a).代入方程检验。检验所求解是否符合题意，写出答案。审设列找答解回顾与复习列方程解应用题的一般步骤分析题中已知什么,求什么.有哪些事物动脑筋问题1、A,B两种型号机器人搬运原料,已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20kg且A型机器人搬运1000kg所用时间与B型机器人搬运800kg所用时间相等,求这两种机器人每小时分别搬运多少原料?解：设B型机器人每小时搬运xkg，则A型机器人每小时搬运（x+20）kg.由题意可知方程变形为：1000x=800(x+20)x=80检验:x=80代入x(x+20)中，它的值不等于0，x=80是原方程的根，并符合题意.答：B型机器人每小时搬运80kg，A型机器人每小时搬运100kg.引入问题课前热身

强调：既要检验所求的解是否是原分式方程的解，还要检验是否符合题意；

动脑筋问题1、A,B两种型号机器人搬运原料,已知A型机器人比归纳概括列分式方程解应用题的一般步骤：检验目的是:(1)是否是所列方程的解;(2)是否满足实际意义.（1）审清题意；（2）设未知数（要有单位）；（3）找出相等关系，列出方程；（4）解方程，并验根。（5）写出答案（要有单位）。例题讲解与练习例1.

两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，完成全部工程，哪个队的施工速度快？分析：甲队1个月完成总工程的

,设乙队如果单独完成施工1个月能完成总工程的

,那么甲队半个月完成总工程的

，乙队半个月完成总工程的

，两队半个月完成总工程的

.131x1612x1612x+1612x+13+=1得方程：解得：x=1

所以乙队的施工速度快。归纳概括列分式方程解应用题的一般步骤：检验目的是:(1)是否

例2

A，B两地相距135千米，两辆汽车从A开往B，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为5：2，求两车的速度。分析：

已知两边的速度之比为5：2，所以设大车的速度为2x千米/时，小车的速度为5x千米/时，而A、B两地相距135千米，则大车行驶时间

小时，小车行驶时间

小时，又知大车早出发5小时，比小车早到30分钟，实际大车行驶时间比小车行驶时间多4.5小时.2x1355x1352x1355x135-=5-0.5解：设大车的速度为2x千米/时，小车的速度为5x千米/时，根据题意得解之得x=9经检验x=9是原方程的解当x=9时，2x=18，5x=45

答：大车的速度为18千米/时，小车的速度为45千米/时.例2A，B两地相距135千米，两辆汽车从A开往B，大汽例3：农机厂到距工厂15km的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了40分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度。分析：设自行车的速度是xkm/h，汽车的速度是3xkm/h请根据题意填写速度、时间、路程之间的关系表速度(km/h)路程(km)时间（h）自行车

汽车

x3x1515x153x15找出等量关系。列出方程。汽车所用的时间＝自行车所用时间－时3232x153x15=-借助表格分析数量关系解答由学生完成。例3：农机厂到距工厂15km的向阳村检修农机，一部分人骑自行1、甲乙两人同时从A地出发，骑自行车到B地，已知两地AB的距离为30㎞，甲每小时比乙多走3㎞，并且比乙先到40分钟．设乙每小时走x㎞，则可列方程为()A、B、C、D、当堂练习2、某农场挖一条960m长的渠道，开工后每天比原计划多挖20m，结果提前4天完成了任务。若设原计划每天挖xm，则根据题意可列出方程（）A、C、B、D、BA1、甲乙两人同时从A地出发，骑自行车到B地，已知两地AB的距1、一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行60km所需时间与逆水航行48km所需时间相同.已知水流的速度是2km/h，求轮船在静水中航行的速度.练习2、我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度。3、甲、乙分别从相距36千米的A、B两地同时相向而行．甲从A出发到1千米时发现有东西遗忘在A地，立即返回，取过东西后又立即从A向B行进，这样二人恰好在AB中点处相遇，又知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人速度．1、一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行60km所需时间与逆7、一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰好如期完成，如果乙队独做，就要超过规定3天，现在由甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成，问规定日期是几天？

