第8讲　数列、等差数列与等比数列

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考点考法探究1.[2019·全国卷Ⅲ]已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=(

)A.16 B.8 C.4 D.2C

真知真题扫描2.[2020·全国卷Ⅱ]数列{an}中,a1=2,am+n=aman,若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,则k=(

)A.2 B.3 C.4 D.5C真知真题扫描

3.[2020·全国卷Ⅱ]北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层,上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)(

)A.3699块 B.3474块C.3402块 D.3339块C真知真题扫描图M3-8-1真知真题扫描

图M3-8-14.[2021·北京卷]《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出,中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗,通用规格有五种.这五种规格党旗的长a1,a2,a3,a4,a5(单位:cm)成等差数列,对应的宽为b1,b2,b3,b4,b5(单位:cm),且长与宽之比都相等.已知a1=288,a5=96,b1=192,则b3=(

)A.64 B.96 C.128 D.160C真知真题扫描

5.[2020·全国新高考Ⅰ卷]将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为

.

真知真题扫描

4真知真题扫描

真知真题扫描

真知真题扫描[解析]由题意知,对折方式分为横折和竖折两种,第一次对折时,有横、竖两种折法,可得到2种规格的图形,第二次对折时,第一个图形可得到2种规格的图形,从第二个图形开始,对折得到的2种图形中有一种与前面得到的图形相同,故对折2次共可以得到3种不同规格的图形,对折3次共可以得到4种不同规格的图形,对折4次共可以得到5种不同规格的图形……对折n次共可以得到(n+1)种不同规格的图形.真知真题扫描

考点1等差、等比数列的基本计算考点考法探究

A

考点考法探究(2)设{an}为等比数列,{bn}为等差数列,且Sn为数列{bn}的前n项和.若a2=1,a10=16,且a6=b6,则S11=(

)A.20 B.30 C.44 D.88C

考点考法探究【规律提炼】

等差、等比数列的基本量问题主要涉及函数与方程的思想,难度不大,重点在于利用数列的基本性质构建方程,进而求得基本量,运算时要避免粗心的问题.考点考法探究

C

自测题考点考法探究2.已知数列{an},{bn},{cn}均为等差数列,且a1+b1+c1=1,a2+b2+c2=3,则a2021+b2021+c2021= (

)A.4037 B.4039C.4041 D.4043C[解析]由题知数列{an+bn+cn}是以1为首项,2为公差的等差数列,所以a2021+b2021+c2021=1+2020×2=4041.故选C.自测题考点2等差、等比数列的性质考点考法探究例2(1)已知函数f(x)=lnx,数列{an}是公差为1的等差数列,且an=f(xn),若x1+x2+x3+…+x100=e,则ln(x201+x202+x203+…+x300)=(

)A.e100 B.e201 C.100 D.201D

考点考法探究(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S7=28,则a2+a3+a7的值为

.

12

考点考法探究1.已知等差数列{an}满足a3+a6+a8+a11=12,则a4-3a6的值为(

)A.-6 B.6 C.-12 D.12A自测题[解析]

∵a3+a6+a8+a11=12,∴4a7=12,解得a7=3.设等差数列{an}的公差为d,则a4-3a6=a1+3d-3(a1+5d)=-2(a1+6d)=-2a7=-6.故选A.考点考法探究

自测题

考点3等差、等比数列的综合问题考点考法探究

A

考点考法探究(2)(多选题)设数列{an}的前n项和为Sn,若an+Sn=An2+Bn+C,则下列说法中正确的有(

)A.存在A,B,C,使得{an}是等差数列B.存在A,B,C,使得{an}是等比数列C.对任意A,B,C,{an}一定是等差数列D.存在A,B,C,使得{an}既不是等差数列也不是等比数列ABD考点考法探究

考点考法探究

(2,3)自测题

考点考法探究2.共享单车已经成为方便人们出行的交通工具,某公司决定从2020年1月开始向某地投放共享单车,记第n(n∈N*)个月共享单车的投放量和损失量分别为an和bn(单位:千辆),其中a1=1,b1=0.1.从第2个月到2021年12月,共享单车的每月投放量比上个月增加1千辆,从2022年1月开始,共享单车的每月投放量比上个月减少1千辆.根据预测,从2020年2月开始,共享单车的每月损失量比上个月增加100辆.设第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差,则该地区第4个月底的共享单车的保有量为

千辆;当n为

时,该地区第n个月底的共享单车保有量达到最大.

