第16关 正态分布1

猴哥朝，全网免寇分享，请勿艦卖！猴哥朝，全网免寇分享，请勿艦卖！潜心研究真劉为您指引明灯站恥，瑟^^，潜心研究真劉为您指引明灯站恥，瑟^^，猴哥朝，全网免寇分享，请勿艦卖！猴哥朝，全网免寇分享，请勿艦卖！ 2潜心研究真劉为您指引明灯站恥，瑟^^，潜心研究真劉为您指引明灯站恥，瑟^^，第16关正态分布.正态分布正态分布的定义及表示如果对于任何实数aM(a〈b),随机变量X满足P[a<X<b)=^(pikO(^>则称X的分布为正态分布，记作Ng旳.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值(一般会告诉)G)P(/i-a<X</i+a)=0.6826®P(/i-2a<X</i+2(7)=0.9544®P(/i-2a<X</i+2a)=0.9974.正态曲线的性质正态曲线Gs(x)=xe(-8,Ho)有以下性质:正态曲线Gs(x)=xe(-8,Ho)有以下性质:⑴畛位于X祉方，与X轴不相交5<2)畛是单峰的，它关于直线X"稲;<3)昵戋在x=〃处达到峰值(4)昵戋与x轴围成的图形的面积为1;(5)当b一定时，蟀随着，酸化而沿X轴珞⑹当“一定时，衅的形状由o■确定，o■越卜艘越“瘦高”，表示总体的分布礙中；b越大，艘越“镂胖”，表示总体的分布越分散..三个邻域会用正态总体在三个特殊区间内取值的祇率值结合正态曲线求随机变量的概率.落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据.【高考速递1（2017全国I,理19）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N"）.（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（〃-3。〃+3。）之外的零件数，求P（XZl）及X的数学期望;（2）—天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（〃-3。〃+3。）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.（i） 试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ii） 下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得无=£g^=9.97,s= 对2=&§蚌-16旳展.212,其中改为抽取的第，个零件的尺寸，，=12…,16.用样本平均数无作为〃的估计值用样本标准差s作为b的估计值云，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除+之外的数据,用剩下的数据估计〃和b（精确到0.01）.附：若随机变量z服从正态分布N3O2）,则P（〃-3b<Z<〃+3b）=0.9974,0.997416a0.9592,J0.008幻0.09.【参考解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在（//-3O-JZ+3C7）之内的概率为0.9974,从而零件的尺寸在（〃-35卩,36之外的概率为0.0026,故X〜8（16,0.0026）.因此P（X>1）=1-P（X=0）=1-0.99741600.0408.X的数学期望为EY=16x0.0026=0.C416.（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（〃-3勿〃+3。）之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在3。〃+3<7）之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产潺进行检查，可见上述监控生产过程的方法是落心研究其啓，为您指引明灯落心研究其啓，为您指引明灯猴哥朝，全网免寇分享，请勿艦卖！猴哥朝，全网免寇分享，请勿艦卖！落心研究其啓，为您指引明灯落心研究其啓，为您指引明灯猴哥朝，全网免寇分享，请勿艦卖！猴哥朝，全网免寇分享，请勿艦卖！合理的.（H）由x=9.97,5«0.212,得〃的估计值为R=9.97,b的估计值为糸=0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在（B-3&E饥之外，因此需对当天的生产过程进行检查.易惓（〃-3$0+3分之外的数据9.22,剩下数据的平均数为土（16x9.97-9.22）=10.02,因此//的估计值为10.02.162x-=16x0.2122+16x9.972^1591.134,f-1易嶂（〃—3$0+3分之外的数据9.22,乘怀数据的样本方差为£（1591.134-9.222-15x10.022）^0.008,因此b的估计值为V0.008幻0.09.【名师点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平.求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望.正态分布是一种重要的分布，之前考过一次，尤其是正态分布的3b原则.18.