人教版2021中考数学总复习 第44讲 中考压轴解答题专练-代数综合题课件

第44讲中考压轴解答题专练(1)——代数综合题第44讲中考压轴解答题专练(1)技巧突破

类型一：

反比例函数与一次函数综合题【例1】(2020·广东）如图3-44-1，点B是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E．连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG．技巧突破类型一：反比例函数与一次函数综合题【例12（1）填空：k＝________；（2）求△BDF的面积；（3）求证：四边形BDFG为平行四边形．2解：（2）连接OD,则△BDF的面积＝△OBD的面积＝S△BOA-S△OAD＝×8-×2＝3.（1）填空：k＝________；2解：（2）连接OD,则△3（3）设点则点∵点G与点O关于点C对称，故点G（8m，0），则点E设直线DE的表达式为y＝sx+n.将点D,E的坐标代入，得解得∴直线DE的表达式为=ms+n,=4ms+n.（3）设点则点=ms+n,=4ms+n.4令y＝0，则x＝5m，故点F（5m，0）.∴FG＝8m-5m＝3m，而BD＝4m-m＝3m＝FG.又∵FG∥BD，∴四边形BDFG为平行四边形．令y＝0，则x＝5m，故点F（5m，0）.5类型二:

二次函数综合题【例2】(2019·深圳)如图3-44-3,抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（-1，0），点C（0，3），且OB＝OC.类型二:二次函数综合题【例2】(2019·深圳6（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）如图3-44-3①，点D，E是直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值；（3）如图3-44-3②，点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3∶5两部分，求点P的坐标.（1）求抛物线的解析式及其对称轴；7解：（1）∵OB＝OC，∴点B（3，0）.设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x-3）＝a（x2-2x-3）＝ax2-2ax-3a.将(0,3)代入，得-3a＝3.解得a＝-1.故抛物线的解析式为y＝-x2+2x+3.①解：（1）∵OB＝OC，∴点B（3，0）.8（2）四边形ACDE的周长为AC+DE+CD+AE，其中AC＝

DE＝1是常数，故当CD+AE最小时，四边形ACDE的周长最小.如答图3-44-1，取点C关于函数对称点C′（2，3），（2）四边形ACDE的周长为AC+DE+CD+AE，其中AC9则CD＝C′D.取点A′（-1，1），则A′D＝AE，故CD+AE＝A′D+DC′，则当A′，D，C′三点共线时，CD+AE＝A′D+DC′最小，周长也最小.∴四边形ACDE的周长的最小值为AC+DE+CD+AE＝+1+A′D+DC′＝+1+A′C′＝+1+则CD＝C′D.10（3）如答图3-44-2，设直线CP交x轴于点F.∵直线CP把四边形CBPA的面积分为3∶5两部分，且S△PCB∶S△PCA＝FB·（yC-yP）∶AF·（yC-yP）＝BF∶AF，则BF∶AF＝3∶5或5∶3.∵AB=4,∴AF＝（3）如答图3-44-2，设直线CP交x轴于点F.11则点F的坐标为设直线CF的解析式为y=kx+3,将点F的坐标代入，得k=-2或-6.∴直线CF的解析式为y＝-2x+3或y＝-6x+3.②联立①②，解得x＝4或8或0（不合题意，舍去）.故点P的坐标为（4，-5）或（8，-45）.则点F的坐标为12变式诊断1.（2019·广东）如图3-44-2，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝

的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为（-1，4），点B的坐标为（4，n）．（1）根据图象，直接写出满足k1x+b＞的x的取值范围；（2）求这两个函数的表达式；（3）点P在线段AB上，且S△AOP∶S△BOP＝1∶2，求点P的坐标．变式诊断1.（2019·广东）如图3-44-2，一次函数13解：由图象可得k1x+b＞