6、甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所用时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？4.某班学生到距学校12千米的烈士陵园扫墓,一部分人骑自行车先行,经0.5时后,其余的人乘汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是自行车的3倍,求自行车和汽车的速度.5.某农场开挖一条长960米的渠道，开工后工作效率比计划提高50%，结果提前4天完成任务，原计划每天挖多少米？7、一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰好如期完1.甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所用时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？

2.甲、乙两人练习骑自行车，已知甲每小时比乙多走6千米，甲骑90千米所用的时间和乙起骑60千米所用时间相等，求甲、乙每小时各骑多少千米？

3.甲、乙两种商品，已知甲的价格每件比乙多6元，买甲90件所用的钱和买乙60件所用钱相等，求甲、乙每件商品的价格各多少元？下面三个问题有什么区别和联系？议一议1.甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲小结

列分式方程解应用题的一般步骤：1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系.2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整.3.列:根据数量和相等关系,正确列出代数式和方程.4.解:认真仔细.5.验:有两次检验.6.答:注意单位和语言完整.且答案要生活化.检验目的是:(1)是否是所列方程的解;(2)是否满足实际意义.作业：P36练习1、P36A2、4小结列分式方程解应用题的一般步骤：1.审:分析题意,找出湘教版SHUXUE八年级上本节内容1.5分式方程的应用（一）执教：黄亭市镇中学

湘教版SHUXUE八年级上本节内容1.5分式方程的应用（一）列方程解应用题的一般步骤分析题中已知什么,求什么.有哪些事物在什么方面产生关系。一个相等关系.（和/倍/不同方案间不变量的相等）设未知数(直接设，间接设),包括单位名称.把相等关系中各个量转化成代数式,从而列出方程.解方程,求出未知数的值(x=a).代入方程检验。检验所求解是否符合题意，写出答案。审设列找答解回顾与复习列方程解应用题的一般步骤分析题中已知什么,求什么.有哪些事物动脑筋问题1、A,B两种型号机器人搬运原料,已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20kg且A型机器人搬运1000kg所用时间与B型机器人搬运800kg所用时间相等,求这两种机器人每小时分别搬运多少原料?解：设B型机器人每小时搬运xkg，则A型机器人每小时搬运（x+20）kg.由题意可知方程变形为：1000x=800(x+20)x=80检验:x=80代入x(x+20)中，它的值不等于0，x=80是原方程的根，并符合题意.答：B型机器人每小时搬运80kg，A型机器人每小时搬运100kg.引入问题课前热身

强调：既要检验所求的解是否是原分式方程的解，还要检验是否符合题意；

动脑筋问题1、A,B两种型号机器人搬运原料,已知A型机器人比归纳概括列分式方程解应用题的一般步骤：检验目的是:(1)是否是所列方程的解;(2)是否满足实际意义.（1）审清题意；（2）设未知数（要有单位）；（3）找出相等关系，列出方程；（4）解方程，并验根。（5）写出答案（要有单位）。例题讲解与练习例1.

两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，完成全部工程，哪个队的施工速度快？分析：甲队1个月完成总工程的

,设乙队如果单独完成施工1个月能完成总工程的

,那么甲队半个月完成总工程的

，乙队半个月完成总工程的

，两队半个月完成总工程的

.131x1612x1612x+1612x+13+=1得方程：解得：x=1

所以乙队的施工速度快。归纳概括列分式方程解应用题的一般步骤：检验目的是:(1)是否

例2

A，B两地相距135千米，两辆汽车从A开往B，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为5：2，求两车的速度。分析：