（2014新课标1卷理18）从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：频率，组距0.0400.0380.0360.0340.0320.0300.0280.0260.0240.0220.0200.0180.0160.0140.0120.0100.0080.0060.0040.002”75 85 95 105 115 125 质薑指标值求这500件产品质量指标值的样本平均数I和样本方差長(同一组数据用该区间的中点值作代表)；由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N®),其中〃近似为样本平均数員，〃近似为样本方差?.⑴利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.&212.2)的产品件数.利用⑴的结果，求政.附：应5q2.2.若Z~N(〃02),贝\\P(n-6<Z<n+S)=0.6826,P(〃—2J<Z<〃+25)=0.9544.【思路引导】运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；(/)由(I)知Z〜N(200,150),从而求出P(187.8<Z<212.2),注意运用所给数据；潜心研究真劉为您指引明灯站恥，瑟^^，潜心研究真劉为您指引明灯站恥，瑟^^，猴哥朝，全网免寇分享，请勿艦卖！猴哥朝，全网免寇分享，请勿艦卖！落心研究其啓，为您指引明灯落心研究其啓，为您指引明灯猴哥朝，全网免寇分享，请勿艦卖！猴哥朝，全网免寇分享，请勿艦卖！（//）由0）知X-B（100,0.6826）,运用EX=np即可求得.【参考解析】（I）煩率.，组军0.0400.0380.0340.0320.0300.028U.UxO0.0240.022。89rfeqC9IIITrno。。。C□c>c>c>c>cU.V1UV.Wou.WoAA/MV.UV+0.002*5515 115 125质養指标值（II） 质量指标值的样本平均数为X=80X0.06+90X0.26+100X0.38+110X0.22+120X0.08=100.质量指标值的样本方差为『=（-20）2x0.06+（-10）2x0.26+0.38+102x0.22+202x0.08=104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100,方差的估计值为10（III） 质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68.由于该估计值小于0.8,故不能认为该全业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.【点评点睛林題主要考查离散型随机变量的期望和方差,以及正态分布的特点及概率求解,考查运算能力.20.（2013湖北理20）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布.V（800:502）的随机变量。记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为Po。（I）求孔的值；（参考数据：若（凡尸），有户（〃一〃+b）=0,6826.P(/i-2a<X<n+2a)=0.9544,P(〃-3<T<X<〃+3b)=0.9974。)(ll)某客运公司用』、8两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A.8两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的运营成本分别为1600元梓內和2400元梓机公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求8型车不多于刃型车7辆。若每天要以不小于的概率云完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的运营成本最小，那么应配备,1型车、8型车各多少辆？【考点卡片】简单线性规划；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.【思路引导】(/)变量服从正态分布N(800,502),即服从均值为800,标准差为50的正态分布，适合700<XW900范围内取值即在(卩-2。，H+2J)内取值，其概率为：95.44%,从而由正态分布的对称性得出不超过900的概率为m.(〃)设每天应派出.4型x辆、A型车］，辆，艰据条件列出不等式组，即得线性约束条件，列出目标函数，画出可行域求解.【^»析】由于随机变量X服从正态分布.¥(800,509，故有“=800q=50,P(700<X《900)=0.9544.由正态分布的对称性，可得Pq=(Pg900)=F(X<800)+P(800< 900)=?+：P(700< 900)=0.9772•设刃型、8型车辆的数量分别为"则相应的营运成本为1600x+2400j，.依題意，瓦〉还需满足x+y<21v<r+P(^<36x+60v)>p,.由(1)知，Pii=P{X<900),故36x+60y)>p,等价于36x+60y》900.x+jY21,于是问题等价于求满足约束条件’辭:x,^>0,x,yeN.且使目标函数-=1600x+2400y达到最小的x,y.作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为尸（5」2）,。（7,14）烦（15,6）.由图可知，当直线二=1600x+2400j，经过可行域的点F时，直线二=1600x+2400），在了轴上截距三最小，即二取得最小值.故应配备，型车辆5辆、8型车辆12辆.2400【点评点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查简单线性规划.