六年下册奥数试题-数的整除特征一全国通用含答案

第1讲数的整除特点(一)知识网络数的整除性质主要有：若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。几个数相乘，若此中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除。若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除。若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数最少能整除这两个自然数中的一个。个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除。个位上是0或许5的数都能被5整除。(9)若一个整数各位数字之和能被3整除，则这个整数能被3整除。(10)若一个整数尾端两位数能被4整除，则这个数能被4整除。若一个整数尾端三位数能被(12)若一个整数各位数字之和能被8整除，则这个数能被8整除。要点?难点9整除，则这个整数能被9整除。数的整除见解、性质及整除特点为解决一些整除问题带来了很大方便，在实诘问题中应用宽泛。要学好数的整除问题，就必然找到规律，切记上边的整除性质，不可以貌同实异。学法指导能被2和5,4和25,8和125整除的数的特点是分别看这个数的末一位、末两位、末三位。我们可以综合推行成一条：末n位数能被一'(或)整除的数，自己必能被二’(或」)整除；反过来，末n位数不可以被-八(或-")整除的数，自己必不可以被-'(或「)整除。比方，判断253200、371601可否被16整除，因为-?,因此只需看各数的末四位数可否被16整除。学习这一讲知识要学会贯串交融。经典例题［例1］在568后边补上三个数字，构成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数尽可能小。思路剖析这个六位数分别被3、4、5整除，故它应知足以下三个条件：各位数字和是3的奇数；末两位数构成的两位数是4的倍数；末位数为0或5。按此条件很简单找到这个六位数。解答不如设补上三个数字后的位数为-，因为这个六位数被4、5整除，因为：宀被4整除，因此c不可以是5而只好是0，且b只可能是2、4、6、8、0。1又因*1，因此3|(5+6+8+a+b+0),因此:当b=2时，3|当(5+6+8+a+2b=4时，3|当(5+6+8+a+4b=6时，3|当(5+6+8+a+6b=8时，3|当(5+6+8+a+8b=0时，3|(5+6+8+a+0

),a可为0、3、6、9;),a可为1、4、7),a可为2、5、；),a可为0、3、6、9;),a可为2、5、为了使六位数二.一尽可能地小，则a应取0、b应取2、c应取0。故能被3、4、5整除的最小六位数-■------■应为568020。［例2］四位数亠丄能同时被2、3、5整除，问这个四位数是多少?思路剖析能同时被2、3、5整除，因此知足以下三个条件：个位数字B在0、2、4、6、8之中，各位数字之和是3的倍数，个位数B在0、5之中。第一个和第三个条件都是针对个位数字的，因此先依据第二个条件确立百位数字A。解答要使.能同时被2和5整除，个位数字只好是B=0;又要使-能被3整除，因此各位数字之和8+A+1+0=9+A应能被3整除。可以看出，当A取0、3、6、9时，各位数字之和9+A可以被3整除。所求的四位数是8010、8310、8610、8910。［例3］有两堆糖果，第一堆有513块，第二堆有633块，哪一堆可以均匀分给9个小朋友而无节余？思路剖析本题其实是判断513与633可否被9整除。解答513各位上数字之和是5+1+3=9，能被9整除；633各位上数字的和是6+3+3=12，不可以被9整除。因此，第一堆可以均匀分给9个小朋友而无节余，第二堆均匀分给9个小朋友还节余3块。［例4］有一个四位数"」二是9的倍数，求A的值。思路剖析四位数「「是9的倍数，即能被9整除，依据能被9整除的数的特点，这个四位数的各位数字之和必然是9的倍数。解答（1）当和是9时，3+A+A+仁9,即2A=5,因此A=2.5（舍）；（2）当和是18时，3+A+A+1=18,即2A=14,A=7；（3）当和是27时，3+A+A+1=27即2A=23,可见A=11.5>10（舍）。