已知两边的速度之比为5：2，所以设大车的速度为2x千米/时，小车的速度为5x千米/时，而A、B两地相距135千米，则大车行驶时间

小时，小车行驶时间

小时，又知大车早出发5小时，比小车早到30分钟，实际大车行驶时间比小车行驶时间多4.5小时.2x1355x1352x1355x135-=5-0.5解：设大车的速度为2x千米/时，小车的速度为5x千米/时，根据题意得解之得x=9经检验x=9是原方程的解当x=9时，2x=18，5x=45

答：大车的速度为18千米/时，小车的速度为45千米/时.例2A，B两地相距135千米，两辆汽车从A开往B，大汽例3：农机厂到距工厂15km的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了40分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度。分析：设自行车的速度是xkm/h，汽车的速度是3xkm/h请根据题意填写速度、时间、路程之间的关系表速度(km/h)路程(km)时间（h）自行车

汽车

x3x1515x153x15找出等量关系。列出方程。汽车所用的时间＝自行车所用时间－时3232x153x15=-借助表格分析数量关系解答由学生完成。例3：农机厂到距工厂15km的向阳村检修农机，一部分人骑自行1、甲乙两人同时从A地出发，骑自行车到B地，已知两地AB的距离为30㎞，甲每小时比乙多走3㎞，并且比乙先到40分钟．设乙每小时走x㎞，则可列方程为()A、B、C、D、当堂练习2、某农场挖一条960m长的渠道，开工后每天比原计划多挖20m，结果提前4天完成了任务。若设原计划每天挖xm，则根据题意可列出方程（）A、C、B、D、BA1、甲乙两人同时从A地出发，骑自行车到B地，已知两地AB的距1、一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行60km所需时间与逆水航行48km所需时间相同.已知水流的速度是2km/h，求轮船在静水中航行的速度.练习2、我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度。3、甲、乙分别从相距36千米的A、B两地同时相向而行．甲从A出发到1千米时发现有东西遗忘在A地，立即返回，取过东西后又立即从A向B行进，这样二人恰好在AB中点处相遇，又知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人速度．1、一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行60km所需时间与逆7、一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰好如期完成，如果乙队独做，就要超过规定3天，现在由甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成，问规定日期是几天？

6、甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所用时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？4.某班学生到距学校12千米的烈士陵园扫墓,一部分人骑自行车先行,经0.5时后,其余的人乘汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是自行车的3倍,求自行车和汽车的速度.5.某农场开挖一条长960米的渠道，开工后工作效率比计划提高50%，结果提前4天完成任务，原计划每天挖多少米？7、一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰好如期完1.甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所用时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？

2.甲、乙两人练习骑自行车，已知甲每小时比乙多走6千米，甲骑90千米所用的时间和乙起骑60千米所用时间相等，求甲、乙每小时各骑多少千米？

3.甲、乙两种商品，已知甲的价格每件比乙多6元，买甲90件所用的钱和买乙60件所用钱相等，求甲、乙每件商品的价格各多少元？下面三个问题有什么区别和联系？议一议1.甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲小结

列分式方程解应用题的一般步骤：1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系.2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整.3.列:根据数量和相等关系,正确列出代数式和方程.4.解:认真仔细.5.验:有两次检验.6.答:注意单位和语言完整.且答案要生活化.检验目的是:(1)是否是所列方程的解;(2)是否满足实际意义.作业：P36练习1、P36A2、4小结列分式方程解应用题的一般步骤：1.审:分析题意,找出实数本章内容第3章实数本章内容第3章平方根本课内容本节内容3.1平方根本课内容本节内容3.1动脑筋

某家庭在装修儿童房时需铺地垫10.8m2，刚好用去正方形的地垫30块.

