线性代数第四章,数学课件

我们先看一个例子.

§4.2线性方程组解的求法

上节给出了线性方程组是否有解的判定定理,本节主要讨论有解线性方程组解的个数以及如何求解的问题.熟练掌握线性方程组的解法是本节学习的重点.例4.2.1解线性方程组，

，

解我们用通常的高斯消元法解这将第一个方程的-2倍加到第二个方程上;将第一个方程加到第三个方程上;将第一个方程的-1倍加到第四个方程上，得到

个方程组.将第一、第二个方程互换，方程组变为

，

，

把第二个方程加到第三个方程上;第二个方程的-2倍加到第四个方程上,得，

，

在这个方程组的第二个方程中，任给x4的一个值，可唯一得到;任给x2的一个值，连同x4一起代入第一个方程,可唯一的得到

.这样我们就得到方程组得一组解

，

，

由于x2,x4可以任意给定,所以方程组有无穷多组解.这里x2,x4称为自由未知量.在解这个方程组的过程中,对方程组的化简反复使用了下面的三种运算：

（1）互换方程组中两个方程的位置；

（2）用一个非零常数k去乘方程组中某一个方程；

（3）把一个方程的k倍加到另一个方程上.我们把这三种运算称为方程组的初等变换.，

，

联系如果把方程组和它的增广矩阵

起来,我们不难看出,对方程组进行初等变换化为阶梯形方程组的过程,实际上就是对它的增广矩阵

进行初等行变换化为最简阶梯形矩阵的过程.下面我们把例4.2.1的解题过程用矩阵的初等变换表示出来：

，

，

由最后的阶梯形矩阵，即可写出方程组的同解方程组，进而得到方程组的解.，

经过行初等变换可化为，

由于,则矩阵

则矩阵中至少则矩阵中至少有一个r阶子式不为0,从而这个不为0的r阶子式所在的r个行向量线性无关.不失一般性,不妨设它位于

上角.于是矩阵

矩阵:的左，

，

(1)当时,（4.2.2）式具有如下形式

，

，

(2)当时,由

(4.2.2)可得方程组(4.2.1)的同解方程组

（4.2.3）

，

，

把（4.2.3）式中含有变元xr+1,xr+2,…,xn的项移到每个方程的右端，得到

（4.2.4）

，

，

给定xr+1,xr+2,…,xn的任意一组值,由(4.2.4)可得到方程组(4.2.1)的一个解

（4.2.5）

，

由(4.2.5)式,可得方程组解的向量形式)这里令)：

，

这里xr+1,xr+2,…,xn为自由未知量.由于xr+1,xr+2,…,xn可以任意选取，故方程组在时有无穷多个解.(4.2.5)

式称为方程组（4.2.1）的通解或一般解.

综上，我们得到如下定理.，

，

例4.2.2

解

对方程组的增广矩阵进行初等行变换,把其化为最简阶梯形矩阵，

解线性方程组由于

,从而方程组有无穷多解,且原方程组的同解方程组为

，

，

例4.2.3

有解,并求其解.

讨论λ取何值时,线性方程组

方程组中含有参数λ，需要对方程组的增广矩阵

作初等行变换,化为最简阶梯形矩阵.解法1

对λ的取值情况进行讨论.当时,方程组有唯一解：时,当原方程组的同解方程组为：方程组的通解为其中x2,x3为自由未知量.解的向量形式为

当λ=-2时,由于

所以,此时方程组无解.

由于例4.2.3中未知量的个数与方程的个数相等,也可先求方程组的系数矩阵的A行列式,通过讨论参数λ的各种情况,确定方程组是否有解.

方程组的系数矩阵A的行列式

解法2

对分别λ对的取值情况进行讨论

，

，

显然,

所以方程组无解.

(3) 当=2时，通过初等行变换

，

，

立刻得到如下结果

把定理4.2.1应用到齐次线性方程组

（4.2.6）

定理4.2.2设A为齐次线性方程组(4.2.6)的系数矩阵，

如果,则齐次线性方程组只

唯一零解；

，

，

推论含有n个未知量n个方程的齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是它的系数行列式

如果R(A)=r<n,则齐次线性方程组除零解外,还有无穷多个非零解.特别地,当方程的个数小于未知量个数,即m<n时,齐次线性方程组必有无穷多个非零解.，

，

例4.2.4

解对方程组的系数矩阵作初等行变