斜率乘积为定值的问题探究安金龙

.PAGE.斜率乘积为定值的问题探究[教学目标]会合理选择参数〔坐标、斜率等表示动态几何对象和几何量,探究、证明动态图形中的不变性质,体会"设而不求"、"整体代换"在简化运算中作用．[教学难、重点]解题思路的优化．[教学过程]一．基础知识、基本方法梳理问题1．已知AB是圆O的直径,点P是圆O上异于A,B的两点,直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,则k1.k2=.问题2．〔类比迁移1点P是椭圆上上异于长轴端点以外的任一点,A、B是该椭圆长轴的两个端点,直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,则k1k2=.y问题3.〔引申拓展1求证：椭圆y长轴的两个端点与椭圆上除这两个顶点外的任一点连线斜率之积为．问题4.〔引申拓展2设A、B是椭圆上关于原点对称的两点,点P是该椭圆上不同于A,B的任一点,直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,则k1k2是否为定值？并给予证明．问题5.〔类比迁移2设A、B是双曲线上关于原点对称的两点,点P是该双曲线上不同于A,B的任一点,直线PA,PB的斜率是k1,k2,猜想k1k2是否为定值？并给予证明．知识梳理：结论1.设A、B是椭圆上关于原点对称的两点,点P是该椭圆上不同于A,B的任一点,直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,则．结论2.设A、B是双曲线上关于原点对称的两点,点P是该双曲线上不同于A,B的任一点,直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,则．友情提醒：以上两结论在解决填空题的时候,在你确保结论没记错的前提下,你可任性地使用；但：在解决解答题的时候,若要用到该结论,不可任性,需要进行简单的证明,否则,受伤的只是你。二．基础训练1.<2012天津理19改编>设椭圆的左、右顶点分别为,点P在椭圆上且异于两点,若直线AP与BP的斜率之积为,则椭圆的离心率为.解析：利用kAP·kBP＝,很快可以得到椭圆的离心率为eq\f<\r<2>,2>.2.如图2,在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,B、C分别为椭圆的上、下顶点,直线BF2与椭圆的另一交点为D.若cos∠F1BF2＝eq\f<7,25>,则直线CD的斜率为．解析：由已知可得,所以,所以,又因为,且,所以,所以．3.〔2016如东月考已知椭圆,点为其长轴的6等分点,分别过这五点作斜率为的一组平行线,交椭圆于点,则这10条直线,的斜率的乘积为．变式.〔吓吓你已知椭圆,点为其长轴的2018个等分点,分别过这2017个点作斜率为的一组平行线,交椭圆于点,则这4034条直线,的斜率的乘积为．图34.〔2011XX18改编如图3,已知椭圆方程为,过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k,对任意,图3求证：PA⊥PB．分析：可以转化为证明KPAKPB=-1,注意到KABKPB==．法一：由题意设,A、C、B三点共线,又因为点P、B在椭圆上,,两式相减得：,,．法二：设,A、C、B三点共线,又因为点A、B在椭圆上,,两式相减得：,,．法三：设,则,,,即,设,因为,,所以,又因为,在椭圆上,所以,,所以,所以,所以,即．方法梳理：一.解决直线和圆锥曲线问题的一般方法：Step1设〔点的坐标、直线方程、曲线方程；Step2代〔点的坐标代入方程,方程联立方程组代入消元；Step1化〔化简方程,解方程.二.常用的化简策略"设而不求",整体代换三.解决此类问题的基本要求1、"思路清晰","出路通达"；2、书写规范,推算严谨。三.典型例题例1.〔XX市、XX市2017一模改编已知椭圆的方程,直线,〔交椭圆于两点,为弦的中点,,记直线的斜率分别为,当时,求的值.解：〔1方法一：设,,,联立,消去,得,因为,,所以恒成立,,,又,所以,所以,,则.方法二：设,,,则,两式作差,得,又,,∴,∴,又,在直线上,∴,∴,①又在直线上,∴,②由①②可得,,所以,,所以.例2.〔2013苏北四市模考题改编如图,在平面直角坐标系中,椭圆,若点,分别是椭圆的左、右顶点,直线经过点且垂直于轴,点是椭圆上异于,的任意一点,直线交于点.