2023版高考数学一轮总复习专题五立体几何中热点问题课件

专题五立体几何中热点问题题型一平面图形的翻折问题

平面图形翻折为空间图形问题，重点考查平行、垂直关系，解题关键是看翻折前后线面位置关系的变化，根据翻折的过程找到翻折前后线线位置关系中没有变化的量和发生变化的量，这些不变的和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征.[例1](2021年中卫模拟)如图5-1，四边形ABCD中，分别是线段AD，CD的中点.以EF为折痕把△DEF折起，使点D到达点P的位置，G为线段PB的中点.

图5-1(1)证明：平面GAC∥平面PEF；(2)若平面PEF⊥平面ABCFE，求直线AG与平面PAC所成角的正弦值.

(1)证明：连接

CE，由题意知，四边形ABCE为正方形，连接BE交AC于O，连接OG，所以O为BE中点，如图5-2所示，图5-2又因为G为PB中点，所以OG∥PE，因为E，F分别为AD，CD中点，所以AC∥EF，因为OG∩AC＝O，PE∩EF＝E，AC，OG⊂平面GAC，PE，EF⊂平面PEF，所以平面GAC∥平面PEF.(2)解：建立如图5-3所示的空间直角坐标系，各点坐标如下：图5-3【题后反思】三步解决平面图形翻折问题【互动探究】(1)(2)

图5-4(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；(2)若M是PA的中点，求二面角P-BC-M的余弦值.(1)证明：如图D63，设AC的中点为O，连接BO，PO.图D63因为在△PAC中，PA＝PC，O为AC的中点，所以PO⊥AC，因为AC∩OB＝O，AC，OB⊂平面ABC，所以PO⊥平面ABC，因为PO⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC.

(2)由(1)可知，PO⊥OB，PO⊥AC，OB⊥AC，以OC，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则O(0,0,0)，C(1,0,0)，B(0,1,0)，A(－1,0,0)，P(0,0,1)，题型二探索性问题

[例2](2021年上饶模拟)如图5­5所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB＝2AD＝2，点E为AB的中点.图5-5

(2)由题意可得D1D⊥平面ABCD，以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图5-6所示的空间直角坐标系，图5-6则D(0,0,0)，C(0,2,0)，A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，B(1,2,0)，E(1,1,0)，【题后反思】

(1)解决探索性问题的基本方法是假设结论成立或对象存在，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，则说明假设成立，即存在，并可进一步证明；否则不成立，即不存在.

(2)在棱上探寻一点满足各种条件时，要明确思路，设点坐标，应用共线向量定理a＝λb(b≠0)，利用向量相等，所求点坐标用λ表示，再根据条件代入，注意λ的范围. (3)利用空间向量的坐标运算，可将空间中的探索性问题转化为方程是否有解的问题进行处理.【互动探究】

2.如图5-7所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝120°，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD＝CD＝BC＝CF.图5-7(1)求证：EF⊥平面BCF；

(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.(1)证明：设

AD＝CD＝BC＝1，∵AB∥CD，∠BCD＝120°，∴AB＝2，∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos60°＝3，∴AB2＝AC2＋BC2，则BC⊥AC.∵CF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥CF，而CF∩BC＝C，CF，BC⊂平面BCF，∴AC⊥平面BCF.∵EF∥AC，∴EF⊥平面BCF.

(2)解：以

C

为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图D64所示的空间直角坐标系，图D64

题型3立体几何的综合应用

[例3]如图5-8(1)所示，正方形的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图5-8(2)所示的60°的二面角，点M在线段AB上.(1)(2)图5-8

(1)若M为AB的中点，且直线MF与由A，D，E三点所确定平面的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线OD∥平面EMC；

(2)是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°？若存在，求此时二面角M-EC-F的余弦值；若不存在，说明理由.解：(1)因为直线MF⊂平面ABFE，

故点O在平面ABFE内也在平面ADE内，所以点O在平面ABFE与平面ADE的交线上，如图5-9所示，图5-9

因为AO∥BF，M为AB的中点，

所以△OAM≌△FBM，

所以OM＝MF，AO＝BF，所以点O在EA的延长线上，且AO＝2，

连接DF交EC于点N，因为四边形CDEF为矩形，所以N是EC的中点，

连接MN，因为MN为△DOF的中位线，

所以MN∥OD，平面EMC，所以直线

又因为MN⊂平面EMC，ODOD∥平面EMC.

(2)假设存在，则由已知可得，EF⊥AE，EF⊥DE，AE∩DE＝E，所以EF⊥平面ADE，所以平面ABFE⊥平面ADE，

取AE的中点H，过H作HG⊥FB于点G，以H为坐标原点，分别以HA，HG，HD所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图5-10所示的空间直角坐标系，图5-10所以t2－4t＋3＝0，解得t＝1或t＝3，所以假设成立，即存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°.取ED的中点Q，因为EF⊥平面ADE，QA⊂平面ADE，所以QA⊥EF，【题后反思】

(1)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设.

(2)平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况.一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化.

【互动探究】

3.如图5-11(1)所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE⊥AB于点，将EADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥BE，如图5­11(2)所示.(1)(2)图5-11(1)证明：因为A1D⊥BE，DE⊥BE，A1D∩DE＝D，A1D，DE⊂平面A1DE，所以BE⊥平面A1DE