探索勾股定理(第2课时)课件

1.探索勾股定理第一章勾股定理

驶向胜利的彼岸第2课时探索勾股定理（2）1.探索勾股定理第一章勾股定理驶向2.如何验证勾股定理呢？

1.上节课我们已经通过探索得到了勾股定理，请问勾股定理的内容是什么？

据不完全统计，验证的方法有400多种，你想得到自己的方法吗？

复习导入2.如何验证勾股定理呢？1.上节课我们已

小组活动：请你利用自己准备的四个全等的直角三角形拼出以斜边为边长的正方形.

有不同方法吗？

探索新知小组活动：请你利用自己准备的四个全等的直角三角形

拼图展示图1图2拼图展示图1图2aaaabbbbcccc1.如图，你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法表示吗？2.与有什么关系？为什么？（1）（2）

你能验证定理了吗？

图1aaaabbbbcccc1.如图，你能表示大正方形的面积吗？aaaabbbbcccc∴a²+b²=c²

验证方法一图1

方法小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理.

aaaabbbbcccc∴a²+b²=c²验证方法一

验证方法二cab

a∴a²+b²=c²图2验证方法二caba∴a²+b²=c²图2

例题：我方侦查员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上急驶.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？400m10秒后500mABC掌握新知例题：我方侦查员小王在距离东西向公路400m处侦察，发解：由勾股定理，可以得到AB2=BC2+AC2，也就是5002=BC2+4002，所以BC=300.敌方汽车10s行驶了300m，那么它1h行驶的距离为300×60=108000（m），即它行驶的速度为108km/h.解：由勾股定理，可以得到

1.如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M,O,Q三城市的沿江高速，已知沿江高速的建设成本是5000万元/千米，该沿江高速的造价预计是多少？MPNOQ30Km40Km50Km120Km巩固练习1.如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济解：因为OM2=MN2+NO2=302+402=502，OQ2=OP2+PQ2=502+1202=1302，所以OM=50km，OQ=130km.所以沿江高速公路的造价为5000×（50+130）=900000（万元）.因此该沿江高速公路的造价预计是900000万元.解：因为OM2=MN2+NO2=302+402=502，OQ

2.如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面3m处折断倒下，旗杆顶部落在底部4m处，旗杆折断之前有多高？

4米3米2.如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面3m处折断倒解：如图所示，在Rt△ACB中，∠C=90°，根据勾股定理，得AB2=AC2+BC2=32+42=52，所以AB=5,3+5=8.因此旗杆折断之前高8m.解：如图所示，在Rt△ACB中，∠C=90°，根据勾股定理，3.如图，某储藏室入口的截面是一个半径为12m的半圆形，一个长、宽、高分别是12m,1m,0.8m的箱子能放进储藏室吗？3.如图，某储藏室入口的截面是一个半径为12m的半圆形，一个解：如图所示，设半圆形的圆心为点O.OA=0.5m，过点A作AB⊥OA，交半圆形于点B，连接OB.由题意知，OB=1.2m，所以AB2+OA2=OB2，即AB2+0.52=1.22，解得AB2=1.19，因为0.82=0.64,1.19＞0.64，所以B＞0.8m.所以箱子能放进储藏室.解：如图所示，设半圆形的圆心为点O.OA=0.5m，过点A作三种类型：第一种类型：以赵爽的“弦图”为代表，用几何图形的截、割、拼、补，来证明代数式之间的恒等关系。体现了以形证数、形数统一、代数和几何的紧密结合.第二种类型：以欧几里得的证明方法为代表，运用欧氏几何的基本定理进行证明，反映了勾股定理的几何意义.第三种类型：以刘徽的“青朱出入图”为代表，证明不需用任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为“无字证明”.三种类型：第一种类型：以赵爽的“弦图”为代表，用几何图形的截方法一:三国时期吴国数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，创制了一幅“勾股圆方图”，也称为“弦图”，这是我国对勾股定理最早的证明.