〔1设直线的斜率为直线的斜率为,求证：为定值；〔2设过点垂直于的直线为.求证：直线过定点,并求出定点的坐标.解．〔1法一、设,,则,,因为三点共线,所以,所以,,因为在椭圆上,所以,故为定值．法二、设,因为,所以所以,又因为在椭圆上,所以,所以,设直线的方程为,则直线的斜率为,,直线的斜率为,所以为定值．〔2法一、直线的斜率为,直线的斜率为,则直线的方程为,==,所以直线过定点．法二、由〔1知,又因为,所以,所以,若记直线与轴的交点为,则,即,所以,又,所以,所以点的坐标为,故直线过定点．例3：已知椭圆方程C的方程为,为椭圆的左、右顶点,点S为椭圆C上位于轴上方的动点,直线AS,BS与直线分别交于M,N两点.〔1试求线段MN的长度的最小值；〔2试问：以线段MN为直径的圆是否过定点,并证明你的结论.解：〔1方法一.由已知可得,,设的方程为,,则,联立方程组,整理可得,所以,,所以,设,又因为三点共线,所以,且,,所以,即,所以,所以,当且仅当,即时取等号.所以线段MN的长度的最小值为.方法二.由已知可得,,设的方程为,,则,由于,所以,所以可设的方程为,则,所以,且仅当,即时取等号.所以线段MN的长度的最小值为.〔2法一.由〔1知,,所以以线段MN为直径的圆的方程为,即<*>,当时,对于任意大于0的实数<*>式恒成立,所以,或即以线段MN为直径的圆是恒过定点和.法二.假设以线段MN为直径的圆是恒过定点,由〔1可得,,所以,又,,所以对于任意大于0的实数都成立,即<*>,当时<*>式恒成立,所以,或即以线段MN为直径的圆是恒过定点和.引申：若直线方程变为时,以上问题的结果又如何呢？由已知可得,,设的方程为,,则,由于,所以,所以可设的方程为,则,所以,当且仅当,即时取等号.所以线段MN的长度的最小值为.〔2假设以线段MN为直径的圆是恒过定点,由〔1知,,所以,又,,所以对于任意大于0的实数都成立,即<*>,当时<*>式恒成立,所以,或即以线段MN为直径的圆是恒过定点和.当时,以上的结论又如何？〔1MN的长度的最小值为；〔2当时,以线段MN为直径的圆是恒过定点和；当时,以线段MN为直径的圆是恒过定点和.四.课堂小结五.巩固练习1.〔2015全国卷2理20已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴,与有两个交点,,线段的中点为．<Ⅰ>证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；〔Ⅱ若过点,延长线段与交于点,四边形能否为平行四边形？若能,求此时的斜率,若不能,说明理由．试题分析：<Ⅰ>题中涉及弦的中点坐标问题,故可以采取"点差法"或"韦达定理"两种方法求解：设端点的坐标,代入椭圆方程并作差,出现弦的中点和直线的斜率；设直线的方程同时和椭圆方程联立,利用韦达定理求弦的中点,并寻找两条直线斜率关系；〔Ⅱ根据<Ⅰ>中结论,设直线方程并与椭圆方程联立,求得坐标,利用以及直线过点列方程求的值．试题解析：<Ⅰ>设直线,,,．将代入得,故,．于是直线的斜率,即．所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值．〔Ⅱ四边形能为平行四边形．因为直线过点,所以不过原点且与有两个交点的充要条件是,．由<Ⅰ>得的方程为．设点的横坐标为．由得,即．将点的坐标代入直线的方程得,因此．四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分,即．于是．解得,．因为,,2,所以当的斜率为或时,四边形为平行四边形．2.〔2015上海理.已知椭圆,过原点的两条直线和分别于椭圆交于和,记得到的平行四边形的面积为.〔1设,,用的坐标表示点到直线的距离,并证明；〔2若和的斜率之积为,试求的值.解析：依题意,直线的方程为,由点到直线的距离公式得点到的距离为,因为,所以〔2方法一：设直线的斜率为,则直线的斜率为,设直线的的方程为,联立方程组,消去解得,根据对称性,设,则,同理可得,则,所以.方法二：设直线、的斜率分别为、,则,所以,所以,因为,在椭圆上,所以,即,所以,即,所以.3．<2016XX文21>已知椭圆的长轴长为4,焦距为.〔I求椭圆C的方程；<Ⅱ>过动点M<0,m><m>0>的直线交x轴与点N,交C于点A,P<P在第一象限>,且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长线QM交C于点B/r/