你能算出每块地垫的边长是多少吗？？动脑筋某家庭在装修儿童房时需铺地垫10.8m2，刚好每块正方形地垫的面积是10.8÷30=0.36(m2).即边长×边长=0.36.由于0.62=0.36，

因此面积为0.36m2的正方形地垫的边长是0.6m.每块正方形地垫的面积是10.8÷30=0.36(m2).即

在实际问题中，有时要找一个数，使它的平方等于给定的数.由此我们抽象出下述概念：

如果有一个数r，使得r2=a，那么我们把r叫作a的一个平方根，也叫作二次方根.0.32=0.09结论在实际问题中，有时要找一个数，使它的平方等于给定的数

若r2=a，则r是a的一个平方根.结论

例如，由于22=4，因此2是4的一个平方根.若r2=a，则r是a的一个平方根.结论探究

4的平方根除了2以外，还有其他的数吗？探究4的平方根除了2以外，还有其他的数吗？

为什么-2也是4的平方根？因为(-2)2=4，因此-2也是4的一个平方根.

除了2和-2以外，4的平方根还有其他的数吗？为什么-2也是4的平方根？因为(-2)2=4，因此

除了2和-2以外，4的平方根还有其他的数吗？

因为边长大于2的正方形，它的面积一定大于4，所以，比2大的数都不是4的平方根.边长为2边长为4<边长为1>

边长小于2的正方形，它的面积一定小于4，因此，比2小的正数都不是4的平方根.边长为2类似地，除了2和-2以外，4的平方根还有其他的数吗？

由于(-b)2=b2，因此，-2以外的负数都不是4的平方根.

显然0不是4的平方根.

所以，4的平方根有且只有两个：2与-2.由于(-b)2=b2，因此，-2以外的负数都不是4的

如果r是正数a的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：r与-r.结论如果r是正数a的一个平方根，那么a的平方根有

我们把a的正平方根叫作a的算术平方根，记作，读作“根号a”；

这样，正数a的平方根可以用“

”来表示.

把a的负平方根记作，读作“负根号a”.例如，4的平方根是2与-2，即我们把a的正平方根叫作a的算术平方根，记作，零的平方根是多少？负数有平方根吗？说一说零的平方根是多少？负数有平方根吗？说一说

由于02=0，而非零数的平方不等于0，因此零的平方根就是0本身.我们把0的平方根也叫作0的算术平方根，记作，即.由于02=0，而非零数的平方不等于0，因此零的平方根

由于同号两数相乘得正数，且02=0，即在迄今为止我们所认识的数中，任何一个数的平方都不会是负数，因此负数没有平方根.

求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方.由于同号两数相乘得正数，且02=0，即在迄今为止我们

开平方与平方互为逆运算，根据这种关系，可以求一个数的平方根.+1-1+2-2+3-3149开平方平方开平方与平方互为逆运算，根据这种关系，可以求一个数的举例例1

分别求下列各数的平方根：

36，，1.21.解

由于62=36，

因此36的平方根是6与-6.36是正数（1）36

有两个平方根

即举例1分别求下列各数的平方根：解解（2）

由于

2=，有两个平方根

因此

的平方根是与.解

由于1.12=1.21，有两个平方根（3）1.21

因此1.21的平方根是1.1与-1.1.即即解（2）由于举例例2

分别求下列各数的算术平方根：

100，，0.49.解

由于102=100，（1）100

算术平方根就是正平方根

因此；举例2分别求下列各数的算术平方根：解解（2）

由于

2=，算术平方根就是正平方根.解

由于0.72=0.49，算术平方根就是正平方根.（3）0.49

因此；

因此.解（2）由于练习1.分别求64，，6.25的平方根.练习1.分别求64，，6.25的平方解

由于82=64

所以64的平方根是8与-8.（1）64

由于

所以

的平方根是

与

.（2）

由于82.52=6.25

所以6.25的平方根是2.5与-2.5.（3）6.25解由于82=64（1）642.分别求81，，0.16的算术平方根.2.分别求81，，0.16的算术平方根.