因此，A的值是7。［例5］一位粗心的采买员买了72只桶，洗衣时将购货发票洗烂了，只好隐约看到:72只桶，共口67.9□元（□内的数字洗烂了），请你帮他算一算，他一共用了多少钱？思路剖析2用整除性质：一个数能被两个数和的积整除，那么这个数就能同时被这两个数整除。比方，整数a能被15整除，那么这个数必然能同时被3和5整除。这类方法是剖析整数问题的基本方法。解答将口67.9□元看做口679□分，这是72只桶的总价，因为单价X72=□679□，因此□679□能被72整除。72=8X9,因此口679□应当能被8和9整除。假如口679□能被8整除，那么它的末三位必然能被8整除，即8|79□，简单算出口内是2。因为口6792能被9整除，因此其各数之和能被9整除。口+6+7+9+2=口+24,明显，□中的数只好是3。因此这笔账是367．92元。答：一共用了367．92元。［例6］在□里填上适合的数字，使得六位数口678□□能被8、9和25整除。解答☆解法一：依据8、9和25整除的数的特点很简单解出本题。这个六位数能被25整除,依据能被25整除的数的特点知,六位数的末两位数可能是00、25、50、75；该数又能被8整除,因此这个六位数的末三位数应能被8整除,而在800、825、850、875中只有800知足条件,因此这个六位数的个位、十位都是0；又因为这个六位数能被9整除，因此这个六位数的各位数字之和（不如设首位为x）为：x+6+7+8=21+x能被9整除,可推出x只好为6,因此这个六位数为667800。☆解法二：依据数的整除性质（4）：假如一个数能被两个互质数中的每一个数整除,那么这个数也能被这两个互质数的积整除。因为8X25=200,并且8与25互质,依据整除的性质（4）,所求的六位数能被200整除,因此个位、十位都应当是0。此后由这六位数能被9整除,和解法一同样的方法可知这个六位数为667800。［例7］有一水果摊一天进货6筐,分别装着香蕉和苹果,重量为8千克、9千克、16千克、19千克、23千克和27千克。头一天卖出一筐苹果,在剩下的5筐中,香蕉的重量是苹果重量的2倍。问卖掉的那筐重多少千克？剩下的5筐,哪几筐是苹果,哪几筐是香蕉？八、、?思路剖析依据已知条件：剩下的5筐中香蕉的重量是苹果的2倍。可推出：剩下的5筐中香蕉重量与苹果重量之和是3的倍数,即能被3整除。解答因为6筐水果的总重量：8+9+16+19+23+27=102（千克）,依据题意,剩下的5筐中香蕉与苹果总重量之和是3的倍数,那么卖出的一筐苹果也必然是3的倍数。从6筐水果数中可知有两种状况,卖出一筐苹果可能是9千克或是27千克。假如卖出的一筐苹果是9千克,那么102－9=93（千克）。依据剩下的5筐中香蕉的重量与苹果总重量的2倍，则苹果为93+（1+2）=31（千克）。从剩下的8、16、19、23和27中可知8千克和23千克为苹果（8+23=31）。最后剩下16千克、19千克和27千克这三筐为香蕉。假如卖出的一筐苹果是27千克，同理，102-27=75（千克），苹果为75十（1+2）=25（千克），即16千克与9千克这两筐。香蕉即是最后剩下的8千克、19千克和23千克这三筐。3因此本题有两种答案：假如卖出的那筐是9千克苹果，则剩下的5筐中8千克、23千克两筐为苹果，16千克、19千克和27千克三筐为香蕉。假如卖出的那筐是27千克苹果，则剩下的5筐中9千克、16千克两筐为苹果，8千克、19千克、23千克三筐为香蕉。［例8］把1至1997这1997个自然数挨次写下来，得一个多位数，试求这个多位数除以9的余数。思路剖析依据一个数能被9整除的特点可以知道：一个自然数除以9的余数，等于这个自然数各个数位上数字和除以9的余数。因此上边求多位数除以9的余数问题，便转变为求1至1997这1997个自然数中全部数字之和是多少的问题。解答☆解法一：因为1至9这9个数字之和为45,因此10至19,20至29,30至39,，80至89,90至99这十个数的各位数位上的数字和分别为：45+10,45+20,45+30,45+40，，45+80，45+90。因此，1至99这99个自然数各位数字之和为：45+55+65++125+135=900因为1至99这99个自然数各数位上数字之和为900,因此100至199,200至299,，至899,900,800至999这些100个数各位数位上的数字和分别为：900+100900+200,，,900+900。