的x的取值范围是x＜-1或0＜x＜4.（2）∵反比例函数y＝的图象过点A（-1，4），B（4，n），∴k2＝-1×4＝-4，k2＝4n.∴n＝-1.∴B（4，-1）.∵一次函数y＝k1x+b的图象过点A，B,∴解得∴一次函数的解析式为y＝-x+3，反比例函数的解析式为y＝－k1+b=4,4k1+b=－1.k＝-1，b＝3.解：由图象可得k1x+b＞ 的x的取值范围是x＜-1或0＜x14（3）如答图3-44-3.设直线AB与y轴的交点为C，∴C（0，3）.∵S△AOC＝∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×1+×3×4＝∵S△AOP∶S△BOP＝1∶2，∴S△AOP＝∴S△COP＝＝1.∴×3·xp＝1，即xp＝∵点P在线段AB上，∴yP＝∴P（3）如答图3-44-3.设直线AB与y轴的交点为C，∴C（152.(2020·天水改编）如图3-44-4，拋物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为A（-2，0），点C的坐标为C（0，6），对称轴为直线x＝1．点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4），连接AC，BC，DC，DB．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的值.2.(2020·天水改编）如图3-44-4，拋物线y＝ax216解：（1）由题意,得=1,4a－2b+c=0,c=6.解得a=b=c=6.∴抛物线的函数表达式为y＝

x+6.解：（1）由题意,得=1,4a－2b+c=0,解得a=b=c17（2）如答图3-44-4,过点D作DE⊥x轴于点E，交BC于点G，过点C作CF⊥ED交ED的延长线于点F.∵点A的坐标为（-2，0），点C的坐标为（0，6），∴OA＝2，OC＝6.∴S△AOC＝OA·OC＝×2×6＝6.∴S△BCD＝S△AOC＝×6＝当y＝0时， +6＝0，解得x1＝-2，x2＝4.（2）如答图3-44-4,过点D作DE⊥x轴于点E，交BC于18∴点B的坐标为（4，0）.设直线BC的函数表达式为y＝kx+n.∴直线BC的函数表达式为y＝

x+6.∵点D的横坐标为m（1＜m＜4），∴点D的坐标为则4k+n=0,n=6.解得k=n=6.∴点B的坐标为（4，0）.则4k+n=0,解得k=n=6.19点G的坐标为∴DG=3m，CF＝m，BE＝4-m.点G的坐标为20∴S△BCD＝S△CDG+S△BDG＝DG·CF+DG·BE＝DG×（CF+BE）＝ ×（m+4-m）＝ m2+6m.∴解得m1＝1（不合题意，舍去），m2＝3.∴m的值为3.∴S△BCD＝S△CDG+S△BDG21强化训练3.（2018·大庆）如图3-44-5，A（4，3）是反比例函数y=在第一象限图象上一点，连接OA，过点A作AB∥x轴，截取AB=OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y=的图象于点P．（1）求反比例函数y=的解析式；（2）求点B的坐标；（3）求△OAP的面积．强化训练3.（2018·大庆）如图3-44-5，A（4，3）22解：（1）将点A（4，3）代入y=得k=12.则反比例函数的解析式为y=（2）如答图3-44-5，过点A作AC⊥x轴于点C.则OC=4，AC=3，∴OA=

=5.∵AB∥x轴，且AB=OA=5，∴点B的坐标为（9，3）.解：（1）将点A（4，3）代入y=得k=12.则反比23（3）∵点B的坐标为（9，3），∴OB所在直线的解析式为y=x.由可得点P的坐标为（6，2）.如答图3-44-5,过点P作PD⊥x轴，延长DP交AB于点E，则点E坐标为（6，3）.∴AE=2，PE=1，PD=2.∴△OAP的面积为×（2+6）×3-×6×2-×2×1=5．（3）∵点B的坐标为（9，3），∴OB所在直线的解析式为由244.（2019·西藏）如图3-44-6①，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（-3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.4.（2019·西藏）如图3-44-6①，抛物线y＝ax225（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？（3）在图3-44-6②中过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.（1）求抛物线的解析式；26解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B（-3，0），C（1，0），∴解得∴抛物线的解析式为y＝-x2-2x+3.9a-3b+3=0，a+b+3=0.a=-1,b=-2.解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B（-3，0），C27（2）如答图3-44-6，过点P作PH⊥x轴于点H，交AB于点F.∵当x＝0时，y＝-x2-2x+3＝3,∴A（0，3）.∴直线AB的解析式为y＝x+3.又∵点P在线段AB上方抛物线上,∴设P（t，-t2-2t+3）（-3＜t＜0），则F（t，t+3）.∴PF＝-t2-2t+3-（t+3）＝-t2-3t.（2）如答图3-44-6，过点P作PH⊥x轴于点H，交AB于28∴S△PAB＝S△PAF+S△PBF＝PF·OH+PF·BH＝PF·OB＝（-t2-3t）＝∴点P运动到坐标为