由于

因此

.（2）解

由于92=81

因此.（1）81

由于0.42=0.16

因此.（3）0.16由于（2）解3.判断下列说法是否正确.正确.（4）(-4)2的平方根是-4.（1）

是

的一个平方根；（2）

是6的算术平方根；（3）

的值是±4；正确.不正确.不正确，是±4.3.判断下列说法是否正确.正确.（4）(-4)2的平方根做一做

将一个长为4cm，宽为2cm的长方形纸片剪拼成一个正方形.

最后得到的这个正方形的面积是多少呢？它的边长是整数吗？做一做将一个长为4cm，宽为2cm的长方形纸片剪拼成平方根优质课获奖课件正方形的面积为8cm2，由于22=4，32=9，又4＜8＜9，且面积较大的正方形的边长也较大，因此面积为8cm2的正方形的边长不是整数.

最后得到的这个正方形的面积是多少呢？它的边长是整数吗？正方形的面积为8cm2，最后得到的这个正方形的面积是动脑筋观察下列结果：

2.82=7.84，2.92=8.41；

2.822=7.95242.832=8.00892.8282=7.9975842.8292=8.003241……

从上述数据，你能猜出面积为8的正方形的边长是多少吗？

面积为8的正方形，它的边长应该比2.828大，比2.829小，……动脑筋观察下列结果：2.82=7.84，结论

由此猜想，面积为8cm2的正方形，它的边长是一个小数点后面的位数可以不断增加的小数.

事实上，我们可以说明这个边长不是分数，从而它既不是有限小数，也不是无限循环小数，这种小数叫作无限不循环小数.

我们把无限不循环小数叫作无理数.结论由此猜想，面积为8cm2的正方形，它的边长是一个小提示

由于正方形的边长的平方等于它的面积，因此面积为8cm2的正方形的边长可以记作cm.

从上述分析知道，是一个无限不循环小数，即是一个无理数.小提示由于正方形的边长的平方等于它的面积，因此面积为

圆周率

…，也是一个无理数.与有理数一样，无理数也有正负之分，

…，…，…都是无理数.例如，，，是正无理数，

，，是负无理数.圆周率…，也是一个无理数.

根据实际需要，我们往往用一个有限小数来近似地表示一个无理数.

例如…，用四舍五入法，分别取到小数点后面第二位，第三位，…，得到，，…，我们称3.14，3.142是的精确到小数点后面第二位，第三位的近似值.

3.14，3.142，3.1416，…都是的近似值，称它们为近似数.根据实际需要，我们往往用一个有限小数来近似地表示一个

利用计算器可以求一个正数的算术平方根或它的近似值.利用计算器可以求一个正数的算术平方根或它的近似值.小提示

我们可以用计算器求一个正数a的平方根，其操作方法是按顺序进行按键输入：小提示我们可以用计算器求一个正数a的平方根，其操作方举例例3用计算器求下列各式的值.举例3用计算器求下列各式的值.1.用计算器求下列各式的值：解练习1.用计算器求下列各式的值：解练习2.面积为6cm2的正方形，它的边长是多少？

用计算器求边长的近似值（精确到0.001cm）？

正方形的面积是6cm2，因此它的边长为

cm.解用计算器计算：显示2.4494897所以，2.面积为6cm2的正方形，它的边长是多少？3.用计算器分别求，，，，的近似值（精确到0.001）.解3.用计算器分别求，，，，的近解中考试题例1

9的算术平方根是（）.A.-3

B.3C.±3

D.81B解

因为32=9，所以9的算术平方根是3.

即.

故，应选择B.中考试题例19的算术平方根是中考试题例2

4的平方根是

.±2解

因为(±2)2=4，所以4的平方根是±2.

即.

故，答案是±2.中考试题例24的平方根是中考试题例3

若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，则m为().A.-3B.1C.-3或1D.-1C解

依题意，得(2m-4)+(3m-1)=0,解之，得m=1.或2m-4=3m-1.解之，得m=-3.故，应选择C.

