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湖北大学研究生课程考试参考答案及评分标准课程编号0701E0205课程名称密码与编码学中的布尔函数注：需写清题号、每小题分值、参考答案要点、评分标准等一、概念题参考答案及评分标准：1.设是二元有限域，n为正整数，是上的n维向量空间，从到的映射：称为n元布尔函数.一个n元布尔函数可以表示为上的含n个变元的多项式:.这里表示中的加法运算，即模2的加法运算.形如上式的表示称为布尔函数的小项表示.若将小项表示展开并合并同类项，则会得到如下形式的一个多项式：这里系数.评分标准：答出n元布尔函数的定义得5分，答出其多项式表示得5分.2布尔函数的安全性指标主要有：平衡性、代数次数、差分均匀度、非线性度、相关免疫阶、弹性阶和代数免疫度等等.平衡性：一个n元布尔函数是平衡的，当且仅当其真值表中0和1的个数相同，也就是该布尔函数的Hamming重量为.代数次数：密码体制中使用的布尔函数通常具有高的代数次数.差分均匀度：设是一个n元布尔函数，其差分均匀度定义为.非线性度：的非线性度定义为和所有仿射函数的最小Hamming距离：.相关免疫阶：设是一个n元布尔函数，其中是上独立且均匀分布的随机变量，如果与中任意个变元统计独立，则称是m阶相关免疫函数。评分标准：每个指标2分，答出其中5个得10分.3.（10分）设，，.线性空间中的子集合叫做r阶的二元Reed-Muller码其中为全体布尔函数的集合二、证明题答题要点及评分标准：1.（1）（10分）根据循环Walsh谱的定义,得到（2）（10分）根据循环Walsh谱的定义,得到倒数第二个等号成立是因为仅当时取值，其他时候取值均为0.2.证明：定义的对偶函数如下：运用Walsh变换的性质得出，即也是Bent函数.（4分）再证明n元布尔函数是Bent函数当且仅当矩阵是一个的Hadamard矩阵.（6分）最后证明原命题：（必要性）是Bent函数则也是Bent函数.通过，得出矩阵是Hadamard矩阵；（5分）（充分性）由.得出将上式两边同时乘以，并对求和得到即，则是Bent函数.（5分）3.证明：先利用McEliece定理，证明若是相关免疫函数，，则,对任意.（5分）于是再结合即得.（5分）类似的，若是m阶弹性函数，对任意.（5分）再结合即得.（5分）4.证明：记为所有代数次数不超过的n元单项式构成的集合；令,则

，（5分）注意到T中所有元素线性无关，从而，其中，,且存在某个.令，，则，（5分）其中/r/

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