处时，△PAB的面积最大.∴S△PAB＝S△PAF+S△PBF＝PF·OH+29（3）如答图3-44-7，存在点P使△PDE为等腰直角三角形.设P（t，-t2-2t+3）（-3＜t＜0），D（t，t+3）,则PD＝-t2-2t+3-（t+3）＝-t2-3t.∵抛物线y＝-x2-2x+3＝-（x+1）2+4,∴对称轴为直线x＝-1.（3）如答图3-44-7，存在点P使△PDE为等腰直角三角形30∵PE∥x轴交抛物线于点E,∴yE＝yP，即点E,P关于对称轴对称.∴∴xE＝-2-xP＝-2-t.∴PE＝|xE-xP|＝|-2-2t|.∵△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90°,∴PD＝PE.①当-3＜t≤-1时，PE＝-2-2t,∴-t2-3t＝-2-2t.解得t1＝1（舍去），t2＝-2,∴P（-2，3）;∵PE∥x轴交抛物线于点E,∴yE＝yP，即点E,P关于对称31②当-1＜t＜0时，PE＝2+2t，∴-t2-3t＝2+2t.解得t1＝（舍去）.∴P综上所述，点P的坐标为（-2，3）或时，△PDE为等腰直角三角形.②当-1＜t＜0时，PE＝2+2t，325.（2019·广州）已知抛物线G：y=mx2-2mx-3有最低点．（1）求二次函数y=mx2-2mx-3的最小值（用含m的式子表示）；（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围.5.（2019·广州）已知抛物线G：y=mx2-2mx-3有33解：（1）∵y=mx2-2mx-3=m（x-1）2-m-3，抛物线有最低点，∴二次函数y=mx2-2mx-3的最小值为-m-3.（2）∵抛物线G：y=m（x-1）2-m-3，∴平移后的抛物线G1：y=m（x-1-m）2-m-3.∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，-m-3）.∴x=m+1，y=-m-3.∴x+y=m+1-m-3=-2，即x+y=-2，变形得y=-x-2.∵m＞0，m=x-1，∴x-1＞0.∴x＞1.∴y与x的函数关系式为y=-x-2（x＞1）.解：（1）∵y=mx2-2mx-3=m（x-1）2-m-3，34（3）法一：如图3-44-8，函数H：y=-x-2（x＞1）图象为射线.当x=1时，y=-1-2=-3；当x=2时，y=-2-2=-4.∴函数H的图象恒过点B（2，-4）.∵抛物线G：y=m（x-1）2-m-3，则当x=1时，y=-m-3；当x=2时，y=m-m-3=-3.∴抛物线G恒过点A（2，-3）.由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则yB＜yP＜yA.∴点P纵坐标的取值范围为-4＜yP＜-3.（3）法一：如图3-44-8，函数H：y=-x-2（x＞1）35法二：由整理，得m（x2-2x）=1-x.∵x＞1，且当x=2时，方程为0=-1不成立，∴x≠2，即x2-2x=x（x-2）≠0.∴m=

＞0.∵x＞1，∴1-x＜0，x（x-2）＜0.∴x-2＜0，即x＜2.∴1＜x＜2.∵yP=-x-2，∴-4＜yP＜-3.y=－x－2,y=mx2－2mx－3.法二：由y=－x－2,36

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类型一：

反比例函数与一次函数综合题【例1】(2020·广东）如图3-44-1，点B是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E．连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG．技巧突破类型一：反比例函数与一次函数综合题【例139（1）填空：k＝________；（2）求△BDF的面积；（3）求证：四边形BDFG为平行四边形．2解：（2）连接OD,则△BDF的面积＝△OBD的面积＝S△BOA-S△OAD＝×8-×2＝3.（1）填空：k＝________；2解：（2）连接OD,则△40（3）设点则点∵点G与点O关于点C对称，故点G（8m，0），则点E设直线DE的表达式为y＝sx+n.将点D,E的坐标代入，得解得∴直线DE的表达式为=ms+n,=4ms+n.（3）设点则点=ms+n,=4ms+n.41令y＝0，则x＝5m，故点F（5m，0）.∴FG＝8m-5m＝3m，而BD＝4m-m＝3m＝FG.又∵FG∥BD，∴四边形BDFG为平行四边形．令y＝0，则x＝5m，故点F（5m，0）.42类型二:

二次函数综合题【例2】(2019·深圳)如图3-44-3,抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（-1，0），点C（0，3），且OB＝OC.类型二:二次函数综合题【例2】(2019·深圳43（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）如图3-44-3①，点D，E是直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值；（3）如图3-44-3②，点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3∶5两部分，求点P的坐标.（1）求抛物线的解析式及其对称轴；44解：（1）∵OB＝OC，∴点B（3，0）.设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x-3）＝a（x2-2x-3）＝ax2-2ax-3a.将(0,3)代入，得-3a＝3.解得a＝-1.故抛物线的解析式为y＝-x2+2x+3.①解：（1）∵OB＝OC，∴点B（3，0）.45（2）四边形ACDE的周长为AC+DE+CD+AE，其中AC＝

DE＝1是常数，故当CD+AE最小时，四边形ACDE的周长最小.如答图3-44-1，取点C关于函数对称点C′（2，3），（2）四边形ACDE的周长为AC+DE+CD+AE，其中AC46则CD＝C′D.取点A′（-1，1），则A′D＝AE，故CD+AE＝A′D+DC′，则当A′，D，C′三点共线时，CD+AE＝A′D+DC′最小，周长也最小.∴四边形ACDE的周长的最小值为AC+DE+CD+AE＝+1+A′D+DC′＝+1+A′C′＝+1+则CD＝C′D.47（3）如答图3-44-2，设直线CP交x轴于点F.∵直线CP把四边形CBPA的面积分为3∶5两部分，且S△PCB∶S△PCA＝FB·（yC-yP）∶AF·（yC-yP）＝BF∶AF，则BF∶AF＝3∶5或5∶3.∵AB=4,∴AF＝（3）如答图3-44-2，设直线CP交x轴于点F.48则点F的坐标为设直线CF的解析式为y=kx+3,将点F的坐标代入，得k=-2或-6.∴直线CF的解析式为y＝-2x+3或y＝-6x+3.②联立①②，解得x＝4或8或0（不合题意，舍去）.故点P的坐标为（4，-5）或（8，-45）.则点F的坐标为49变式诊断1.（2019·广东）如图3-44-2，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝

的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为（-1，4），点B的坐标为（4，n）．（1）根据图象，直接写出满足k1x+b＞的x的取值范围；（2）求这两个函数的表达式；（3）点P在线段AB上，且S△AOP∶S△BOP＝1∶2，求点P的坐标．变式诊断1.（2019·广东）如图3-44-2，一次函数50解：由图象可得k1x+b＞

的x的取值范围是x＜-1或0＜x＜4.（2）∵反比例函数y＝的图象过点A（-1，4），B（4，n），∴k2＝-1×4＝-4，k2＝4n.∴n＝-1.∴B（4，-1）.∵一次函数y＝k1x+b的图象过点A，B,∴解得∴一次函数的解析式为y＝-x+3，反比例函数的解析式为y＝－k1+b=4,4k1+b=－1.k＝-1，b＝3.解：由图象可得k1x+b＞ 的x的取值范围是x＜-1或0＜x51（3）如答图3-44-3.设直线AB与y轴的交点为C，∴C（0，3）.∵S△AOC＝∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×1+×3×4＝∵S△AOP∶S△BOP＝1∶2，∴S△AOP＝∴S△COP＝＝1.∴×3·xp＝1，即xp＝∵点P在线段AB上，∴yP＝∴P（3）如答图3-44-3.设直线AB与y轴的交点为C，∴C（522.(2020·天水改编）如图3-44-4，拋物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为A（-2，0），点C的坐标为C（0，6），对称轴为直线x＝1．点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4），连接AC，BC，DC，DB．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的值.2.(2020·天水改编）如图3-44-4，拋物线y＝ax253解：（1）由题意,得=1,4a－2b+c=0,c=6.解得a=b=c=6.∴抛物线的函数表达式为y＝

