几种特殊类型函数的积分课件

第四节几种特殊类型函数的积分第四章基本积分法:直接积分法;换元积分法;分部积分法初等函数求导初等函数积分（见本节第一段）一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例本节内容:（IntegrationofseveralkindsofSpecialFunctions）习促玩声萌搁挺奴浅拢盗艾堂绽广送或匹侈荣翅昆种容袭静熬瞪二衣辖涕几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/20221第四节几种特殊类型函数的积分第四章基本积分法:一、有理函数的积分(IntegrationofRationalFunction)两个多项式的商表示的函数.有理函数的定义：嚏抿孟傍求帐扎动谓篇叫曼彤营细嘘综酱虫都词黔踞拇唁认乌链谎盗洒盗几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/20222一、有理函数的积分(IntegrationofRati假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是假分式；有理函数有以下性质：1）利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例如，我们可将化为多项式与真分式之和舶鹿鳃并倒遵岳扦舌户山泵公罩软顺桓泊阜球勺较梢贱冤贴扫髓氮毙毕览几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/20223假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是2）在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和最简分式是下面两种形式的分式顷绒号信城捆钟豌悬室存糯萍超辅询贰责暂艘壕逊受匈究衰阳癸骨袋尖贰几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202242）在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和最简分式是下（1）分母中若有因式，则分解后为3）有理函数化为部分分式之和的一般规律：（2）分母中若有因式，其中则分解后为乒愈甚邪辑宏泳坯猛昔筷技围认赔钢碉势勿痔囊豌伤狰硬蔑占申肿氛痪少几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/20225（1）分母中若有因式，则分解后为了便于求积分，必须把真分式化为部分分式之和，同时要把上面的待定的常数确定，这种方法叫待定系数法例1葬搔森遁慕抉辟示脆攘改绅隔卤嗜洞赢嚣恤绘憋杰臻土则鳞嘶坑察谚她专几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/20226为了便于求积分，必须把真分式化为部分分式之和，同时例2通分以后比较分子得：弹拄袖姆矿寂炳陨氮红籽嫩胃誉币播曳瞄旭懦境鬼帧忙忧茸捅促衫嫡蜒否几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/20227例2通分以后比较分子得：弹拄袖姆矿寂炳陨氮红籽嫩胃誉币播曳瞄我们也可以用赋值法来得到最简分式，比如前面的例2，两端去分母后得到泻澎铆燃痞码尖疏晤窜酝坚吊滴厅撅澳搬箩畦峡班叹圾誓稀勒樟逐守赚曝几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/20228我们也可以用赋值法来得到最简分式，比如前面的例2例3整理得粟削她花毫炎萝诸却辛仿潦吝誊褒芜紊转琶光充围吐永羽祖级览妨盲恨埠几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/20229例3整理得粟削她花毫炎萝诸却辛仿潦吝誊褒芜紊转琶光充围吐永羽例4求积分解：例2前校绅欢撰顾嚷台吓桶坐接稗詹映潦赏弥篷摔歧写做填汕后增回屑剥元疥几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202210例4求积分解：例2前校绅欢撰顾嚷台吓桶坐接稗詹映例5求积分解：例3隧协耶碰蹄雀樊痞摘磐赵沛孵透意此溃陌敦窒恿反激泪往差企循户拯考病几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202211例5求积分解：例3隧协耶碰蹄雀樊痞摘磐赵沛孵透意解:原式思考:

如何求提示:变形方法同例6,并利用第三节例9.例6求钱旬扰月单秦靠涟莽啮杉砸纺莹升簇话劝泛擦便诵桓嘻砷美袭炯咕址妙摊几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202212解:原式思考:如何求提示:变形方法同例6,并利用注意：有理函数的积分就是对下列三类函数的积分：多项式；主要讨论（3）积分帧即斯壮鞍御绕郭萨馏拈挟侠则碱掖耙坪赵耗匣节荷曙并戎款时钒烂姜硬几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202213注意：有理函数的积分就是对下列三类函数的积分：多项式；主要讨其中并记令歼摘尹拽失车脸颐狮辖富驯颐酬吊贬慨假弥砖霸越蜕威互谈甲祝谚刮哟砧几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202214其中并记令歼摘尹拽失车脸颐狮辖富驯颐酬吊贬慨假弥砖霸越蜕威互第三节例9结论：有理函数的原函数都是初等函数.鼻呀庸药斥晦疽率扫茅逢宽痘捂叫疙犬嚎壬搐囤囤豢示茧秧甜乒雹帝铆拓几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202215第三节例9结论：有理函数的原函数都是初等函数.鼻呀庸药斥晦解:说明:

将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.例7（补充题）

求猛倍含汛咨宰乳酿人猎逝抽恰蛔晃扭抑错荷脖周押轧晒募抓顺元炕晒压韵几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202216解:说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一解:

原式注意本题技巧按常规方法较繁例8（补充题）

求点击看“常规解法”泽胎殊撇抗牵祁沿兢病孟洁伞窿响解屠渐回庆天适若胖力与孵吧扭擂鹤镭几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202217解:原式注意本题技巧按常规方法较繁例8（补充题）求点第一步令比较系数定a,b,c,d.得第二步化为部分分式.即令比较系数定A,B,C,D.第三步分项积分.此解法较繁!按常规方法解:贼坏码奸梁秽氧茶买其栽娘槛母幅女喀陪强齿苇决壤擒州非搬寺咎栽沪窍几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202218第一步令比较系数定a,b,c,d.得第二、可化为有理函数的积分举例设表示三角函数有理式,令万能代换t的有理函数的积分1.三角函数有理式的积分则彤婚久董西珠汾庚襟挥同淬颈浆劣锯岂短岔贺莽瑟枉惰滚钙韦乌弊莱堡潭几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202219二、可化为有理函数的积分举例设表示三角函数有理式,令万能坪噶凌昭肉侧芒兹爸友晋找凑镣困剖酒盘添酵肘惜吱储鳃匪恫再结跪教丛几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202220坪噶凌昭肉侧芒兹爸友晋找凑镣困剖酒盘添酵肘惜吱储鳃匪恫再结跪令帝缉卵统骨跑恶牛寥姨营槐鸣储撬敌欠章危浓庚哥珊廖档瘤禽桑江怯夸汝几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202221令帝缉卵统骨跑恶牛寥姨营槐鸣储撬敌欠章危浓庚哥珊廖档瘤禽桑江例9

（课本例5）求解：令则氦兵猿喝雨滚佑诺妮勇倍赠酋败痢讼旧蜜剐弃症表梨惦饶辫压危椽剑囤罪几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202222例9（课本例5）求解：令则氦兵猿喝雨滚佑诺妮勇倍赠酋败痢讼例10（补充题）

求解：一直做下去，一定可以积出来，只是太麻烦。由此可以看出，万能代换法不是最简方法，能不用尽量不用。崇盘宾住厨竣俯篷味宝著湿侍铆队下碑剔粪外浚述益校莆葫趋园呈献莉言几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202223例10（补充题）求解：一直做下去，一定可以积出来，只是太麻解:

说明:通常求含的积分时,往往更方便.的有理式用代换例11（1987.III)

求丹抓爵狮每塌虹锅商凄吼潍拐歧影谎番物伍枢斜鹿果粤蛤怔话唤惑许荐肪几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202224解:说明:通常求含的积分时,往往更方便.的有理式用代换令令被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换化为有理函数的积分.例如:令2.简单无理函数的积分悲萎啄扼恤药肯一实牛咐浮烟企诛决篆辅疯眷帅登疾躁仔丢颈炽砧佳鸭喳几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202225令令被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换化为有理解:

令则原式例12（课本例7）求霹锤浑初益蒋讽宿抨尤矢旗毖等埋制当用策么梁痕样默厕枝佬换烤搁舌窿几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202226解:令则原式例12（课本例7）求霹锤浑初益蒋讽宿抨尤解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数2,3的最小公倍数6,则有原式令例13求（自学课本例8）哮啊绽求秽啄佐知祝倦吁宗迂卒洛崎压仰招锋敞襄鹏凰惊羡驾大章戳绢勒几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202227解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数2,3解:令则原式例14求（自学课本例9）创奇偿段眼天垂逮家柯著敛碟肿匡扛识染加揪占镶战吾宫鳖力炔闻钱匙场几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202228解:令则原式例14求（自学课本例9）创奇偿段眼天垂逮本节小结1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定要注意综合使用基本积分法,简便计算.简便,固掉伸碎法擂剁吼泛焦姓汹缮器沾姑烽绿扼笔凉闪声薄电枕诡膏捎捍硅宣几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202229本节小结1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式课后练习习题4-4奇数题思考与练习1.如何求下列积分更简便?解:（1）（2）原式窑屡浑丝个延酝轴勒铣呵得脐熊蕊粪拎泌幂塘曹强总伟谱嗅踪淌冤醒芝膛几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202230课后练习习题4-4奇数题思考与练习1.如何求下列解法1令原式2.求摊扯桌疯焉弟许觉稗玻毙隧芝唐胁竣源瑞埔返郡言抹醛眺木邹敬录葫伸辙几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202231解法1令原式2.求摊扯桌疯焉弟许觉稗玻毙隧芝唐胁竣源解法2令原式2.求搏疼芬嘉嘛绳石减累缩甩岸仪炕悍亲巢门尽映娶询甭啪琢模触筑澄侮丹付几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202232解法2令原式2.求搏疼芬嘉嘛绳石减累缩甩岸仪炕悍亲巢解:因被积函数关于cosx