自测题

考点考法探究自测题

考点4与递推数列有关的综合问题考点考法探究例4(1)已知数列{an}的前n项和为Sn,且an+1=an+2n-1,a1=2,则满足Sn≥128的n的最小值为(

)A.5 B.6 C.7 D.8C[解析]由an+1=an+2n-1,a1=2,得a2=3,a3=5,…,a7=65,所以S7=a1+a2+…+a7=134,又S6=69,所以满足Sn≥128的n的最小值为7,故选C.考点考法探究(2)[2021·北京卷]已知{an}是各项均为整数的递增数列,且a1≥3.若a1+a2+…+an=100,则n的最大值为(

)A.9 B.10 C.11 D.12C

考点考法探究

考点考法探究【规律提炼】

利用数列的递推公式求解数列的项,经常会运用等差、等比数列的定义与其前n项和公式.根据数列的递推关系式,合理利用累加法、递推、归纳等方法是解答的关键.考点考法探究

A自测题

考点考法探究

BD自测题考点考法探究自测题

考点考法探究自测题

考点考法探究

83自测题考点考法探究自测题

[备选理由]例1考查利用一阶线性递推公式求通项公式,属于难题,掌握常见的一阶线性递推公式an+1=pan+q的变形是解题的关键;例2考查用函数方法解决数列问题及分类讨论的思想,考查了学生的逻辑推理、数学运算的能力;例3是数列应用题,考查学生读题与建模能力,同时考查了基本不等式的应用,属于中档题;例4考查等比数列的性质,可以培养学生的逻辑思维与判断能力,同时考查学生的分类讨论思想的应用;例5考查等差数列通项公式及数列增减性的应用,解题的关键是要利用数列的增减性结合已知条件求解;例6考查我国文化在数学中的渗透,可以让学生增长见识,领略我国文化的博大精深,提高数学应用水平;例7考查数列与解三角形的综合运用,题目中贯穿着数形结合的思想,并同时考查学生的推理能力;例8考查等差数列与等比数列的定义,难度适中;例9的解题思路是先放缩,再求和,最后比较大小,是一道难题.备用例题例1

[配例4使用]已知数列{an},{bn}满足a1=1,b1=6,an+1=2an,bn+1=2bn-2an(n∈N*).若ak=bk,则k的值是(

)A.4 B.5 C.6 D.7C备用例题

A备用例题

A备用例题

C备用例题备用例题

例4[配例2使用]设等比数列{an}的前n项和为Sn,其中n∈N*,则下列说法正确的是 (

)A.若a3>a1>0,则an>0(n=1,2,3,…)B.若a3>a1>0,则Sn>0(n=1,2,3,…)C.若a3+a2+a1>a2+a1>0,则Sn>0(n=1,2,3,…)D.若a3+a2+a1>a2+a1>0,则an>0(n=1,2,3,…)C备用例题备用例题

B备用例题

例6[配例3使用]《周髀算经》是我国古代的天文学和数学著作,其中有一个问题大意如下:一年有二十四个节气,每个节气的晷长损益相同(即太阳照射物体的影子长度增加和减少的大小相同),二十四个节气及晷长变化如图所示,若冬至的晷长为一丈三尺五寸,夏至的晷长为一尺五寸(注:一丈等于十尺,一尺等于十寸),则立秋的晷长为(

)A.五寸 B.二尺五寸C.三尺五寸 D.四尺五寸D备用例题备用例题[解析]设从夏至到冬至,第n个节气的晷长为an,n∈N*,即夏至的晷长为a1=15(寸),冬至