上海市2020-2021年高一下学期数学期末考试卷

一.填空题（12336分1．方程组2𝑥+𝑦−1=0 ．3𝑥−2𝑦=0

对应的增广矩阵为32．若在行列式|0𝑎−451|中，元素a的代数余子式的值是．−213在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积S＝ ．函数f（x）＝2cos（x+𝜋）﹣1的对称轴为 ，最小值为 ．3方程3sinx＝1+cos2x在区间[0，2π]上的解为 ．f（）＝n（，𝑥∈[𝜋4

5𝜋]的值域为 ．67用数学归纳法证（n（n（nn＝2n（2n﹣1（n∈*时，从“n＝k”到“n＝k+1”的证明，左边需增添的代数式是 ．8．若无穷等比数列{an}的各项和等于a12，则a1的取值范围是 ．9．已知数列{an}中，a＝2，当n≥2时，a＝2a +3•2n+1，数列{𝑎𝑛}的前n项和1 n 为 ．

2𝑛中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{an}，若an＝2011，则n＝ ．对于数列

}

𝑎1+2𝑎2+⋯+2𝑛−1𝑎𝑛为{a

}的“优值”，现在已知某数列n n 𝑛 n{an}的“优值”Hn＝2n+1，记数列{an﹣kn}的前n项和为Sn，若Sn≤S5对任意的n（n∈N*）恒成立，则实数k的取值范围为 ．数列{an}满足an+1+（﹣1）nan＝2n﹣1，{an}的前60项和为 二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分）y＝sin（x𝜋）2倍（纵坐标3不变再将所得的图象向左平移𝜋个单位得到的图象对应的解析式（ ）3A．𝑦=𝑠𝑖𝑛1𝑥

B．𝑦=𝑠𝑖𝑛(1𝑥−𝜋)2 2 2C．𝑦=𝑠𝑖𝑛(1𝑥−2 6

D．𝑦=𝑠𝑖𝑛(2𝑥−𝜋)6我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点”意思是：一座73812灯（）A．1盏

B．3

C．5盏 D．9盏1Sn＝𝜋n𝜋n𝜋（n∈S1，S2…，S100中，正数的7 7 7个数是（ ）A．16 B．72 C．86 D．1001 99设等比数{}的公比为其前n项的积为Tn，并且满足条件a1 99﹣1＞0，𝑎99−1𝑎100−1①0＜q＜1；

＜0．给出下列结论：②a99•a101﹣1＞0；③T100Tn中最大的；④使Tn＞1成立的最大自然数n等于其中正确的结论是（ ）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④三、解答题（本大题共5题，共52分＝10分+10分+10分+10分+12分）已知：f（x）＝2cos2x+√3sin2x+a（a∈R，a为常数）x∈Rf（x）的最小正周期）f（x）在[𝜋，𝜋]3a的值．6 4A38BA30CA如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？19．已知集合C＝{（x，y）|xy﹣3x+y+1＝0}，数列{an}的首项a1＝3，且当n≥2﹣时，点（an﹣

1，an）∈C，数列{bn}

1 ．1𝑎𝑛（1）试判断数列{bn}是否是等差数列，并说明理由；（2）若𝑙𝑖𝑚(𝑠𝑛→∞𝑎𝑛

+𝑡)=（s，t∈st的值．𝑏𝑛2n成等差数列，bn，an+1，bn+1a1＝10，a＝15．2求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅰ）

1+𝑎1

1𝑎2

+⋯

1𝑎𝑛

𝑏𝑛恒𝑎𝑛成立，求实数a的取值范围．{an}”数列{an}，如果函数使得仍为一个三角形”是数列{an}的“保三角形函数已知{an}21f（）＝2（＞1）数列{an}”k的取值范围；已知数列{cn}是数列{cn}n4Sn﹣3Sn﹣1＝8076，证明{cn}是“三角形”数列（3）求证：函数h（x）＝﹣x2+2x，x∈[1，A]是数列1，1+d，1+2d（d＞0）的“保三角形函数”的充要条件是1+2d≤A，0＜d＜√5．5一.填空题（本大题12题，每题3分，共36分）1．[2 1 11．[3 −2 02．2．3．15√344．𝑥=𝑘𝜋−𝜋(𝑘∈𝑍)；﹣3．35．𝜋或5𝜋．6 66．[−𝜋，𝜋]．3 47．2（2．8．(1∪(1，+∞)．29．3n2﹣2n．10．102873

≤k≤

12．5n12．∵an+1+（﹣1）na＝2n﹣1，n2 4 故有a2﹣a1＝2 4 ﹣a49＝97．11从而可得a3a1＝2aa2＝8a7a5＝2a86＝24a9a ＝212a10＝40，1111a13+a11

＝2，a

+a ＝56，…1614从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．1614n{a}的前60项和为15×2+（15×8+15×14×16）＝1830n2二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分）13．C14．B15．C16．B三、解答题（本大题共5题，共52分＝10分+10分+10分+10分+12分）17．f（x）＝2cos2x+√3sin2x+a（a∈R，a为常数）=√3sin2x+cos2x+1+a＝2sin（2x+𝜋）+1+a，6（1）∴f（x）T=𝜔