2002年世界数学家大会在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的“弦图”，标志着中国古代数学成就.第一种类型：方法一:三国时期吴国数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，创制cb

a由面积计算,得展开,得

化简,得cba由面积计算,得展开,得化简,得

在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景……他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使他循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形……

趣闻调查组报告“总统”证法勾股定理的在1876年一个周末的傍晚，在美国首

于是这位中年人不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。

1881年，这位中年人—伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。

于是这位中年人不再散步，立即回家，潜心探讨小男aabbcc方法二:美国第二十任总统伽菲尔德的证法，被称为“总统证法”.如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，列出代数关系式,得化简,得第一种类型：aabbcc方法二:美国第二十任总统伽菲尔德的证法，被称为“据传是当年毕达哥拉斯发现勾股定理时做出的证明。

将4个全等的直角三角形拼成边长为(a＋b)的正方形ABCD，使中间留下边长c的一个正方形洞．画出正方形ABCD．移动三角形至图2所示的位置中，于是留下了边长分别为a与b的两个正方形洞．则图1和图2中的白色部分面积必定相等，所以c2=a2+b2图1图2方法三第一种类型：据传是当年毕达哥拉斯发现勾股定理时做出的证明。如图，过A点画一直线AL使其垂直于DE，并交DE于L，交BC于M。通过证明△BCF≌△BDA，利用三角形面积与长方形面积的关系，得到正方形ABFG与矩形BDLM等积，同理正方形ACKH与矩形MLEC也等积，于是推得第二种类型：以欧几里得的证明方法为代表，运用欧氏几何的基本定理进行证明，反映了勾股定理的几何意义。如图，过A点画一直线AL使其垂直于DE，并交D第三种类型：以刘徽的“青朱出入图”为代表，证明不需用任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为“无字证明”。约公元263年，三国时代魏国的数学家刘徽为古籍《九章算术》作注释时，用“出入相补法”证明了勾股定理。第三种类型：以刘徽的“青朱出入图”为代表，证明不需用任何数学abc无字证明①②③④⑤第三种类型：以刘徽的“青朱出入图”为代表，证明不需用任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为“无字证明”。abc无字证明①②③④⑤第三种类型：以刘徽的“青朱出入图”

做法是将一条垂直线和一条水平线，将较大直角边的正方形分成4分。之后依照图中的颜色,将两个直角边的正方形填入斜边正方形之中，便可完成定理的证明。第三种类型：在印度、在阿拉伯世界和欧洲出现的一种拼图证明做法是将一条垂直线和一条水平线，将较大直角边abcABCDEFO方法三:意大利文艺复兴时代的著名画家达·芬奇对勾股定理进行了研究。第三种类型：abcABCDEFO方法三:意大利文艺复兴时代的著名画家达·ⅠⅡAaBCbDEFOⅠⅡA′B′C′D′E′F′ⅠⅡAaBCbDEFOⅠⅡA′B′C′D′E′F′五巧板的制作ABCEDFGHI①②③④⑤abc五巧板的制作ABCEDFGHI①②③④⑤abcbcaabc这种证明方法从几何图形的面积变化入手，运用了数形结合的思想方法。bc利用五巧板拼图验证勾股定理:bcaabc这种证明方法从几何图形的面积变化入手，运用了数形归纳小结通过这节课的学习，你有什么样的收获？归纳小结通过这节课的学习，你有什么样的收获？数学对观察自然做出重要的贡献，它解释了规律结构中简单的原始元素，而天体就是用这些原始元素建立起来的。——开普勒数学对观察自然做出重要的贡献，它解释了规律结构中简单的原始1.探索勾股定理第一章勾股定理

驶向胜利的彼岸第2课时探索勾股定理（2）1.探索勾股定理第一章勾股定理驶向2.如何验证勾股定理呢？

1.上节课我们已经通过探索得到了勾股定理，请问勾股定理的内容是什么？

据不完全统计，验证的方法有400多种，你想得到自己的方法吗？

复习导入2.如何验证勾股定理呢？1.上节课我们已

小组活动：请你利用自己准备的四个全等的直角三角形拼出以斜边为边长的正方形.

有不同方法吗？

探索新知小组活动：请你利用自己准备的四个全等的直角三角形

拼图展示图1图2拼图展示图1图2aaaabbbbcccc1.如图，你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法表示吗？2.与有什么关系？为什么？（1）（2）

你能验证定理了吗？

图1aaaabbbbcccc1.如图，你能表示大正方形的面积吗？aaaabbbbcccc∴a²+b²=c²

验证方法一图1

方法小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理.