根据平方根的性质，一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，即(2m-4)+(3m-1)=0；而本题隐含一个条件，也就是说，2m-4与3m-1也可能是其中的一个平方根，即2m-4=3m-1.分析中考试题例3若2m-4与3m结束结束湘教版SHUXUE八年级上本节内容1.5分式方程的应用（一）执教：黄亭市镇中学

湘教版SHUXUE八年级上本节内容1.5分式方程的应用（一）列方程解应用题的一般步骤分析题中已知什么,求什么.有哪些事物在什么方面产生关系。一个相等关系.（和/倍/不同方案间不变量的相等）设未知数(直接设，间接设),包括单位名称.把相等关系中各个量转化成代数式,从而列出方程.解方程,求出未知数的值(x=a).代入方程检验。检验所求解是否符合题意，写出答案。审设列找答解回顾与复习列方程解应用题的一般步骤分析题中已知什么,求什么.有哪些事物动脑筋问题1、A,B两种型号机器人搬运原料,已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20kg且A型机器人搬运1000kg所用时间与B型机器人搬运800kg所用时间相等,求这两种机器人每小时分别搬运多少原料?解：设B型机器人每小时搬运xkg，则A型机器人每小时搬运（x+20）kg.由题意可知方程变形为：1000x=800(x+20)x=80检验:x=80代入x(x+20)中，它的值不等于0，x=80是原方程的根，并符合题意.答：B型机器人每小时搬运80kg，A型机器人每小时搬运100kg.引入问题课前热身

强调：既要检验所求的解是否是原分式方程的解，还要检验是否符合题意；

动脑筋问题1、A,B两种型号机器人搬运原料,已知A型机器人比归纳概括列分式方程解应用题的一般步骤：检验目的是:(1)是否是所列方程的解;(2)是否满足实际意义.（1）审清题意；（2）设未知数（要有单位）；（3）找出相等关系，列出方程；（4）解方程，并验根。（5）写出答案（要有单位）。例题讲解与练习例1.

两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，完成全部工程，哪个队的施工速度快？分析：甲队1个月完成总工程的

,设乙队如果单独完成施工1个月能完成总工程的

,那么甲队半个月完成总工程的

，乙队半个月完成总工程的

，两队半个月完成总工程的

.131x1612x1612x+1612x+13+=1得方程：解得：x=1

所以乙队的施工速度快。归纳概括列分式方程解应用题的一般步骤：检验目的是:(1)是否

例2

A，B两地相距135千米，两辆汽车从A开往B，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为5：2，求两车的速度。分析：

已知两边的速度之比为5：2，所以设大车的速度为2x千米/时，小车的速度为5x千米/时，而A、B两地相距135千米，则大车行驶时间

小时，小车行驶时间

小时，又知大车早出发5小时，比小车早到30分钟，实际大车行驶时间比小车行驶时间多4.5小时.2x1355x1352x1355x135-=5-0.5解：设大车的速度为2x千米/时，小车的速度为5x千米/时，根据题意得解之得x=9经检验x=9是原方程的解当x=9时，2x=18，5x=45

答：大车的速度为18千米/时，小车的速度为45千米/时.例2A，B两地相距135千米，两辆汽车从A开往B，大汽例3：农机厂到距工厂15km的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了40分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度。分析：设自行车的速度是xkm/h，汽车的速度是3xkm/h请根据题意填写速度、时间、路程之间的关系表速度(km/h)路程(km)时间（h）自行车

