六年级奥数培优教程精编讲义 第16讲 比较数的大小(教师版)

17第16讲比较数的大小“教罪标“教罪标-①小数的大小比较常用方法;-②分数的大小比较常用方法;-③数的估算时常用方法。一、小数的大小比较常用方法为方便比较，往往把这些小数排成一个竖列，并在它们的末尾添上适当的“0”，使它们都变成小数位数相同的小数.（如果是循环小数，就把它改写成一般写法的形式）二、分数的大小比较常用方法（1）通分母：分子小的分数小.⑵通分子：分母小的分数大.⑶比倒数：倒数大的分数小.⑷与1相减比较法：分别与1相减，差大的分数小．（适用于真分数）⑸重要结论：对于两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大；对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都小的分数比较大.⑹放缩法在实际解题的过程中，我们还会用到其它一些思路！同学们要根据具体情况展开思维！三、数的估算时常用方法（1）放缩法：为求出某数的整数部分，设法放大或缩小．使结果介于某两个接近数之间，从而估算结果（2）变换结构：将原来算式或问题变形为便于估算的形式．

典例分析考点一：两个数的大小比较典例分析考点一：两个数的大小比较例1、如果a=型5,b=2006，那么a,b中较大的数是20062007【解析】方法一：<与1相减比较法>20051200620062006200712007•因为2006〉i2007所以b20051200620062006200712007•因为2006〉i2007所以b较大;方法二：<比倒数法>因为120051>2006所以2006>200520072006进而2005<200620062007方法三：两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，分子和分母都大的分数比较大，所以b大。例2、如果A=例2、如果A=111111110，B=222222221444444443888888887A与B中哪个数较大?【解析】方法一：观察可以发现A、B都很接近2，且比它小•我们不防与2比较.12x12x22222222112x8888888872-A，即聊匕八更接近丄，换句话说B>A-方法二：a=111111110=111111110x4=444444440<444444443=B，即A<B.222222221222222221x4888888884888888887方法三：I=2而誌，B=24444：4443显然+>B，则A<B例3、在a=20032003X2002和b=20022003X2003中，较大的数是，比较小的数大【解析】b-a=20022003X2003-20032003X2002=20020000X2003+2003X2003-20030000X2002-2003X2002=2003X(2003-2002)=2003所以a比b大2003。例4、试比较：2x42x2xL432与32xUx3哪一个大?296个2185个364487个64487个2448【解析1296=37X8,185=37X5,因为2x2x2xLx2=256>131x434x23x4L4x332435个3所以2孝坐2维必2>3xj3举2>4-433296个2185个3258998比较大，说明原因;例5、已知：A=—x—x—xLx，那么A与0.1中比较大，说明原因;369999解析】4(258t解析】4(258t998¥A3=—x_x_xLx(369999丿123>—x—x—xL2349989991xxx=999100010003n—23n(3n—1)2—1(3n—1)23n一13n+1(3n)2—1(3n)2A>10'即A比0.1大考点二：多个数的比较例1、1）把下列各数按照从小到大的顺序排列：591513’16’28（2）（幼苗杯数学邀请赛）把下列分数用“<”号连接起来:101712152060,,,19233391【解析】⑴我们可以用通分子的方法，可得:3x例1、1）把下列各数按照从小到大的顺序排列：591513’16’28（2）（幼苗杯数学邀请赛）把下列分数用“<”号连接起来:101712152060,,,19233391【解析】⑴我们可以用通分子的方法，可得:3x15455x9459x545=,=,=7x1510513x911716x580S=普，分母大的反而小，所以|<3<n<存⑵这五个分数的分母都不相同，要通分变成同分母的分数比较麻烦.再看分子,60正好是10、12、15、20、60五个数的公倍数．利用分数的基本性质，可以将题中的各分数化为分子都是60的分数．我们称之为“通分子比大小”的方法．106012601560一，—，=171021995239220=60，60=60；可见型<60<60<60<603399919110299959291也就是凹<20<fQ<173319236091例2、在下面9个算式中:35+-，52036+-620，③3+—，④3+—，⑤720839+-920310+-1020311+-1120312+-1220，⑨右+20，第几个算式的答数最小，这个答数是多少?解析】方法1—1(620丿1720丿(37解析】方法1—1(620丿1720丿(37、(38)—+—_+—1720丿(820丿(38)(39)_+——+(820丿<920丿(36)(37)丄丄0,8x920丄—丄>0,7x820丄—丄>0,6x720丄-丄>0,5x620即②〉③;即③〉④;即④〈⑤;即①〉②;-⑥，⑥-⑦，⑦-⑧，⑧-⑨所得的差依次为,3,3-丄均小于0,所以⑤〈⑥，10x112011x1220llx1220〈⑦，⑦〈⑧，⑧〈⑨，那么这些算式中最小的为④，有④为3+—=3182040方法二：注意到每组内两个分数的乘积相等，均为色.20因为当两个数的乘积相等时，这两个数越接近，和越小.其中第4个算式中3、§最接近，所以第4个算820式最小•考点三：数的估算例1、求数例1、求数a=珞+誥+豈+L+誥的整数部分•【解析】这道题显然不宜对分母中的11个分数进行通分求和.要求a的整数部分，只要知道a在哪两个连续整数之间．因为a因为a中的11个分数都不大于希,不小于卫,110所以卫x所以卫x11<也+卫+10110100101102*L+匹<巴x11110100即1<匹+竺+巴+即1<匹+竺+巴+L10010110210+<1101.1由此可知a的整数部分是1．例2、求数1例2、求数1__1__1~1+++L—10111219的整数部分是几？解析】1、11__1__1~1>111__7+++解析】1、11__1__1~1>111__7+++L+++L1011121910101010101.111__1__1~1<111__7+++L+++L1011121919191919110=1.9，即1V原式V1.9，所以原式的整数部分是19例3、已知n=1+1+1+19+29+41+L+k(k+1)—1+L+血，求N的整数部分.【解析】题中已经指明，式子中每一项的分母都可以表示成k(k+1)-1，对于k(k+1)-1不好直接进行处理,很容易联想到k(k+1)及(k-1)k，所以可以进行放缩.