本題解題的关键是列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解.214例1【模拟好题】（2019秋•临淄区校级月考）某市为了解本市1万名小学生的普通话水平，在全市范围内进行了普通话测试，测试后对毎个小学生的普通话测试成绩进行统计，发现总体（这1万名小学生普通话测试成绩）服从正态分布-VC69,49）.（1） 从这1万名小学生中任意抽取1名小学生，求这名小学生的普通话测试成绩在（62,90）内的概率；（2） 现在从总体中随机抽取12名小学生的普通话测试成绩，对应的数据如下：50,52,56,62,63,68,65,64,72,80,67,90.从这12个数据中随机选取4个，记X表示大于总体平均分的个数，求了的方差.参考数据：若Y〜N〈\k,O2）,则P<n-0<Y<n+0）=0.6827,P（卩-2。<7<卩+20）=0.9545,P（卩一3QVK卩+3。）=0.9973.【思路引导】（1）利用总体（这1万名小学生普通话测试成绩）服从正态分布N（69,潜心研究真劉为您指引明灯潜心研究真劉为您指引明灯猴哥朝，全网免寇分享，请勿艦卖！猴哥朝，全网免寇分享，请勿艦卖！潜心研究真劉为您指引明灯站恥，瑟^^，潜心研究真劉为您指引明灯站恥，瑟^^，猴哥朝，全网免寇分享，请勿艦卖！猴哥朝，全网免寇分享，请勿艦卖！潜心研究真劉为您指引明灯站恥，瑟^^，潜心研究真劉为您指引明灯站恥，瑟^^，猴哥朝，全网免寇分享，请勿艦卖！猴哥朝，全网免寇分享，请勿艦卖！49）可得卩=69,0=7；再根据这名小学生的普通话测试成绩在（62,90）内，可得P（62«90）=P（h-QW卩+3。）=°-6827+°-9973=o.84；（2）由題记X表示大于总体平均分的个数为0,1,2,3,由古典概型的计算公式可计算四个数据的概率，可计算的期望和方差，从而可得答案；【参考解析】（1）因为学生的普通话测试成绩，服从正态分布2（69,49）,所以卩=69,。=7;所^P（62«90）=P（u-0<Kti+3J）=0・6827；0.9973=o84,（2）因为总体平均分为卩=69,所以这12个数据中大于总体平均分的有3个，所以X的可能取值为0,，b2,3,C4则P(X=0)=-^-7=.14c4U1255Co^n3pgl)=3：二-28r4L1255，c32c92_12ELQ 455，Co^n1Pg3)=―-1r455，所以za~ox=§|t>〔_?^2X X丄=1；55 55 55DX=(0-1)2*丄#(1-1)2X^-(2-1)2X^-+(3-1)2X1~65555 55 5511【点评点睛】本题考查随机变量的期望与方差，随机变量的概率，古典概型，属于中档题.【斩妖除魔】1.（2021如皋市模拟）2020年新冠肺炎疫情爆发以来，国家迅速采取最全面，最严格，最彻底的防控举措，坚决遏制疫情要延势头：努力把疫情影响降到最低，为全世界抗击新冠肺炎疫情作出了贡献.为普及防治新冠肺炎的相关知识，某社区开展了线上新冠肺炎防控知识竞赛，现从大批参与者中随机抽収了200名幸运者的成绩进行分析，他们的得分（满分100分）数据统计结果如表：得分人数频率[30,40]50.025(40,50]300.150(50,60]400.200(60,70]500.250(70,80]450.225(80,90]200.100(90,100]100.050合计2001co若此次知识竞赛得分x整体服从正态分布，用样本来估计总体，设卩，。分别为抽取的200名幸运者得分的平均值和标准差(同一组数据用该区间中点值代替)，求卩，0的值(四舍五入取整数)，及P(37<X<79)的值；(2)在(1)的条件下，为感谢大家积极参与这次活动，对随机抽取的200名幸运者制定如下奖励方案：得分低于卩的获得1次抽奖机会，得分不低于卩的获得2次抽奖机会.假定每次抽奖，抽到18元红包的概率为纟，抽到36元红包的概率为£.已知张三是这次3 3活动中的幸运者，记F为张三在抽奖中获得红包的总金额，求F的分布列和数学期望，并估算举办此次活动所需要的抽奖红包的总金额.参考数据：P(卩一QVXW卩+。)=0.6827；P(卩一2QVXW卩+2。)20.9545;P(卩一30VXW卩+30)M9973.【思路引导】(1)利用期望与方差的计算公式求出E(X),Dg即可求得X〜NC65,142),结合正态分布图象的对称性求解即可；(2)确定F的所有可能取值，分别求出相应的概率，列出分布列，求出数学期望即可.【参考解析】(1)由題意可得，Eg=35X0.025+45X0.15+55X0.2+65X0.25+75X0.225+85X0.1书5X0.05=65,所以卩=65,D(X)=(35-65)2X0.025+(45-65)2X0.15+(55-65)2X0.2+(65-65)2X0.25+(75-65)2X0.225+(85-65)2X0.1+(95-65)2X0.05=210,由196<02<225,可得14<0<15,而14.52=210.25>210,故。冷14,则DN(65,142),潜心研究真劉为您指引明灯潜心研究真劉为您指引明灯潜心研究真劉为您指引明灯站恥，瑟^^，潜心研究真劉为您指引明灯站恥，瑟^^，故P(37〈XV79)=P(卩-2QVXV卩+。)=P(|i-2b<X<|i+2b)+P(|ie<X<|i+。-0.9545+0.6827_08186.2 2(2)1'的所有可能取值为18,36,54,72,由題意可知，P（衣卩）=P（彷卩）=*所以P所以P(片18)=§x2-13~3,pg44444=^P(1-54)=4x4x4PP(1-54)=4x4x4P(7=72)=丄所以F的分布列为:Y18365472P1171829118故2）F8X¥6X§54X評X*=36,估算所需要抽奖红包的总金额为200X36=7200元.