数学运算重在算理

PAGEPAGE4数学运算重在算理524500广东省吴川市第一中学柯厚宝高考数学中,对运算能力的要求从刻意控制运算量的处境逐渐转化为承认运算、直面运算的局面.这是由数学的学科性决定的,因为只要解答数学试题、研究数学问题,就无法避免数学运算.前几年,每年在考试说明中都强调控制运算量,但每年高考后,学生与老师们都有“运算量偏大”的体会,于是近年来,在考试说明中,干脆将运算求解能力列为高考必考的五大能力之一.无法避免的事实让它名正言顺的存在,更合情合理.在很多人的观念中,数学运算仅指加、减、乘、除等狭义上的数字运算.事实上,数学运算应包含更广泛的式子运算与符号运算.树立更广泛的数学运算理念,才能从根本上培养与提高数学运算能力.那么,在运算过程中要树立哪些算理,才能有效的提高运算能力?本文作一点粗浅的探讨,不当之处,敬请指正.算理1以简为先文[1]中,单壿先生提到一句话:化简,不要“化繁”.其实,它就是我们要坚持的一种运算理念.在运算过程中,我们要树立一种以简为先的理念,从繁杂的运算中演算出简洁的结果,从而体现运算的价值.例1过点作直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,求△OAB的面积的最大值,并求此时直线的方程.解(1)当直线轴时,直线的方程为,代入椭圆方程解得,这时△0AB的面积:.(2)当直线与轴不垂直时,设直线的方程为,,且,.由,得,∴=,令,有,得△0AB的面积,当,即时取等号,这时直线的方程为.综(1)(2)所述,△OAB的面积的最大值为,此时直线的方程为.评注以上解法体现了以简为先的算理,顺利的解决了问题.考虑到,为了回避绝对值麻烦,我们设定了,,为了直接的计算,我们将直线的方程设为,消去,从而得到的表达式(否则,若消去,由,将会带更多的回路运算,也给后面的运算带来更大的麻烦).所以,对待运算,我们首先要考虑的是简洁,尽量避免多余的无效回路运算,提高运算的速度与准确性.算理2明确目标ABCDAABCDA1B1C1D1P例2如图,已知正方体的棱长为1,点P在棱上运动(不含两点),设.求的取值范围.解设,则,由余弦定理得,令.则=.当时,,而.令得.于是,当时,,单调递增;当时,,单调递减.∴当时,,即,∴.所以,的取值范围是.评注结合图形,我们估计是的一个极值,则是的一个实根,在这一目标下,我们对顽强的求导,再对明确的分解与配方,才能得到的单调性,进而解决问题.所以,在展开运算前,最好明确运算的思路与目标,否则极易半途而废.算理3整体而算对一道试题的运算,应视为一个整体.因为将它作部分的运算时,它们内部之间总会存在某种联系.因此,提高运算的全局观,是提高运算效率的有效途径.例3中,,将绕BC、AC、AB边旋转一周得到的几何体的体积分别为、、,若.求的值.解可得,,绕AB边旋转得到两个有共同底面的圆锥的组合几何体,底面的半径为,设它们的高分别为,则.∴.由得.∴,故.评注由无法求得、、的具体值,只能整体的代入消去.在解答问题的过程中,出现整体代换的情况是很常见的,当遇上时,若稍不注意,则极易陷入运算的僵局.算理4偷梁换柱在数学运算中,相同或类似的运算是经常存在的.这时,若能善用“同理”进行偷梁换柱,则可减少重复的运算,降低运算量,提高运算效率.例3设函数(),其中,.(1)设,证明:;(2)设···,···,···是1,2,···,n的任一排列,求证:++···+++···+++···+.证明(1)可得.由,,,得,,∴0=1\*GB3①.当时,=1\*GB3①取等号;当时,,在上单调递减.∴=1,得,又,于是.易得,当或时,等号成立.(2)记++···+,将该式从左到右作如下调整:若,交换与的位置,否则,不作交换.设经第一次调整后得,由(1)知,对作同样的调整得,依此下去···,经过有限次调整可得=++···+,有···,注意到以上调整等号成立的条件是···=或···=,于是++···+++···+.对于++···+,再从左到右作如下调整:若,交换与的位置,否则,不作交换.同理得++···+++···+.当···=或···=时,等号成立.综上所述,原不等式得证.评注在证明(2)中,先明前一不等式,再“同理”得到了后一不等式.避免了不少重复的运算,提高了运算效率.其实,在很多论证与推算的过程中,用“同理”作偷梁换柱,是很奏效的.在培养数学运算能力过程中,若能常常注意