汽车

x3x1515x153x15找出等量关系。列出方程。汽车所用的时间＝自行车所用时间－时3232x153x15=-借助表格分析数量关系解答由学生完成。例3：农机厂到距工厂15km的向阳村检修农机，一部分人骑自行1、甲乙两人同时从A地出发，骑自行车到B地，已知两地AB的距离为30㎞，甲每小时比乙多走3㎞，并且比乙先到40分钟．设乙每小时走x㎞，则可列方程为()A、B、C、D、当堂练习2、某农场挖一条960m长的渠道，开工后每天比原计划多挖20m，结果提前4天完成了任务。若设原计划每天挖xm，则根据题意可列出方程（）A、C、B、D、BA1、甲乙两人同时从A地出发，骑自行车到B地，已知两地AB的距1、一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行60km所需时间与逆水航行48km所需时间相同.已知水流的速度是2km/h，求轮船在静水中航行的速度.练习2、我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度。3、甲、乙分别从相距36千米的A、B两地同时相向而行．甲从A出发到1千米时发现有东西遗忘在A地，立即返回，取过东西后又立即从A向B行进，这样二人恰好在AB中点处相遇，又知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人速度．1、一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行60km所需时间与逆7、一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰好如期完成，如果乙队独做，就要超过规定3天，现在由甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成，问规定日期是几天？

6、甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所用时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？4.某班学生到距学校12千米的烈士陵园扫墓,一部分人骑自行车先行,经0.5时后,其余的人乘汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是自行车的3倍,求自行车和汽车的速度.5.某农场开挖一条长960米的渠道，开工后工作效率比计划提高50%，结果提前4天完成任务，原计划每天挖多少米？7、一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰好如期完1.甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所用时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？

2.甲、乙两人练习骑自行车，已知甲每小时比乙多走6千米，甲骑90千米所用的时间和乙起骑60千米所用时间相等，求甲、乙每小时各骑多少千米？

3.甲、乙两种商品，已知甲的价格每件比乙多6元，买甲90件所用的钱和买乙60件所用钱相等，求甲、乙每件商品的价格各多少元？下面三个问题有什么区别和联系？议一议1.甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲小结

列分式方程解应用题的一般步骤：1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系.2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整.3.列:根据数量和相等关系,正确列出代数式和方程.4.解:认真仔细.5.验:有两次检验.6.答:注意单位和语言完整.且答案要生活化.检验目的是:(1)是否是所列方程的解;(2)是否满足实际意义.作业：P36练习1、P36A2、4小结列分式方程解应用题的一般步骤：1.审:分析题意,找出湘教版SHUXUE八年级上本节内容1.5分式方程的应用（一）执教：黄亭市镇中学

湘教版SHUXUE八年级上本节内容1.5分式方程的应用（一）列方程解应用题的一般步骤分析题中已知什么,求什么.有哪些事物在什么方面产生关系。一个相等关系.（和/倍/不同方案间不变量的相等）设未知数(直接设，间接设),包括单位名称.把相等关系中各个量转化成代数式,从而列出方程.解方程,求出未知数的值(x=a).代入方程检验。检验所求解是否符合题意，写出答案。审设列找答解回顾与复习列方程解应用题的一般步骤分析题中已知什么,求什么.有哪些事物动脑筋问题1、A,B两种型号机器人搬运原料,已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20kg且A型机器人搬运1000kg所用时间与B型机器人搬运800kg所用时间相等,求这两种机器人每小时分别搬运多少原料?解：设B型机器人每小时搬运xkg，则A型机器人每小时搬运（x+20）kg.由题意可知方程变形为：1000x=800(x+20)x=80检验:x=80代入x(x+20)中，它的值不等于0，x=80是原方程的根，并符合题意.答：B型机器人每小时搬运80kg，A型机器人每小时搬运100kg.引入问题课前热身

强调：既要检验所求的解是否是原分式方程的解，还要检验是否符合题意；

动脑筋问题1、A,B两种型号机器人搬运原料,已知A型机器人比归纳概括列分式方程解应用题的一般步骤：检验目的是:(1)是否是所列方程的解;(2)是否满足实际意义.（1）审清题意；（2）设未知数（要有单位）；（3）找出相等关系，列出方程；（4）解方程，并验根。（5）写出答案（要有单位）。例题讲解与练习例1.

两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工