工科数学分析基础课件

第三章一元函数积分学及其应用第一节

定积分的概念第二节

微积分基本公式与基本定理第三节

两种基本积分法第四节

定积分的应用第五节

反常积分第六节

几类简单的微分方程第二节微积分基本公式与基本定理微积分基本公式微积分基本定理不定积分习题3.2(A)3(6)(8),4(3)(5)(7),9(1),13,14回顾2010-11-74/26微积分基本公式与基本定理n

i

id

0

i

1f

(

)x

limbaf

(

x)dxf

在[a,b]上有界。定义1.1（定积分）可积的必要条件：

mi

)xi

0nd

0

i

1可积的充要条件：lim(Mif

(

x)dx

(b

a)

f

()可积的充分条件：f

(x)在区间[a,b]上连续；或者f

(x)在区间[a,b]上只有有限个第一类间断点或者在[a,b]上单调.积分中值定理：设f

C[a,b],则至少存在一点[a,b]，使ba如何计算定积分呢？积分中值公式bv(t

)d

t2.1微积分基本公式在变速直线运动中,

位移函数s(t

)

与速度函数

v(t

)之间有关系:s(t

)

v(t

)物体在时间间隔

[a

,

b]

内通过的位移为as(b)

s(a)af

(

x)dx猜测

F

(b)

F

(a).若f

(

x)在[a,b]上可积，F

(

x)

f

(

x)b?定义2.1（原函数）如果在区间I上，F(

x)

f

(

x),那么称F

(

x)是f

(

x)在I上的一个原函数

.babaf

(

x)dx

F

(b)

F

(a

)

F

(

x)定理2.1

(Newton-Leibniz公式)设f

[a,b]，且f在区间[a,b]上有一个原函数F

,则证nk

1在区间[a,

b]内任意

n

1个分点：a

x0

x1

L

xn

b,F

(b)

F

(a)

[F

(

xk

)

F

(

xk

1

)]n

F

'(k

)xkk

(

xk

1

,

xk

)n

f

(k

)xkk

1

k

11k

n由于f在[a,

b]上可积，在上式中令

d

max{xk

}

0,

得F

(b)

F

(a)

baf

(

x)dx微积分基本公式baf

(

x)dx

F

(b)

F

(a)ba

F

(

x)当a

b时，f

(x)dx

F

(b)

F

(a)仍成立.ba注：例102(2cos

x

sin

x

1)dx

(2sin

x

cos

x

x)2

3

.例2

求解1dx.1x2x当x

0时，1

的一个原函数是ln

|

x

|,dx1x12

12

ln

|

x

|

ln1

ln

2

ln

2.20为了利用Newton-Leibniz公式计算定积分，被积函数f必须有原函数。问题：f

满足什么条件才有原函数？如何求

f

的原函数？2.2

微积分基本定理设函数f

(

x)在[a,b]上可积 则x

[a,b],

f在[a,

x]上也可积变上限积分

Φ(

x)

f

(

x)dx

x

xaaf

(t

)dtx

[a,b]定理2.2（微积分第一基本定理）

设f

C[a,b]，则由变上限积分确定的函数Φ：[a,b]

R在[a,b]上可导，并且f

(t

)dt

f

(x)

证明Φ

(

x)

dxdxa若其中x为区间[a,b]的端点，则Φ(x)是单侧导数.推论2.1

设f

C[a,b]，则f在区间[a,b]上必有原函数且变上限积分Φ(x)就是它的一个原函数。例302cos

udu,t20t所确定的函数

y

f

(

x

)的一阶导数

.sin

udu,

y

求由参数方程x

解dtdx

sin2

tcos

udu,0y

wdy

dy

dw

cosdt

dw

dtw

t

2t

2

2tdtdxdyw

2t

cos

cos

t

2

2tdy

dtdx所以sin2

t一般的，如果f

(t

)连续，a(x)、b(x)可导，b(

x

)a(

x

)则F

(x)f

(t

)dt

的导数为

f b(

x)

b

(

x)

f a(

x)

a

(

x)证ca(

x

)cb(

x

)f(t

)dtF

(

x)

c

cf

(t

)dt

b(

x

)a(

x

)f

(t

)dt,F

(

x)

f

b(

x)b(

x)

f

a(

x)a(

x)b(x

)a(

x

)f

(t

)dtdxdF

(

x)

（c为常数）例412x2求limcos

x.te

dtx0解12cos

xte dt

dx

dxd

d12cos

xte

dt,

e2cos

x

(cos

x)2

sin

x

ecos

x

,x2cos

xlim

1x02te

dt

limx02

x2sin

x

e

cos

x12e

.法则.分析：这是0

型不定式，应用0例5.