（2021湖北模拟）在某媒体上有这样一句话：买车一时爽，一直养车一直爽，讲的是盲目买车的人最终会成为一个不折不扣的车奴；其实，买车之后的花费主要由加油费、停车费、保险费、保养费、维修费等几部分构成；为了了解新车车主5年以来的花费，打破年轻人买车的恐惧感，研究人员在2016年对A地区购买新车的400名车主进行跟踪调查，并将他们5年以来的新车花费统计如云所示：5年花费（万元）[3,5)[5,7)[7,9)[9,11)[lb13)[13,15]人数60100120406020（1） 求这400名车主5年新车花费的平均数以及方差（同一区间的花费用区间的中点值替代）；（2） 以频率估计概率，假设.4地区2016年共有10000名新车车主，若所有车主5年内新车花费E可视为服从正态分布N5,。2）,卩，。2分别为（1）中的平均数0、及方差52,试估计2016年新车车主5年以来新车花费在［52,13.6）的人数；

站恥,源^^，（3）以频率估计概率，若从2016年.4地区所有的新车车主中随机抽取4人，记花费在［9,15］的人数为X,求了的分布列以及数学期望.参考数据：岳L4;若随机变量賊从正态分布N（&。2）,则P（卩-。＜/卩+。）=0.6826,PCn-20卩+2。）=0.9544,P（卩一3QVK卩+3。）=0.9974.【思路引导】（1）根据表格以及求出对应的频率，然后利用公式即可求解；（2）由（1）求出卩，。的值，然后根据正态分布的概率公式即可求解；（3）分析出X服从二项分布,然后求出对应的概率，进而可以求解.【参考解析】（1）这400名车主5年新车花费的平均数为:A4X豔安翠炒端+10X岛心豔H4X端=&方差为s2=(4-8)2X^；6-8)2X-g+ ( 8- 82对斜"如皈端(12-8)2、借《4-8)2、端*(2)由(1)可知，卩=8,。2=8,所以。=2血％2,8,则P(5.2WK13.6)=P(u-QWK卩+2。)=°・9544；0・6826=0,8185,故所求人数为100000X0.8185=81850;（3）由題意可知，X-BC4,含），(7s3_4116‘10，-10000’(7s3_4116‘10，-10000’「B）=依如之如2=&，「侦（会）3（寺）湍,34）=成_而亦,34）=成_而亦,X的分布列如下:X01234P240110000411610000264610000756100008110000211页训练3364页14（2020潍坊模拟）为了严格监控某种零件的一条生产线的生产过程，某企业每天从该生产线上随机抽取10000个零件，并测量其内径（单位：c%）.根据长期生产经检，认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径X服从正态分布N（卩，。2）.如果加工的零件内径小于卩-3O或大于卩+3。均为不合格品,其余为合格品.（1） 假设生产状态正常,请估计一天内抽取的10000个零件中不合格品的个数约为多少;（2） 若生产的某件产品为合格品则该件产品盈利；若生产的某件产品为不合格品则该件产品亏损.已知每件产品的利润匕（单位：元）与零件的内径X有如下关系：‘-5,X<kL-3CT,ki-3CT<X<ki-C,L=6, 求该企业一天从生产线上随机抽取I。。。。个零件的平均-5,X>kL+3CT.利润•附：若随机变量X服从正态分布N（n,。2）,有p（卩一QVxWn+。）=0.6826,P（卩-2QVXWn+2。）=0.9544,P（卩一3Q<XW卩+3。）=0.9974.【思路引导】（1）由3。原则求得抽取一个零件为不合格品的概率，乘以10000得答案；（2）分别求得P（衣卩一3。），P（卩一3OWX<p+。）,P（u-QWXWn+3。），P（X>卩+3。）的值，乘以利润作和，再乘lOOM得答案.【参考解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在（卩-3。，卩+3。）之内的概率为0.9974,从而抽取一个零件为不合格品的概率为0.CO26.因此一天内抽取的10000个零件中不合格吕的个数约为：10000X0.0026=26;(2)由题意,P(-Ku-3O)=0.0013.P(卩—3QWK卩+Q) (0.9974-0.6826)=0.157"P(u-QWXW卩+3。)=0.9974-0.1574=0.8400;P(X>n+30)=0.0013.故随机抽取10000个零件的平均利润：为100001=10000(一5X0,0013+4X0.1574+6X0.8400-5X0,0013)=56566元.【点评点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个潜心研究真劉为您指引明灯站恥，瑟^^，潜心研究真劉为您指引明灯站恥，瑟^^，潜心研究真劉为您指引明灯潜心研究真劉为您指引明灯量卩和。的应用，考查曲线的对称性，属于基础題.366页144.（2020运城一模）在创建“全国文明卫生城”过程中，运城市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次），通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：.组别[30,组别[30,40)[40,50)[50,60)频数21220[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)2524134（1）由频数分布表