数学相关-高等数学旧版课件

一、一个方程的情形dy

Fxdx

Fy1.

F

(

x,

y)

0隐函数存在定理1设函数F

(

x,

y)

在点P(

x0

,

y0

)的某一邻域内具有连续的偏导数，且F

(

x0

,

y0

)

0,

Fy

(

x0

,

y0

)

0,

则方程

F

(

x,

y)

0

在点P(

x0

,

y0

)的某一邻域能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y

f

(

x)，它满足条件y0

f

(

x0

)

，并有隐函数的求导公式定理证明略.推导求导公式：两边对x

求导d

y

Fxd

x

Fy在的某邻域内

F

0y则xy

xF例１

验证方程x

2

y2

1

0

在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且x

0

时y

1的隐函数y

f

(

x)，并求这函数的一阶和二阶导数在x

0的值.解令F

(x,y)

x2

y2

1则

①

Fx

2x,Fy

连续,②

F

(0,1)

0,

③

Fy

(0,1)

2

0,依定理知方程x

2

y2

1

0在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值可导的函数y

f

(

x)，且f

(0)

1.dy

F一阶导数：

xdx

Fyy

x

,dx

x0

0,

dyy2d

2

y y

xy

y2

y

y

x

x

,1y3

1.x0dx2dx2d

2

yF

(

x,

y)

x2

y2

1因F(x,y)的二阶偏导连续，例2设方程确定一个隐函数求d

y

.d

x解xF

ex

y,令

F

(

x,

y)

sin

y

ex

x

y

1,

则由隐函数求导公式，得yF

cod

y

Fd

x

Fy

x

.cos

y

xex

y.cos

y

xex

yy

另解

sin

y

ex

x

y

1

0,

y

y(

x)两边对x求导，解出2.

F

(

x,

y,

z)

0隐函数存在定理2设函数F

(x,y,z)在点x

Fzz

Fxz

Fyy

FzP(x0

,y0

,z0

)的某一邻域内有连续的偏导数，且F

(x0

,y0

,z0

)

0,Fz

(x0

,y0

,z0

)

0,则方程F

(x,y,z)

0

在点P(x0

,y0

,z0

)的某一邻域能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数z

f

(x,y)，它满足条件

z0

f

(x0

,y0

),并有F

(

x,

y

,

f

(

x

,

y

)

)

0两边对x求偏导x

z

Fx

x

Fz

z

Fy

y

Fz同样可得F

F则

z

xz

0xF

y

xz

y推导求偏导公式：隐函数的求导公式2例

3

设x

2

y2

zx

2

z

4z

0，求

2

.则

z2

4z,解

令

F

(

x,

y,

z)

x2

y2Fx

2x,

Fz

2z

4,,zz

Fx

xx

F

2

zxx2

2z

(2

z)2(2

z)

x

zx

(2

z)22

z(2

z)

x

.(2

z)3

(2

z)2

x2例

4

设z

f

(

x

y

z,

xyz)，求，

，x

y

zz

x

y

.思路：把z

看成x,y

的函数对x

求偏导数得xz，把x看成z,y

的函数对y

求偏导数得yx，z把y

看成x,

z

的函数对z

求偏导数得y

.解令u

x

y

z,

v

xyz,则z

f

(u,v),把z

看成x,y

的函数对x

求偏导数得ux

xz

f

(1

z

)vx

f

(

yz

xy

z

),整理得xz

,fu

yzfv1

fu

xyfv把x

看成z,y

的函数对y

求偏导数得yuvy0

f

(x

1)

f

(

xz

yz

x

),整理得x

fu

xzfv

,fu

yzfvy把y

看成x,z

的函数对z

求偏导数得zuvz1

f

(y

1)

f

(

xy

xz

y

),整理得zy

1

fu

xyfv

.fu

xzfv例4

设

z

3

3

xyz

a

3

,求

z

.x解

公式法:

令

F

(

x,

y,

z)

z3

3xyz

a3

,

则直接法:方程的两边对x

求偏导数，得全微分法:应用一阶全微分形式不变性，得22yz

xzz

xyz

xydz

dx

dy,

于是.z2

xyyzxz

,2

z.z2

xyyzx解得

z

z

x

x

z

x

FF

3

yz,

F

3z2

3

xy,

z

F

.z2yz

xyG(

x,

y,

u,v)

0二、方程组的情形

F

(x,y,u,v)

0隐函数存在定理3设F

(x,y,u,v)、G(x,y,u,v)在点P(x0

,y0

,u0

,v0

)的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且F

(x0

,y0

,u0

,v0

)

0,G(x0

,y0

,u0

,v0

)

0，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式）u

vG

GF

FvJ

(F

,G)

u(u,v)雅可比(1804–德国数1学8家51.

他)

在数学方面最主要的成就是和挪威数学家 相互独地奠定了椭圆函数论的基础.他对行列式理论也作了奠基性的工作.在偏微分方程的研究中引进了“雅可比行列式”并,应用在微积分中.他的工作还包括代数学,变分法,复变函数和微分方程,在分析力学,动力学及数学物理方面也有贡献.他在柯尼斯堡大学任教18年,形成了以他为首的学派.在点vu00)y0,不0x,,P(等于零，则方程组、xFy(u,,v,0)

xGy(u,,v,0) 在点vu00)y0,的0x,,P(某一邻域能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数

(,x)uyu，

vv(,x)y，它们满足条件u0

u(x0

,y0

),v0

v(x0

,y0

)，并有x

J

(

x,v)Fu

FvGu

GvFx

Fvu

1

(F

,G)

Gx

Gv

,Fx

Fu

FvGx

Gu

GvFu

Fv

,Gu

Gvy

J

(

y,v)FvGy

Gvv

1

(F

,G)

Fux

J

(u,

x)

Guu

1

(F

,G)

FyFu

Fv

.Gu

Gvy

J

(u,

y)FyGu

Gyv

1

(F

,G)

Fu例5

设xu

yv

0，

yu

xv

1，求x

，y

，x

和

yu

u

v

v.解1

直接代入公式；解2

运用公式推导的方法，将所给方程的两边对x求导并移项,

x

v

yx

xu

v

x

x

x

u

y

v

ux

yy

xJ

x2

y2

,在J

0的条件下，x

yy

x

u

yu

vxx2x

xu

yv

,

y2

xx

uv

y

vx

yy

xx2

y2

yu

xv

,x2

x2y

y2

y

y2将所给方程的两边对y

求导，用同样方法得u

xv

yu

,

v

xu

yv

.两种方法相比，法二较简便，因为可避免商的求导运算。dz

Adx

Bdy

则A

z

,

B

zx

y这样一次就可求得全部的一阶偏导数。③全微分法利用全微分形式不变性，在所给的方程两边直接求全微分（分以下几种情况）隐函数的求导法则G(

x,

y,

u,v)

0F

(

x,

y,

u,v)

0

u

u(

x,

y),v

v(

x,

y)(3)小结F(x,y)

0

y

f

(x),

则dy

Fxdx

Fyf

(

x,

y)(1)(2)

F

(

x,

y,

z)

0

z

则z

Fx

,

z

Fyx

Fz

y

Fz则方程组两边对x(或y)求导，解出z

(或z

).x

y已知zyz

( )，其中x为可微函数，z

z求x

x

y

y

?思考题思考题解答z记F

(x,y,z)

x

(y

),zx则F

1，F

(

y

)

1

,y

z

z,z2z(

y)z2zF

x

(

y

)

z,x

y

(

y

)zzz

Fxx

Fz,zx

y

(

y

)z

z

(

y

)Fyz

y

Fzz

z于是x

x

y

y

z

.作业p.89

习题7-52;

3;

6;

8;

9;

11.e

x