由于(k一l)k<k由于(k一l)k<k(k+1)一1<k(k+1)，所以111

k(k+1)<k(k+1)-1<(k-1)k，那么N>1+丄+-^+-^+L2x33x44x5+=1+1-1+1-1+L+丄一丄=1+1一丄>1,100x10123341001012101111111111111N<1++++L+=1+1一+++L+一=2一<2，即1<N<2,1x22x33x499x1002233499100100那么N的整数部分为1．小结：从式子中也可以直接看出N＞1，所以对于这一点也可以不进行放缩.课堂狙击解析】A=222221=666663222223=666669】、如果A=绘解析】A=222221=666663222223=666669666662=333331=b,6666683333342、有8个数，0.&&,2,5,0.5&,丝,13是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个数是0.5&,TOC\o"1-5"\h\z394725那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数?52413【解析】—=0.&,—=0.&，—-0.5106，一=0.52，显然有0.5106V0.5&V0.&&V0.52V0.&V0.6，即94725丝＜05&＜0.&&＜空＜5＜2，8个数从小到大排列第4个是0.5&,472593所以有□＜□＜兰＜0.5&V0.&&V旦＜5＜2.（“口”表示未知的那2个数）.所以，这8个数从大到小排列第4472593个数是0.5&&．3、将椅、IS、0.5&&、°52&、°5&从小到大排列，第三个数是一13121【解析】1—=0.524，一=0.52525040所以：0.5&<0.5&&<0.52&<131<空，第三小的数是0.5&&250404、甲、乙两个天平上都放着一定重量的物体，问：哪—个是平衡的?甲乙甲乙【解析】考虑除以3，所得的余数因为478除以3余1,9763除以3也余1（只要看4+7+8,9十7+6十3除以3的余数），所以478X9763除以3余1X1=1,而4666514除以3余2（即4+6+6+6+5+1+4除以3余2）,因此478X9763工4666514,从而天平甲不平衡．天平乙是平衡的.5、a=10.8+10.98+10.998+10.9998+10.99998,a的整数部分是。【解析】a=11-0.2+11-0.02+11-0.002+11-0.0002+11-0.00002=55-0.22222所以a的整数部分是54。6、有13个自然数,它们的平均值利用四舍五入精确到小数点后一位是26.9．那么,精确到小数点后两位数是多少？【解析】利用放缩法，13个自然数之和必然是整数，又有26.85＜平均数＜26.95，则这13个自然数的和介于13x26.85和13x26.95之间.即在349.05和350.35之间，所以只能是350.所以350+13=26.923,则精确到小数点后两位数是26.92.课后反击4444435555541、比较和的大小444445555556【解析】因为1-444443=2,1-555554=2，显然〉2，根据被减数一定，减数444445444445555556555556444445555556越大差越小的道理，有：444443555554越大差越小的道理，有：444443555554<4444455555562、试比较丄11和丄111的大小111111111【解析】方法一：观察可知，这两个分数的分母都比分子的10倍多1.对于这样的分数，可以利用它们的倒数比较大小．111111110哈册的倒数是1.册二10盒，我们很容易看出101>11110而'1111<111111111方法二：111lllx倒数比较大小．111111110哈册的倒数是1.册二10盒，我们很容易看出101>11110而'1111<111111111方法二：111lllx101111llllx10111101110，两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大，所以卫10<即卫1<卫111111011111111111111199819981999199919991999'200020002000200020012001最小的分数是【解析】因为1998199819991999199819991999_199920002000—200020002000_200020012001—2001根据重要结论对于两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大；而且：1999<<200020002001所以，最小的是12沁199919994、编号为】、"的三只蚂蚁分别举起重量为貫,I0!4394391999<<200020002001所以，最小的是12沁199919994、编号为】、"的三只蚂蚁分别举起重量为貫,I0!439439克的重物.