利用导数函数的单调性 公开课一等奖课件

利用导数函数的单调性公开课一等奖课件利用导数函数的单调性公开课一等奖课件1．函数单调的一个充分条件设函数y＝f(x)在某个区间内可导，

； ．2．函数单调的必要条件设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f(x)在该区间内

，则在该区间内

．如果f′(x)>0，则f(x)为增函数如果f′(x)<0，则f(x)为减函数单调递增(或递减)f′(x)≥0(或f′(x)≤0)1．函数单调的一个充分条件如果f′(x)>0，则f(x)为增3．求函数单调区间的一般步骤(1)确定f(x)的 ．(2)求导数

．(3)由

．当

，f(x)

；当

时，f(x)

．定义域f′(x)f′(x)>0(或f′(x)<0)解出相应的x的范围f′(x)>0时在相应区间内是增函数f′(x)<0在相应区间内是减函数定义域f′(x)f′(x)>0(或f′(x)<0)解出相应的1．设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f′(x)、g′(x)分别为f(x)、g(x)的导函数，且f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＜0，则当a＜x＜b时，有(

)A．f(x)g(b)＞f(b)g(x)

B．f(x)g(a)＞f(a)g(x)C．f(x)g(x)＞f(b)g(b)D．f(x)g(x)＞f(a)g(a)[答案]

C利用导数函数的单调性公开课一等奖课件2．(2011·广州一模)函数f(x)＝ex＋e－x(e为自然对数的底数)在(0，＋∞)上(

)A．有极大值 B．有极小值C．是增函数 D．是减函数[答案]

C2．(2011·广州一模)函数f(x)＝ex＋e－x(e为自3．(2010·江西，12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)＝0)，则导函数y＝S′(t)的图象大致为(

)3．(2010·江西，12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴[解析]

当五角星匀速地升出水面，五角星露出水面的面积S(t)单调递增，则S′(t)＞0，导函数的图象要在x轴上方，排除B；当露出部分到达图中的Q点到R点之间时，S(t)增长速度变缓，S′(t)图象要下降，排除C；当露出部分在Q点上下一瞬间时，S(t)突然变大，此时在Q点处的S′(t)不存在，排除D，而A符合条件，故选A.[答案]

A[解析]当五角星匀速地升出水面，五角星露出水面的面积S(t利用导数函数的单调性公开课一等奖课件

已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)．下面四个图象中y＝f(x)的图象大致是(

)利用导数函数的单调性公开课一等奖课件[解析]

当x<－1时，xf′(x)<0，∴f′(x)>0，f(x)为增函数，当－1<x<0时，xf′(x)>0，∴f′(x)<0，f(x)为减函数，当0<x<1时，xf′(x)<0，∴f′(x)<0，f(x)为减函数，当x>1时，xf′(x)>0，f′(x)>0，f(x)为增函数．[解析]当x<－1时，xf′(x)<0，[答案]

C[点评与警示]

根据题目条件和所给图象，判断f′(x)所在区间函数值的符号，确定f(x)所在区间的单调性，大致可以确定曲线的形状．利用导数函数的单调性公开课一等奖课件当x＞0时，证明不等式：1＋2x＜e2x.[分析]

假设构造函数f(x)＝e2x－1－2x.因f(0)＝e0－1－0＝0，如果能够证明f(x)在(0，＋∞)上是增函数，那么f(x)＞0，则不等式就可以得到证明．利用导数函数的单调性公开课一等奖课件[证明]

令f(x)＝e2x－1－2x，∴f′(x)＝2e2x－2＝2(e2x－1)．∵x＞0，∴e2x＞e0＝1，∴2(e2x－1)＞0，即f′(x)＞0.∴f(x)＝e2x－1－2x在(0，＋∞)上是增函数．∵f(0)＝e0－1－0＝0，∴当x＞0时，f(x)＞f(0)＝0，即e2x－1－2x＞0.∴1＋2x＜e2x.[点评与警示]

通过构造函数，利用导数判断出所构造的函数的单调性，再将x赋值，利用单调性证明不等式，这也是证明不等式的一种有效方法．[证明]令f(x)＝e2x－1－2x，证明不等式：ex≥1＋x.[证明]