aaaabbbbcccc∴a²+b²=c²验证方法一

验证方法二cab

a∴a²+b²=c²图2验证方法二caba∴a²+b²=c²图2

例题：我方侦查员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上急驶.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？400m10秒后500mABC掌握新知例题：我方侦查员小王在距离东西向公路400m处侦察，发解：由勾股定理，可以得到AB2=BC2+AC2，也就是5002=BC2+4002，所以BC=300.敌方汽车10s行驶了300m，那么它1h行驶的距离为300×60=108000（m），即它行驶的速度为108km/h.解：由勾股定理，可以得到

1.如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M,O,Q三城市的沿江高速，已知沿江高速的建设成本是5000万元/千米，该沿江高速的造价预计是多少？MPNOQ30Km40Km50Km120Km巩固练习1.如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济解：因为OM2=MN2+NO2=302+402=502，OQ2=OP2+PQ2=502+1202=1302，所以OM=50km，OQ=130km.所以沿江高速公路的造价为5000×（50+130）=900000（万元）.因此该沿江高速公路的造价预计是900000万元.解：因为OM2=MN2+NO2=302+402=502，OQ

2.如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面3m处折断倒下，旗杆顶部落在底部4m处，旗杆折断之前有多高？

4米3米2.如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面3m处折断倒解：如图所示，在Rt△ACB中，∠C=90°，根据勾股定理，得AB2=AC2+BC2=32+42=52，所以AB=5,3+5=8.因此旗杆折断之前高8m.解：如图所示，在Rt△ACB中，∠C=90°，根据勾股定理，3.如图，某储藏室入口的截面是一个半径为12m的半圆形，一个长、宽、高分别是12m,1m,0.8m的箱子能放进储藏室吗？3.如图，某储藏室入口的截面是一个半径为12m的半圆形，一个解：如图所示，设半圆形的圆心为点O.OA=0.5m，过点A作AB⊥OA，交半圆形于点B，连接OB.由题意知，OB=1.2m，所以AB2+OA2=OB2，即AB2+0.52=1.22，解得AB2=1.19，因为0.82=0.64,1.19＞0.64，所以B＞0.8m.所以箱子能放进储藏室.解：如图所示，设半圆形的圆心为点O.OA=0.5m，过点A作三种类型：第一种类型：以赵爽的“弦图”为代表，用几何图形的截、割、拼、补，来证明代数式之间的恒等关系。体现了以形证数、形数统一、代数和几何的紧密结合.第二种类型：以欧几里得的证明方法为代表，运用欧氏几何的基本定理进行证明，反映了勾股定理的几何意义.第三种类型：以刘徽的“青朱出入图”为代表，证明不需用任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为“无字证明”.三种类型：第一种类型：以赵爽的“弦图”为代表，用几何图形的截方法一:三国时期吴国数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，创制了一幅“勾股圆方图”，也称为“弦图”，这是我国对勾股定理最早的证明.

2002年世界数学家大会在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的“弦图”，标志着中国古代数学成就.第一种类型：方法一:三国时期吴国数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，创制cb

a由面积计算,得展开,得

化简,得cba由面积计算,得展开,得化简,得

在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景……他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使他循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形……

趣闻调查组报告“总统”证法勾股定理的在1876年一个周末的傍晚，在美国首

于是这位中年人不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。

1881年，这位中年人—伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。

于是这位中年人不再散步，立即回家，潜心探讨小男aabbcc方法二:美国第二十任总统伽菲尔德的证法，被称为“总统证法”.如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，列出代数关系式,得化简,得第一种类型：aabbcc方法二:美国第二十任总统伽菲尔德的证法，被称为“据传是当年毕达哥拉斯发现勾股定理时做出的证明。

将4个全等的直角三角形拼成边长为(a＋b)的正方形ABCD，使中间留下边长c的一个正方形洞．画出正方形ABCD．移动三角形至图2所示的位置中，于是留下了边长分别为a与b的两个正方形洞．则图1和图2中的白色部分面积必定相等，所以c2=a2+b2图1图2方法三第一种类型：据传是当年毕达哥拉斯发现勾股定理时做出的证明。如图，过A点画一直线AL使其垂直于DE，并交DE于L，交BC于M。通过证明△BCF≌△BDA，利用三角形面积与长方形面积的关系，得到正方形ABFG与矩形BDLM等积，同理正方形ACKH与矩形MLEC也等积，于是推得第二种类型：以欧几里得的证明方法为代表，运用欧氏几何的基本定理进行证明，反映了勾股定理的几何意义。如图，过A点画一直线AL使其垂直于DE，并交D第三种类型：以刘徽的“青朱出入图”为代