问：金、银、铜牌应分别发给488几号蚂蚁?解析】115=1_H=1-/=1—丄12712712710.5L123023111=1—=1—=1—33333333310.7L314394911=1—=1—=1—4884884889.9L所以，302115>>3331274394885、这里有5个分数：2，寻，0囂，如果按大小顺序排列，排在中间的是哪个数?【解析】分子的最小公倍数是60,给出的5个分数依次等于：60，—，型，聖，比较分母的大小，居中90969210295的分数是60，即咚。95196、已知x=0.9+0.99+0.999+L+0.9999999999.求x的整数部分.【解析】方法一：要求x的整数部分，必须找到x介于哪两个连续整数之间即a<x<a+1,x的整数部分和n相等.可以先将原算式放大，把每个加数都看成1这样结果是1x10=10；然后将原算式缩小，把每个加数都看成0.9，结果是0.9x10=9.可见原算式的结果介于10和9之间即9<x<10,所以x的整数部分是9．方法二：将原式变型后再估算．x=0.9+0.99+0.999+L+0.9999999999=(1—0.1)+(1—0.01)+(1-0.001)+L+(1-0.0000000001)=10—(0.1+0.01+0.001+L+0.0000000001)=10—0.1111111111所以x的整数部分是9.7、有一列数，第一个数是133，第二个数是57，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的平均数，那么，第16个数的整数部分是.【解析】由已知：第三个数=(133+57)三2=95,第四个数=(57+95)三2=75,第五个数=(76+95)三2=85.5第六个数=(85.5+76)^2=80.75,第七个数=(80.75+85.5)三2=83.125,第八个数=(83.125+80.75)三2=81.9375,第九个数=(81.9375+83.125)三2=82.53125.第十个数=(81.9375+82.53125)三2=82.234375,从第十一个数开始,以后任何一个数都82.53125与82.234375之间,所以,这些数的整数部分都是82,那么第16个数的整数部分也82.1、(第五届华杯赛口试)图中有两个黑色的正方形,两个白色的正方形,它们的面积已在图中标出(单位：厘米2).黑色的两个正方形面积大还是白色的两个正方形面积大?请说明理由.

19932199621993219962【解析】此题利用到平方差公式：a2-b2=(a+b)x(a-b)19972—19962=(1997+1996)x(1997—1996)=1997+1996=399319932—19922=1993+1992=3985所以19972—19962>19932—19922即19972+19922>19962+19932，两个白色正方形的面积大.2、（第十五届华杯赛初赛）从鼎中去掉两个数，使得剩下的三个数之和与6接近，去掉的两个数11是（）.1--(C)3,511(D)3,4再找分母的最小公倍数比较大小，2、（第十五届华杯赛初赛）从鼎中去掉两个数，使得剩下的三个数之和与6接近，去掉的两个数11是（）.1--(C)3,511(D)3,4再找分母的最小公倍数比较大小，【7,60]=420,305则以上分式分别可以写成：305,420329385420420364，4206可以写成360，显然誥最接近。3、（第七届希望杯赛一试）已知A=1+-+-24-+一+一56+1+1，则A的整数部分是TOC\o"1-5"\h\z1111111111114解析】A=1++—+—+—+—+—+—〉1+—+—+—+—+—+—=2-；3456784488888A=1+-+-+-+-+-+—+-<1+-+-+(丄+-)+-+-+-+-=2+4+—<3所以A的整数部分是2。2345678241245555512

4、（清华附中入学测试）已知：S二f，则S的整数部分是.2006+++...+1980198119822006【解析】如果全是血，那么结果是731，如果全是12006?那么结果是7427，所以733<s<7427，不能确定S的整数部分•我们不妨采用分段估值,有：10107111++<+++・・・+1989199920061980198119821010<1120061980199020001111+