设

f

(

x)在[0,

)内连续,且

f

(

x)

0,

证明t

f

(t

)d

tx0f

(t

)d

t

f

(

x)F

(

x)

xt

f

(t

)d

t0xf

(t

)d

t0在(0,

)内为单调递增函数.证:F

(x)f

(t

)d

t

20xx

f

(

x)f

(t

)d

t

2xf

(

x)x(

x

t

)

f

(t

)d

t0f

(

x)

(

x

)

f

(

)

x

0

F

(x)在（0，)内为单调增函数.只要证F

(

x)

00

0f

(t

)d

t

2x(0

x)x0再论原函数若F

(

x)

f

(

x)

则对于任意常数C,

F(

x)

C

f

(

x)设G是f

在I

上的任一原函数，则G(x)

F

(x)

0,从而G(x)

F

(x)

C

,即G(x)

F

(x)

C

,C为任意常数.问题：F

(x)

C是否包含了f的所有原函数？定理2.3(微积分第二基本定理)设F是

f

在

I

上的一个原函数，C为任意常数，则F+C就是f在I

上的所有原函数.证：2.3

不定积分定义2.2（不定积分）函数

f

在区间

I上的所有原函数的一般表达式，称为f

在I上的不定积分。记作

f

(

x)dx.

x

dx

ln

x

C

C

1例如f

:

被积函数;

f

(

x)dx

:

被积式若F是

f

在

I

上的一个原函数，则

f

(

x)dx

F

(

x)

C其中任意常数C称为积分常数.

3

x2dx

x3

cos

xdx

sin

x

Cd[

f

(x)dx]

f

(x)dx,

F

(

x)dx

F

(

x)

C

,

dF

(

x)

F

(

x)

C

.可见，微分运算与求不定积分的运算是互逆的.性质2.1

(f

(

x)

g(

x))dx

f

(

x)dx

g(

x)dx其中，为任意常数.dxd

f

(x)dx

f

(

x),性质2.2设f

与g

在区间I

上的原函数存在，则基本积分表(1)

kdx

kx

Cx

1

C1(2)

x

dx

12x

x

1

dx

1

Cxx

C

1

dx

21x(

1)ln

x

C(3)dx

(k是常数);1

1

x2

dx

arctan

x

C;(4)

x251x

225

1

C

.

C275xdx

x

2dx7x

21

x21(5)dx

arcsin

x

C;cos

xdx

sin

x

C;sin

xdx

cos

x

C;dx

cos2

x(10)

sec2

xdx

tan

x

C;(6)

exdx

e

x

C;(7)

axdx

ax

C;ln

asec

x

tan

xdx

sec

x

C;csc

x

cot

xdx

csc

x

C;

shxdx

chx

C;

chxdx

shx

C;(12)(13)(14)(15)dx

sin2

x(11)

csc2

xdx

cot

x

C;23)dx.例6

求不定积分

(1

x21

x2解

(1

x23

21

x21

x21

)dx

3例7

求不定积分

3arctan

x

2arcsin

x

C1

x

x2解

x(1

x2

)dx.原积分x(1

x

)2x

(1

x2

)dx

1 1

1

x

x

dx2xdx

1dx

arctan

x

ln

x

C

.

11

x21dx

21

x2例82

2x

(1

x

)1

2

x2dx

x2

(1

x2

)21

x

x2

dx

1

dx

1

dx

1

arctan

x

C

.1

x2

xx2例911

cos

2

xdx

dx11

2cos2

x

1

1

12 cos2

x2dx

1

tan

x

C

.例102

2(1)

sin2

xdx

1

cos

xdx2

1

(1

cos

x)dx2

1

(

x

sin

x)

C

cos2

x

sin2

xcos

2

x(2)dx

cos2

x

sin2

x

dxcos2

x

sin2

xdxdx

1

sin2

x

cos2

x1

cot

x

tan

x

C例11(1)

axexdx

(ae)xdx

Cln(ae)(ae)x)dx(2)

(tan2

x

11

x2)dx

tan

x

x

arctan

x

C

(sec2

x

1

11

x2(3)

(1

x)3dx

(1

3

x

3

x2

x3

)dx

x

3

x

2

x

3

1

x4

C2

4已知一曲线

y

f

(

x

)

在点(

x,

f

(

x

))

处的切线斜率为sec2

x

sinx，且此曲线与y

轴的交点为(0,5)，求此曲线的方程.解dxQ

dy

sec2

x

sin

x,y

sec2

x

sin

xdx

tan

x

cos

x

C

,Q

y(0)

5,

C

6,所求曲线方程为y

tan

x

cos

x

6.例121.微积分基本公式2.变上限积分(

x)

xaf

(t

)dt3.变上限积分的导数(

x)

f

(

x)f

(

x)dx

F

(b)

F

(a)ba小结4.不定积分

f

(

x)dx

F

(

x)

C

,

F

(

x)

f

(

x)f

(

x)

x2

4

x

23

31.设10

02f

(

x)

x

xf

(

x)d

x

2练习题2f

(x)d

x

,求f

(

x).解：定积分为常数,故应用积分法定此常数.f

(

x)d

x

a

,f

(x)d

x

b

,则1

20

0f

(

x)

x2

bx

2a设10a

f

(

x)d

x

3x

bx23x32bx21b

20f

(

x)dx

30

2ax

021

b3

2

2a2

3

2ax

2b

4a8a

1

,

b

43

32.汽车以每小时36

km

的速度行驶,ms

)

10(