构造函数f(x)＝ex－1－x，利用导数证明函数f(x)＝ex－1－x是增函数，即ex≥1＋x.利用导数函数的单调性公开课一等奖课件

(2009·北京)设函数f(x)＝xekx(k≠0)(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间．[解]

本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．(1)f′(x)＝(1＋kx)ekx，f′(0)＝1，f(0)＝0，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x.利用导数函数的单调性公开课一等奖课件利用导数函数的单调性公开课一等奖课件设x＝1和x＝2是函数f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1的两个极值点．(1)求a和b的值；(2)求f(x)的单调区间．利用导数函数的单调性公开课一等奖课件(2)由(1)知f′(x)＝5x4＋3ax2＋b＝5(x2－1)(x2－4)＝5(x＋2)(x＋1)(x－1)(x－2)当x∈(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)时，f′(x)＞0.当x∈(－2，－1)∪(1,2)时，f′(x)＜0.因此f(x)的单调增区间是(－∞，－2)，(－1,1)，(2，＋∞)，f(x)的单调减区间是(－2，－1)，(1,2)．(2)由(1)知利用导数函数的单调性公开课一等奖课件利用导数函数的单调性公开课一等奖课件(2010·全国Ⅰ，21)已知函数f(x)＝3ax4－2(3a＋1)x2＋4x.(1)当a＝时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在(－1,1)上是增函数，求a的取值范围．利用导数函数的单调性公开课一等奖课件[解]

(1)f′(x)＝4(x－1)(3ax2＋3ax－1)．当a＝时，f′(x)＝2(x＋2)(x－1)2，当x＜－2时，f′(x)＜0，当x＞－2时，f′(x)＞0，∴f(x)在(－∞，－2)内单调减，在(－2，＋∞)内单调增，∴在x＝－2时，f(x)有极小值．所以f(－2)＝－12是f(x)的极小值．(2)在(－1,1)上，f(x)单调增加当且仅当f′(x)＝4(x－1)(3ax2＋3ax－1)≥0，即3ax2＋3ax－1≤0，①(ⅰ)当a＝0时①恒成立；[解](1)f′(x)＝4(x－1)(3ax2＋3ax－1利用导数函数的单调性公开课一等奖课件利用导数函数的单调性公开课一等奖课件1．求函数的单调区间，应先确定函数的定义域，再由f′(x)>0(或f′(x)<0)解出在定义域内相应的x的范围．2．在求含参数的函数的单调区间或判断其单调性时，应分类讨论．3．当求出函数的单调区间(如单调递增区间)有多个时，函数的单调区间不一定是这些区间的并集．4．在某一区间内f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件．1．求函数的单调区间，应先确定函数的定义域，再由f′(x)>5．若可导函数y＝f(x)在(a，b)内f′(x)≥0(或f′(x)≤0)而使导数f′(x)＝0的点仅有有限个，则函数y＝f(x)在(a，b)内仍是单调递增(或递减)函数．利用导数函数的单调性公开课一等奖课件利用导数函数的单调性公开课一等奖课件利用导数函数的单调性公开课一等奖课件利用导数函数的单调性公开课一等奖课件1．函数单调的一个充分条件设函数y＝f(x)在某个区间内可导，

； ．2．函数单调的必要条件设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f(x)在该区间内

，则在该区间内

．如果f′(x)>0，则f(x)为增函数如果f′(x)<0，则f(x)为减函数单调递增(或递减)f′(x)≥0(或f′(x)≤0)1．函数单调的一个充分条件如果f′(x)>0，则f(x)为增3．求函数单调区间的一般步骤(1)确定f(x)的 ．(2)求导数

．(3)由

．当

，f(x)

；当

时，f(x)

．定义域f′(x)f′(x)>0(或f′(x)<0)解出相应的x的范围f′(x)>0时在相应区间内是增函数f′(x)<0在相应区间内是减函数定义域f′(x)f′(x)>0(或f′(x)<0)解出相应的1．设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f′(x)、g′(x)分别为f(x)、g(x)的导函数，且f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＜0，则当a＜x＜b时，有(

)A．f(x)g(b)＞f(b)g(x)

B．f(x)g(a)＞f(a)g(x)C．f(x)g(x)＞f(b)g(b)D．f(x)g(x)＞f(a)g(a)[答案]

