博弈论第三章

3非完全信息静态博弈3.1理论：静态贝叶斯博弈和贝叶斯纳什均衡例不对称信息(asymmetricinformation)下的古诺竞争市场中有两个企业。市场需求:P(Q)=a-Q,Q=q1+q2.企业1成本：C1(q1)=cq^企业2成本：以概率。取C2(q2)=%q2，以概率1-0取C2(q2)=cLq2。企业2的产量依赖于成本：max[(a-q1*-q2)-c*2和max[(a-q1*-q2)・cjq2企业1选择q1max0[(a-q1-q2*(cH))-c]q1+(1-0)[(a-q1-q2*(cL))-c]q1一阶条件(a-q1*-cH)-2q2*(cH)=0(a-q1*-cL)-2q2*(cL)=0{0[(a-q2*(cH))-c]+(1-0)[(a-q2*(cL))-c]}-2q1*=0解出q*(c)=。—2ch+c+111(c-c)"2H ^H 6HLW=up一？/wq*=a一2c+Oc〃+(1一。比较完全信息下的古诺模型q*=(a-2c,+cj)/3静态贝叶斯博弈的标准式表示参与人的类型空间孔,…,T;参与人i类型:铲T其他人不知道t，，但知道t.的分布。i i参与人i的推断P^t\ti).参与人的行动空间A1,…,An；参与人i收益:叫妩，…，an；t)n个参与人的静态贝叶斯博弈(staticBayesiangame)的标准式表G={A，…,A;T，…，T;pA，…,p;u，…,u},1n1n1n1n不对称信息下的古诺博弈：T1={c},T2={Cl，Ch}丸2(%，«2；ci)=[(a-%・。2)-弓虬丸2g弓2；CH=[(a-%-。2)-Ch“2马(q1，q2；c)=[(a-91-q2)-c]91用时间顺序描述静态贝叶斯博弈自然产生一个类型向量t=(七，…，tn)自然向参与人i显示f;参与人同时选择行动

（4）各人得到收益.参与人i的战略:s四）£A.贝叶斯纳什均衡:s*=（s1*，…，s*）满足max£/*［、*,］）,...,s.1*（ti_1）,与si+i*奴1），…,"（『驱⑴匕）3.2应用例1信息不完全的性别战克丽斯歌剧2+克丽斯歌剧2+t，10，0拳击0，01，2+tp帕特歌剧拳击类型空间:Tc=Tp=［0,x］匕和tc为［0,x］上的均匀分布.推断（密度函数）：pc（匕）=pp（tc）=11x直觉：分别存在临界值c与p：当tc>c时，克丽斯选择歌剧，否则选择拳击.当tp>p时，帕特选择拳击，否则选择歌剧.克丽斯的期望收益看歌剧:P(2+1)+(1-P)x0=P(2+1)X c X x c看拳击:Px0+(1-P)=1-PX X X

选择歌剧最优cxx-3px-3pcxx-3px-3pxt>因此临界值 C因此临界值 C=帕特的期望收益看拳击：(1-£)x0+£(2+1)=C(2+1)xxpxp看歌剧：(1-c)+cX0=1-cxx x由选择拳击最优tp>三-3临界值p=--3c解得P=c和 p2+3p-x=0.克丽斯选择歌剧的概率TOC\o"1-5"\h\z1-c=x-c=1—-3+艘+4x

xx 2x帕特选择拳击的概率1.p=x—p=1——3+^/9+4x

xx 2x当x—0时，1—-3+J9+4x—1—12x 3例2拍卖(anauction)第一价格密封拍卖(First-price,sealed-bid)两个投标人.

i对物品的估价:七，独立，[0,1]上的均匀分布类型空间：t=[0,1]ifb.ifb.>b.ifb.=bifb<b.I 七一biUi(b1，b2；勺V2)=](厂bi)/2战略，即报价：b仞贝叶斯纳什均衡(bi(vi),b.(v.))满足max(vi-bi)Prob(b>b.(v.)}+2(vi-bi)Prob{b=b.(v.)}.求线性战略b(v)=a.+cv.,Iliii问题为max(vi-bi)Prob{bi>a.+.}TOC\o"1-5"\h\z其中1 1Prob{b>a.+cy.}=Prob{v.<气一"j}=b一・ijjj .c cjj参与人i的最优行动满足-1+—=0c cj j即有顷)=牛由估价与报价的关系：0<b<勺得到a.=0因此bi(vi)=v/2例3双向拍卖(Adoubleauction)一个买者和一个卖者，分别提出价格pb,ps如果pb>ps,则以p=(pb+ps)/2交易；否则不交易.他们的估价为私人信息，％和勺独立，为[0,1]上均匀分布.买者收益ub=。一p ifPb>Ps=0 ifPb<Ps卖者收益us=p-vs ifPb>ps=0 ifpb<ps战略Pb(vb),Ps(vs)贝叶斯纳什均衡(pb(vb),ps(vs))满足(p+E[p(v)1p>p(v)])Pb{ >(u)1maXpb(Vb~b #一^^~b ^~—)Prob{pb>ps(vs)}(p+E[p(v)1p(v)>p]_v)Pb{ ()>}maxps( b~b-_b~b —Vs)Prob{Pb(Vb)>Ps}(1)单一价格均衡：以预先决定的X成交。如果vb>X，pb=X；否则pb=0.如果Vs<X，Ps=X；否则Ps=1.s如果vb>vs，交易就是有效率的，但不一定会进行交易。

(2)线性均衡假设卖者的战略欢，=气+5，则Ps(V)是区间［气，气+c^i上的均匀分布，E0(v)Ip>p(v)］=a+p (区间［a,pj的中点)ssbss 2 sbProb{pb>ps（v）}=p^cs买方的问题max[v-1{ph+a+P}]P^Lb2b2cs从一阶条件解出2%+3气假设买者的战略pb(vb)=a+cbvb，卖者的问题1 p+a+c a+c—p^O.aX[—{Pb+——s bb}—Vs]bbss从一阶条件解出ps=2V+3（abf比较系数，得到cbcb=-b3ah=—b12均衡战略Pb（Pb（v）=2vb+i12PW)PW)=2七+4pv由交易条件pb>ps,有1v>七+4有部分有效的交易未发生。bXv交易sbXv交易s3.3显示原理第一价格拍卖：在线性报价方式下，每个人的报价是他的估价的一半，bi（y：）=七/2。第二价格拍卖：出价最高者获得购买，但是按第二高的出价交易。贝叶斯纳什均衡：每个人按自己的估价报价，即b（v）=v不同