x+6.解：（1）由题意,得=1,4a－2b+c=0,解得a=b=c54（2）如答图3-44-4,过点D作DE⊥x轴于点E，交BC于点G，过点C作CF⊥ED交ED的延长线于点F.∵点A的坐标为（-2，0），点C的坐标为（0，6），∴OA＝2，OC＝6.∴S△AOC＝OA·OC＝×2×6＝6.∴S△BCD＝S△AOC＝×6＝当y＝0时， +6＝0，解得x1＝-2，x2＝4.（2）如答图3-44-4,过点D作DE⊥x轴于点E，交BC于55∴点B的坐标为（4，0）.设直线BC的函数表达式为y＝kx+n.∴直线BC的函数表达式为y＝

x+6.∵点D的横坐标为m（1＜m＜4），∴点D的坐标为则4k+n=0,n=6.解得k=n=6.∴点B的坐标为（4，0）.则4k+n=0,解得k=n=6.56点G的坐标为∴DG=3m，CF＝m，BE＝4-m.点G的坐标为57∴S△BCD＝S△CDG+S△BDG＝DG·CF+DG·BE＝DG×（CF+BE）＝ ×（m+4-m）＝ m2+6m.∴解得m1＝1（不合题意，舍去），m2＝3.∴m的值为3.∴S△BCD＝S△CDG+S△BDG58强化训练3.（2018·大庆）如图3-44-5，A（4，3）是反比例函数y=在第一象限图象上一点，连接OA，过点A作AB∥x轴，截取AB=OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y=的图象于点P．（1）求反比例函数y=的解析式；（2）求点B的坐标；（3）求△OAP的面积．强化训练3.（2018·大庆）如图3-44-5，A（4，3）59解：（1）将点A（4，3）代入y=得k=12.则反比例函数的解析式为y=（2）如答图3-44-5，过点A作AC⊥x轴于点C.则OC=4，AC=3，∴OA=

=5.∵AB∥x轴，且AB=OA=5，∴点B的坐标为（9，3）.解：（1）将点A（4，3）代入y=得k=12.则反比60（3）∵点B的坐标为（9，3），∴OB所在直线的解析式为y=x.由可得点P的坐标为（6，2）.如答图3-44-5,过点P作PD⊥x轴，延长DP交AB于点E，则点E坐标为（6，3）.∴AE=2，PE=1，PD=2.∴△OAP的面积为×（2+6）×3-×6×2-×2×1=5．（3）∵点B的坐标为（9，3），∴OB所在直线的解析式为由614.（2019·西藏）如图3-44-6①，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（-3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.4.（2019·西藏）如图3-44-6①，抛物线y＝ax262（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？（3）在图3-44-6②中过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.（1）求抛物线的解析式；63解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B（-3，0），C（1，0），∴解得∴抛物线的解析式为y＝-x2-2x+3.9a-3b+3=0，a+b+3=0.a=-1,b=-2.解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B（-3，0），C64（2）如答图3-44-6，过点P作PH⊥x轴于点H，交AB于点F.∵当x＝0时，y＝-x2-2x+3＝3,∴A（0，3）.∴直线AB的解析式为y＝x+3.又∵点P在线段AB上方抛物线上,∴设P（t，-t2-2t+3）（-3＜t＜0），则F（t，t+3）.∴PF＝-t2-2t+3-（t+3）＝-t2-3t.（2）如答图3-44-6，过点P作PH⊥x轴于点H，交AB于65∴S△PAB＝S△PAF+S△PBF＝PF·OH+PF·BH＝PF·OB＝（-t2-3t）＝∴点P运动到坐标为

处时，△PAB的面积最大.∴S△PAB＝S△PAF+S△PBF＝PF·OH+66（3）如答图3-44-7，存在点P使△PDE为等腰直角三角形.设P（t，-t2-2t+3）（-3＜t＜0），D（t，t+3）,则PD＝-t2-2t+3-（t+3）＝-t2-3t.∵抛物线y＝-x2-2x+3＝-（x+1）2+4,∴对称轴为直线x＝-1.（3）如答图3-44-7，存在点P使△PDE为等腰直角三角形67∵PE∥x轴交抛物线于点E,∴yE＝yP，即点E,P关于对称轴对称.∴∴xE＝-2-xP＝-2-t.∴PE＝|xE-xP|＝|-2-2t|.∵△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90°,∴PD＝PE.①当-3＜t≤-1时，PE