C利用导数函数的单调性公开课一等奖课件2．(2011·广州一模)函数f(x)＝ex＋e－x(e为自然对数的底数)在(0，＋∞)上(

)A．有极大值 B．有极小值C．是增函数 D．是减函数[答案]

C2．(2011·广州一模)函数f(x)＝ex＋e－x(e为自3．(2010·江西，12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)＝0)，则导函数y＝S′(t)的图象大致为(

)3．(2010·江西，12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴[解析]

当五角星匀速地升出水面，五角星露出水面的面积S(t)单调递增，则S′(t)＞0，导函数的图象要在x轴上方，排除B；当露出部分到达图中的Q点到R点之间时，S(t)增长速度变缓，S′(t)图象要下降，排除C；当露出部分在Q点上下一瞬间时，S(t)突然变大，此时在Q点处的S′(t)不存在，排除D，而A符合条件，故选A.[答案]

A[解析]当五角星匀速地升出水面，五角星露出水面的面积S(t利用导数函数的单调性公开课一等奖课件

已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)．下面四个图象中y＝f(x)的图象大致是(

)利用导数函数的单调性公开课一等奖课件[解析]

当x<－1时，xf′(x)<0，∴f′(x)>0，f(x)为增函数，当－1<x<0时，xf′(x)>0，∴f′(x)<0，f(x)为减函数，当0<x<1时，xf′(x)<0，∴f′(x)<0，f(x)为减函数，当x>1时，xf′(x)>0，f′(x)>0，f(x)为增函数．[解析]当x<－1时，xf′(x)<0，[答案]

C[点评与警示]

根据题目条件和所给图象，判断f′(x)所在区间函数值的符号，确定f(x)所在区间的单调性，大致可以确定曲线的形状．利用导数函数的单调性公开课一等奖课件当x＞0时，证明不等式：1＋2x＜e2x.[分析]

假设构造函数f(x)＝e2x－1－2x.因f(0)＝e0－1－0＝0，如果能够证明f(x)在(0，＋∞)上是增函数，那么f(x)＞0，则不等式就可以得到证明．利用导数函数的单调性公开课一等奖课件[证明]

令f(x)＝e2x－1－2x，∴f′(x)＝2e2x－2＝2(e2x－1)．∵x＞0，∴e2x＞e0＝1，∴2(e2x－1)＞0，即f′(x)＞0.∴f(x)＝e2x－1－2x在(0，＋∞)上是增函数．∵f(0)＝e0－1－0＝0，∴当x＞0时，f(x)＞f(0)＝0，即e2x－1－2x＞0.∴1＋2x＜e2x.[点评与警示]

通过构造函数，利用导数判断出所构造的函数的单调性，再将x赋值，利用单调性证明不等式，这也是证明不等式的一种有效方法．[证明]令f(x)＝e2x－1－2x，证明不等式：ex≥1＋x.[证明]

构造函数f(x)＝ex－1－x，利用导数证明函数f(x)＝ex－1－x是增函数，即ex≥1＋x.利用导数函数的单调性公开课一等奖课件

(2009·北京)设函数f(x)＝xekx(k≠0)(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间．[解]

本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．(1)f′(x)＝(1＋kx)ekx，f′(0)＝1，f(0)＝0，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x.利用导数函数的单调性公开课一等奖课件利用导数函数的单调性公开课一等奖课件设x＝1和x＝2是函数f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1的两个极值点．(1)求a和b的值；(2)求f(x)的单调区间．利用导数函数的单调性公开课一等奖课件(2)由(1)知f′(x)＝5x4＋3ax2＋b＝5(x2－1)(x2－4)＝5(x＋2)(x＋1)(x－1)(x－2)当x∈(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)时，f′(x)＞0.当x∈(－2，－1)∪(1,2)时，f′(x)＜0.因此f(x)的单调增区间是(－∞，－2)，(－1,1)，(2，＋∞)，f(x)的单调减区间是(－2，－1)，(1,2)．(2)由(1)知利用导数函数的单调性公开课一等奖课件利用导数函数的单调性公开课一等奖课件(2010·全国Ⅰ，21)已知函数f(x)＝3ax4－2(3a＋1)x2＋4x.(1)当a＝时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在(－1,1)上是增函数，求a的取值范围