因此,1至900+800999这999个自然数各位上数字之和为：900+1000++1700+1800=13500因为1至999这999个自然数各位上数字和为13500,因此1000至1999这1000个自然数各数位上的数字和为13500+1000=14500,这样1至1999这1999个自然数各数位的数字和为：13500+14500=28000。1998、1999这两个数各数位上的数字和为：27、28。28000-27-28=27945,9能整除27945,因此多位数除以9余0☆解法二：将0至1999这2000个自然数一头一尾搭配成以下的100组：（0,1999）,（1,1998）,（2,1997）,（3,1996）,（4,1995）,（5,1994）,（6,1993）（7,1992）,（8,1991）（9,1990）,（10,1989）,（994,,1005）,（995,1004）,（996,1003）,（997,1002）,（998,1001）（999,1000）,以上各组两数之和为1999,并且每一组数相加时都不进位,1至1999这1999个自然数的全部数字之和等于：（1+9+9+9）X1000=280001998、1999这两个数各位数上的数字之和为：27、28。28000—27—28=27945,9能整除27945，因此多位数除以9余0。☆解法三：因为挨次写出的随意连续9个自然数所构成的多位数，必然能被9整除。而从1至1997一共有1997个数，1997-9=221,1990、1991、1992、1993、1994、1995、1996、1997这8个数所8有数位上的数字和为19+20+21+22+23+24+25+26=180，180能被9整除,因此多位数除以9余0。点津为何挨次写出的随意连续9个自然数所构成的多位数必然能被9整除呢？下边解说一下。因为随意连续的9个自然数的各数位上的数字和除以9的余数，必然是0,1,2，478这9个数，而这9个数的和为36,36能被9整除，因此随意挨次写出的9个连续自崩尿强比縑习发散思想训练9整除。然数构成的多位数必然能被1.这个四位数，同时能被2、3、4、5、9整除，求此四位数。2.55块糖分给甲、乙、丙三人，甲分到糖的块数是乙的2倍，丙最少，但也多于10块，三个人各分几块？3.已知4205和2813都是29的倍数，1392和7018是否是29的倍数？4.老师买了72真同样的书，当时没有记着每本书的价钱，只用铅笔录下了用掉的总钱数口13.7□元，回校后发现有两个数字看不清了。请你补上这两个数字（此中□为看不清的数字）。5?已知45整除：，求全部知足条件的六位数?八二二。参照答案.解：因为：卜：；，因此b=0或5。又因为-二，故b=0,即原四位数是I''r',只需确立a。因为'''r'，因此9|（4+5+a），则a=0或9。又因为...........................................................................................................................，因此a=0。因此，知足条件的四位数是4500。2.解：由题目条件可知，甲、乙=人分到的糖的块数和是3的倍数。设丙分到x块糖，那么x>10。当x=11或x=12时，55-x不可以被3整除，丙不可以能有11块或12块糖。当x=13时，55-13=42,42-3=14。这时甲分到28块糖，乙分到14块糖。当x>13时，明显不切合题意。答：甲、乙、丙各分到糖28块、14块、13块。3.解：因为7018和1392分别是4205与2813的和与差，由数的整除性质（2）：假如两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除，因此7018和1392都能被29整除。答：1392和7018都是29的倍数。.解：第一将口13.7□元化为分，这样总钱数就是口137□分。因为每本书价钱同样，因此572|□137口。可是72=8X9,因此8和9都应整除口137□。因为8整除口137□，因此8整除37□。因此，当37□=376时，才