中考数学压轴系列-费马点

11对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点，对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．下面简单说明如何找点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？这就是所谓的费尔马问题．图1解析：如图1,把厶APC绕A点逆时针旋转60°得到AAP，C',连接PP'.则厶APPZ为等边三角形，AP=PPZ,PzC=PC,所以PA+PB+PC=PPZ+PB+PzC‘.点C‘可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60。而得的定点，BC'为定长，所以当B、P、P'、C四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小.这时ZBPA=180°-ZAPP'=180°-60°=120°，ZAPC=ZAP'C=180°-ZAP'P=180°-60°=120°，ZBPC=360°-ZBPA-ZAPC=360°-120°-120°=120°因此，当△ABC的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°,可在AB、BC边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点；当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点.费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换.（株洲）已知P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA+PB+PC的最小值.（北京）如图.在平面直角坐标系xOy中•点B的坐标为（0,2）.点D在X轴的正半轴上.ZODB=30°.OEBOD的中线.过B、E两点的抛物线y二ax2+x+c与x6轴相交于A、F两点（A在F的左侧）.等边△OMN的顶点M、N在线段AE上，点P为△ABO内的一个动点.设m=PA+PB+PO请直接写出m的最小值，以及m取得最小值时，线段AP的长•（备用图）（延庆）小伟遇到这样一个问题：如图1,在厶ABC（其中ZBAC是一个可以变化的角）中，AB=2,AC=4，以BC为边在BC的下方作等边APBC,求AP的最大值。小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合•他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60。得到△A'BC，连接A'A，当点A落在AC上时，此题可解（如图2）.请你回答：AP的最大值是.图1C图1C参考小伟同学思考问题的方法,解决下列问题:如图3,等腰RtAABC.边AB=4,PABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值•（结果可以不化简）（朝阳）小华遇到这样一个问题，如图1,△ABC中，ZACB=30°,BC=6,AC=5，在AABC内部有一点P,连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值.图3图3小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了.他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题.他的做法是，如图2,将厶APC绕点C顺时针旋转60°,得到△EDC，连接PD、BE，则BE的长即为所求.（1）请你写出图2中，PA+PB+PC的最小值为；（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：①如图3,菱形ABCD中，ZABC=60°，在菱形ABCD内部有一点P,请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD的边长为4,请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长.（宁德）若点PABC所在平面上一点，且ZAPB=ZBPC=ZCPA=120°,则点P叫做△ABC的费马点.若P为锐角△ABC的费马点，且ZABC=60°,PA=3,PC=4,则PB的值为；如图8,在锐角△ABC的外侧作等边△ACB',连结BB'.求证：BBZ过AABC的费马点P,且BBZ=PA+PB+PC.已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为迈<6，求此正方形的边长.(宁德)如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD(不含B点)上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM.(1)求证：△AMB9AENB；当M点在何处时，AM+CM的值最小；当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；当AM+BM+CM的最小值为J31时，求正方形的边长.答案1•顺时针旋转△BPC60度，可得△PBE为等边三角形.即得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF.

BM=BFcos30°=BCcos30°='则AM=l+「'■■AB=BFABF=15"■'■BAF=15'5Q12.m最小值为炕，当m取得最小值时，线段5Q12.m最小值为炕，当m取得最小值时，线段AP的长尾音。3.(1)6；(2)八厅+2赫(1)$乔；(2)线段BD等于PA+PB+PC最小值的线段;当PA+PB+PC值最小时PB的长为＜61

2D2D(1)利用相似三角形可求PB的值为2空3.(2)设点P为锐角△ABC的费马点，即ZAPB=ZBPC=ZCPA=120°如图8,把厶ACP绕点C顺时针旋转60°到CE,连结PE,则厶EPC为正三角形.VZBZEC=ZAPC=120°,ZPEC=60°AZBZEC+ZPEC=180°即P、E、Bz三点在同一直线上VZBPC=120°,ZCPE=60°,Z.ZBPC+ZCPE=180°,即B、P、E三点在同一直线上・•・B、P、E、Bz四点在同一直线上，即BBZ过AABC的费马点P.又PE=PC,BzE=PA,・•・BBZ=EBz+PB+PE=PA+PB+PC.注:通过旋转变换,可以改变线段的位置,优化图形的结构.在使用这一方法解题时需注意图形旋转变换的基础,即存在相等的线段,一般地,当题目出现等腰三角形(等边三角形)、正方形条件时,可将图形作旋转60°或90°的几何变换,将不规则图形变为规则图形,或将分散的条件集中在一起,以便挖掘隐含条件,使问题得以解决.如图2,连接人0把4AEC绕点C顺时针旋转60°,得到△GFC，连接EF、BG、AG,可知△EFC、AAGC都是等边三角形，则EF=CE.又FG=AE,.•.AE+BE+CE=BE+EF+FG.•・•点B、点G为定点（G为点A绕C点顺时针旋转60°所得）.3).••点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为+品.26.•a+a=\2+\6，解得a=2.^2^27.⑴略；7.⑴略；⑵①当M点落在BD的中点时，AM+CM的值最小.②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时,AM+BM+CM的值最小.理由如下：连接MN.由⑴知,AM+BM+CM的值最小.理由如下：连接MN.由⑴知,△AMB^AENB,••・AM=EN.VZMBN=60°，MB=NB,AAM+BM+CM=EN+MN+CM.根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短・••当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长.⑶过E点作EF丄/r