=2

=𝜋；（2）∵x∈[−𝜋，𝜋]，∴2x+𝜋∈[−𝜋，2𝜋]；6 4 6 6 32x𝜋𝜋x𝜋，f（x）2sin（𝜋）+1+a＝a6 6 6 6当2x+𝜋=𝜋时，即x=𝜋，f（x）取得最大值为2sin（𝜋）+1+a＝a+36 2 6 2∵最大值与最小值之和为3，∴a+3＝3，∴a＝0故a的值为0．18．在△ABC中，BC＝30，B＝30°，∠ACB＝180°﹣45°＝135°，∴A＝15°，由正弦定理知：

= 𝐴𝐶，∴30 =

，

𝑠𝑖𝑛𝐵𝑠𝑖𝑛15° 𝑠𝑖𝑛30°∴𝐴𝐶=30𝑠𝑖𝑛30°𝑠𝑖𝑛15°

=60𝑐𝑜𝑠15°=15√6+15√2，…（6分） ∴A到BC所在直线的距离为𝐴𝐶⋅𝑠𝑖𝑛45°=(15√6+15√2)⋅√2=15(√3+2)≈8（海里，∴不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险．…﹣1（1）∵n2时，点（an1，n）C上，﹣﹣ ∴an1an﹣3an1+an+1＝0 （1﹣ 由bn=

1 得1−𝑎𝑛n≥2

1= 1 − 1

𝑎𝑛

= 𝑎𝑛−𝑎𝑛−1 =−1﹣ 1−𝑎𝑛 1−𝑎𝑛−1

1−𝑎𝑛−𝑎𝑛−1𝑎𝑛−1

−2𝑎𝑛+2𝑎𝑛−1 2n∴数列{b}是公差为−1的等差数列．n2（2）∵a1＝3，∴b1=

11−𝑎1

=−1，2∴b=−1+（n﹣1）（）=−n（6分）2 2 2∴1n= 1 an＝122 1−𝑎𝑛 𝑛𝑠+𝑡

=−𝑠𝑛+𝑡−(1+2)=−𝑠𝑛2+𝑡𝑛+2𝑡∴ 2 𝑛 2 ，𝑎𝑛

−1𝑛(1+2)

−1𝑛2−𝑛2 𝑛 2由𝑙𝑖𝑚(𝑠+𝑛→∞𝑎𝑛

𝑡)=（s，t∈，𝑏𝑛可得s＝1，st＝1．2（Ⅰ）

①，a

=√𝑏𝑏n+1③．

n+1

𝑛+1

𝑛𝑛+1n≥2，n∈N*，有．即=∴{√𝑏𝑛}是等差数列．（Ⅰ）设数列{√𝑏𝑛}的公差为d，2由a1＝10，a2＝15．经计算，得𝑏1=25，𝑏2=18．2∴√𝑏1=

5√2，𝑑=√𝑏2−√𝑏1=3√2−5√2=√2．=5=5+(𝑛−1)⋅=(𝑛+4)．222∴𝑏

=

=(𝑛+3)(𝑛+4（9分）𝑛 2 𝑛 2（Ⅰ）由（1）1

2 =2(1 −

)．∴𝑆𝑛=2[(1−1)+(1−1)+𝑎𝑛

(𝑛+3)(𝑛+4)

4 5 5 61 −

1)]=2(1−

1)．𝑛+3

𝑛+4

4 𝑛+4不等式𝑏𝑛化为

1)＜2−𝑛+4．𝑎𝑛

4

𝑛+3即（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8＜0．na﹣1＞0a＞1时，不满足条件；当a﹣1＝0，即a＝1时，满足条件；当a﹣1＜0，即a＜1时，f（n）的对称轴为𝑥=−3(𝑎−2)＜0，f（n）关于n递2(𝑎−1)减，f（1）＝4a﹣15＜0．解得15，∴a＜1．4综上，a≤1．2（1）显然an＝n1，anan1＞n2对任意正整数都成立，即{an}是三角形数（2分）n+1 因为＞1，显然有f（an）＜f（a ）＜f（n+1 f（an）+f（an+1）＞f（a

）

k1√5．n+2

n+2 2n所以当k∈（1，1√5）时，f（x）＝kx是数列{a}的“保三角形函数”．n2n+1 （2）由4S ﹣3S＝n+1 n≥2

＝8076，②，①﹣②

﹣3c

＝0，则所以=34

n﹣1

n+1 nn＝14（a1+a2）﹣3a1＝8076

6057，所以𝑎2=34n所以数列{c}2019为首项，以3n4

𝑎1 4n所以，c＝2019（）n（7分）n4cn＞cn+1＞cn＞cn+1＞cn+2cn+1+cn+2＝2019（3=44163）4所以{cn}是“三角形”数列．（3）证明：函数h（x）＝﹣x2+2x，x∈[1，A]是数列1，1+d，1+2d（d＞0）的“保三角形函数”，必须满足三个条件：①1，1+d，1+2d（d＞0）是三角