天津中考压轴题汇编

2005年已知二次函数y＝ax2＋bx＋c.（Ⅰ）若a＝2，c＝－3，且二次函数的图象经过点（－1，－2），求b的值（Ⅱ）若a＝2，b＋c＝－2，b＞c，且二次函数的图象经过点（p，－2），求证：b≥0；（Ⅲ）若a＋b＋c＝0，a＞b＞c，且二次函数的图象经过点（q，－a），试问自变量x＝q＋4时，二次函数y＝ax2＋bx＋c所对应的函数值y是否大于0？并证明你的结论解：⑵当时，二次函数为，由过点（）得即∴是方程的根∵∴∴⑶由y＝ax2＋bx＋c过点（）得即∴是方程的根∵a＋b＋c＝0，a＞b＞c∴∴由得自变量x＝q＋4时，二次函数y＝ax2＋bx＋c所对应的函数值当时∵∴②当时∴当自变量x＝q＋4时，二次函数y＝ax2＋bx＋c所对应的函数值y大于02006年天津市初中毕业生学业考试试卷已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(2,4)（Ⅰ）试用含a的代数式分别表示b，c；（Ⅱ）若直线y＝kx＋4（k≠0）与y轴及该抛物线的交点依次为D、E、F，且，其中O为坐标原点，试用含a的代数式表示k；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若线段EF的长m满足，试确定a的取值范围。解：（I）由已知，可设抛物线的顶点式为即 2分（II）设E（）、F（）由方程组消去y，得 （*） ① ②又。。即由②，知x1与x2同号，∴x2=4x1 ③ 5分由②、③，得x1=1，x2=4；x1=－1，x2=－4将上面数值代入①，得解得k=a或k=－9a经验证，方程（*）的判别式△>0成立。∴k=a或k=－9a 7分（III）由勾股定理，得而由，得，即 8分由已知，即或当k=a时，有1≤a≤2或－2≤a≤－1当k=－9a时，有1≤－9≤2或－2≤－9a≤－1即或 10分2007年天津市初中毕业生学业考试试卷已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，。（1）试证明；（2）证明；（3）对于二次函数，若自变量取值为，其对应的函数值为，则当时，试比较与的大小。解：（1）将已知的一元二次方程化为一般形式即∵是该方程的两个实数根∴，（1分）而∴（2分）（2）（3分）∵∴（4分）于是，即∴（5分）（3）当时，有∵，∴①∵∴又∵∴，∵∴于是∵∴（9分）由于，∴，即∴当时，有（10分）②∵∴∴⑶利用图象法函数与直线的两交点为、接下来证明抛物线的对称轴∵∴∴∴时,抛物线在直线的上方，即>2008年天津市初中毕业生学业考试试卷已知抛物线，（Ⅰ）若，，求该抛物线与轴公共点的坐标；（Ⅱ）若，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围；（Ⅲ）若，且时，对应的；时，对应的，试判断当时，抛物线与轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．解（Ⅰ）当，时，抛物线为，方程的两个根为，．∴该抛物线与轴公共点的坐标是和． 2分（Ⅱ）当时，抛物线为，且与轴有公共点．对于方程，判别式≥0，有≤． 3分①当时，由方程，解得．此时抛物线为与轴只有一个公共点． 4分②当时，时，，时，．由已知时，该抛物线与轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为，应有即解得．综上，或． 6分（Ⅲ）对于二次函数，由已知时，；时，，又，∴．于是．而，∴，即．∴． 7分∵关于的一元二次方程的判别式，x∴抛物线与轴有两个公共点，顶点在轴下方． 8分x又该抛物线的对称轴，由，，，得，∴．又由已知时，；时，，观察图象，可知在范围内，该抛物线与轴有两个公共点． 10分2009年天津市初中毕业生学业考试试卷已知函数为方程两个根,点在函数的图象上．（Ⅰ）若，求函数的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下,若函数与的图象的两个交点为,当的面积为时，求的值；（Ⅲ）若，当时，试确定三者之间的大小关系，并说明理由．解：解（Ⅰ），.将分别代入，得，解得.函数的解析式为．（Ⅱ）由已知，得，设的高为，，即.根据题意，，由，得.当时，解得；当时，解得.的值为. 6分（Ⅲ）由已知，得.，，，化简得.，得，.有.又，，，当时，；当时，；当时，.2010年天津市初中毕业生学业考试试卷在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴的正半轴交于点，顶点为.（Ⅰ）若，，求此时抛物线顶点的坐标；（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC中满足S△BCE=S△ABC，求此时直线的解析式；（Ⅲ）将（Ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC中满足S△BCE=2S△AOC，且顶点恰好落在直线上，求此时抛物线的解析式.解：（Ⅰ）当，时，抛物线的解析式为，即.∴抛物线顶点的坐标为（1，4）．（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，则顶点在对称轴上，有，∴抛物线的解析式为（）．∴此时，抛物线与轴的交点为，顶点为．∵方程的两个根为，，∴此时，抛物线与轴的交点为，．EyxFBDAOC如图，过点作EF∥CB与轴交于点，连接，则S△BCE=SEyxFBDAOC∵S△BCE=S△ABC，∴S△BCF=S△ABC．∴．设对称轴与轴交于点，则．由EF∥CB，得．∴Rt△EDF∽Rt△COB．有．∴．结合题意，解得．∴点，．设直线的解析式为，则解得∴直线的解析式为.（Ⅲ）根据题意，设抛物线的顶点为，（，）则抛物线的解析式为，此时，抛物线与轴的交点为，与轴的交点为，.（）过点作EF∥CB与轴交于点，连接，则S△BCE=S△BCF.由S△BCE=2S△AOC，∴S△BCF=2S△AOC.得.设该抛物线的对称轴与轴交于点.则.于是，由Rt△EDF∽Rt△COB，有．∴，即．结合题意，解得．①∵点在直线上，有．②∴由①②，结合题意，解得．有，．∴抛物线的解析式为．2011年天津已知抛物线：．点F(1，1)．(Ⅰ)求抛物线的顶点坐标；(Ⅱ)①若抛物线与y轴的交点为A．连接AF，并延长交抛物线于点B，求证：②抛物线上任意一点P（）)（）．连接PF．并延长交抛物线于点Q（），试判断是否成立？请说明理由；(Ⅲ)将抛物线作适当的平移．得抛物线：，若时．恒成立，求m的最大值．解(I)/r/