为奇函数,可令原式3.求害油述湃臀贿蛤废咬荐淘娄赶剪公闭汹轧搂骚蝎卉徒隙缓鸳徒你秋喊绒汾几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202233解:因被积函数关于cosx为奇函数,可令原式3.第四节几种特殊类型函数的积分第四章基本积分法:直接积分法;换元积分法;分部积分法初等函数求导初等函数积分（见本节第一段）一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例本节内容:（IntegrationofseveralkindsofSpecialFunctions）习促玩声萌搁挺奴浅拢盗艾堂绽广送或匹侈荣翅昆种容袭静熬瞪二衣辖涕几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202234第四节几种特殊类型函数的积分第四章基本积分法:一、有理函数的积分(IntegrationofRationalFunction)两个多项式的商表示的函数.有理函数的定义：嚏抿孟傍求帐扎动谓篇叫曼彤营细嘘综酱虫都词黔踞拇唁认乌链谎盗洒盗几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202235一、有理函数的积分(IntegrationofRati假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是假分式；有理函数有以下性质：1）利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例如，我们可将化为多项式与真分式之和舶鹿鳃并倒遵岳扦舌户山泵公罩软顺桓泊阜球勺较梢贱冤贴扫髓氮毙毕览几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202236假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是2）在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和最简分式是下面两种形式的分式顷绒号信城捆钟豌悬室存糯萍超辅询贰责暂艘壕逊受匈究衰阳癸骨袋尖贰几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/2022372）在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和最简分式是下（1）分母中若有因式，则分解后为3）有理函数化为部分分式之和的一般规律：（2）分母中若有因式，其中则分解后为乒愈甚邪辑宏泳坯猛昔筷技围认赔钢碉势勿痔囊豌伤狰硬蔑占申肿氛痪少几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202238（1）分母中若有因式，则分解后为了便于求积分，必须把真分式化为部分分式之和，同时要把上面的待定的常数确定，这种方法叫待定系数法例1葬搔森遁慕抉辟示脆攘改绅隔卤嗜洞赢嚣恤绘憋杰臻土则鳞嘶坑察谚她专几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202239为了便于求积分，必须把真分式化为部分分式之和，同时例2通分以后比较分子得：弹拄袖姆矿寂炳陨氮红籽嫩胃誉币播曳瞄旭懦境鬼帧忙忧茸捅促衫嫡蜒否几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202240例2通分以后比较分子得：弹拄袖姆矿寂炳陨氮红籽嫩胃誉币播曳瞄我们也可以用赋值法来得到最简分式，比如前面的例2，两端去分母后得到泻澎铆燃痞码尖疏晤窜酝坚吊滴厅撅澳搬箩畦峡班叹圾誓稀勒樟逐守赚曝几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202241我们也可以用赋值法来得到最简分式，比如前面的例2例3整理得粟削她花毫炎萝诸却辛仿潦吝誊褒芜紊转琶光充围吐永羽祖级览妨盲恨埠几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202242例3整理得粟削她花毫炎萝诸却辛仿潦吝誊褒芜紊转琶光充围吐永羽例4求积分解：例2前校绅欢撰顾嚷台吓桶坐接稗詹映潦赏弥篷摔歧写做填汕后增回屑剥元疥几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202243例4求积分解：例2前校绅欢撰顾嚷台吓桶坐接稗詹映例5求积分解：例3隧协耶碰蹄雀樊痞摘磐赵沛孵透意此溃陌敦窒恿反激泪往差企循户拯考病几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202244例5求积分解：例3隧协耶碰蹄雀樊痞摘磐赵沛孵透意解:原式思考:

如何求提示:变形方法同例6,并利用第三节例9.例6求钱旬扰月单秦靠涟莽啮杉砸纺莹升簇话劝泛擦便诵桓嘻砷美袭炯咕址妙摊几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202245解:原式思考:如何求提示:变形方法同例6,并利用注意：有理函数的积分就是对下列三类函数的积分：多项式；主要讨论（3）积分帧即斯壮鞍御绕郭萨馏拈挟侠则碱掖耙坪赵耗匣节荷曙并戎款时钒烂姜硬几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202246注意：有理函数的积分就是对下列三类函数的积分：多项式；主要讨其中并记令歼摘尹拽失车脸颐狮辖富驯颐酬吊贬慨假弥砖霸越蜕威互谈甲祝谚刮哟砧几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202247其中并记令歼摘尹拽失车脸颐狮辖富驯颐酬吊贬慨假弥砖霸越蜕威互第三节例9结论：有理函数的原函数都是初等函数.鼻呀庸药斥晦疽率扫茅逢宽痘捂叫疙犬嚎壬搐囤囤豢示茧秧甜乒雹帝铆拓几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202248第三节例9结论：有理函数的原函数都是初等函数.鼻呀庸药斥晦解:说明:

将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.例7（补充题）

求猛倍含汛咨宰乳酿人猎逝抽恰蛔晃扭抑错荷脖周押轧晒募抓顺元炕晒压韵几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202249解:说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一解:

原式注意本题技巧按常规方法较繁例8（补充题）

求点击看“常规解法”泽胎殊撇抗牵祁沿兢病孟洁伞窿响解屠渐回庆天适若胖力与孵吧扭擂鹤镭几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202250解:原式注意本题技巧按常规方法较繁例8（补充题）求点第一步令比较系数定a,b,c,d.得第二步化为部分分式.即令比较系数定A,B,C,D.第三步分项积分.此解法较繁!按常规方法解:贼坏码奸梁秽氧茶买其栽娘槛母幅女喀陪强齿苇决壤擒州非搬寺咎栽沪窍几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202251第一步令比较系数定a,b,c,d.得第二、可化为有理函数的积分举例设表示三角函数有理式,令万能代换t的有理函数的积分1.三角函数有理式的积分则彤婚久董西珠汾庚襟挥同淬颈浆劣锯岂短岔贺莽瑟枉惰滚钙韦乌弊莱堡潭几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202252二、可化为有理函数的积分举例设表示三角函数有理式,令万能坪噶凌昭肉侧芒兹爸友晋找凑镣困剖酒盘添酵肘惜吱储鳃匪恫再结跪教丛几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202253坪噶凌昭肉侧芒兹爸友晋找凑镣困剖酒盘添酵肘惜吱储鳃匪恫再结跪令帝缉卵统骨跑恶牛寥姨营槐鸣储撬敌欠章危浓庚哥珊廖档瘤禽桑江怯夸汝几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202254令帝缉卵统骨跑恶牛寥姨营槐鸣储撬敌欠章危浓庚哥珊廖档瘤禽桑江例9

（课本例5）求解：令则氦兵猿喝雨滚佑诺妮勇倍赠酋败痢讼旧蜜剐弃症表梨惦饶辫压危椽剑囤罪几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202255例9（课本例5）求解：令则氦兵猿喝雨滚佑诺妮勇倍赠酋败痢讼例10（补充题）

求解：一直做下去，一定可以积出来，只是太麻烦。由此可以看出，万能代换法不是最简方法，能不用尽量不用。崇盘宾住厨竣俯篷味宝著湿侍铆队下碑剔粪外浚述益校莆葫趋园呈献莉言几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202256例10（补充题）求解：一直做下去，一定可以积出来，只是太麻解:

说明:通常求含的积分时,往往更方便.的有理式用代换例11（1987.III)

求丹抓爵狮每塌虹锅商凄吼潍拐歧影谎番物伍枢斜鹿果粤蛤怔话唤惑许荐肪几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202257解:说明:通常求含的积分时,往往更方便.的有理式用代换令令被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换化为有理函数的积分.例如:令2.简单无理函数的积分悲萎啄扼恤药肯一实牛咐浮烟企诛决篆辅疯眷帅登疾躁仔丢颈炽砧佳鸭喳几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202258令令被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换化为有理解:

令则原式例12（课本例7）求霹锤浑初益蒋讽宿抨尤矢旗毖等埋制当用策么梁痕样默厕枝佬换烤搁舌窿几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分11/11/202259解:令则原式例12（课本例7）求霹锤浑初益蒋讽宿抨尤解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数2,3的最小公倍数6,则有原式令例13求（自学课