1.1 集合的含义与表示-(人教A版2019必修第一册) (教师版)

集合的含义与表示知识剖析1元素与集合的概念一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）.2集合的元素特征①确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.Eg：街上叫声帅哥，是男的都回个头，帅哥没有明确的标准，故“帅哥”不能组成集合.②互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.Eg：两个学生名字都是“熊涛”，老师也要给他们起小名“熊大““熊二”，以视区别.若集合/=｛1,2,a],就意味aH1且aW2.③无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换.Eg：高一（1）班每月都换座位也改变不了它是⑴班的事实，｛1,2,3｝=｛2,3,1）.3元素与集合的关系若a是集合4的元素，则称a属于集合4记作QE4；若a不是集合/的元素，则称。不属于集合4记作a《4Eg：菱形€｛平行四边形｝,0e/V,0《｛1,2,3,4）.脑筋急转弯你能证明上帝不是万能的么？答案：如果上帝万能，他能否创造一块他举不起来的石头么？（这跟集合有什么关系呢？）4常用数集自然数集（或非负整数集），记作N；正整数集，记作N*或以；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R5集合的分类有限集，无限集，空集0.Eg：奇数集｛犬|久=2n+1fneZ｝属于无限集，｛xeR\x2+1=0｝=0.6集合的表示方法①列举法把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“｛｝〃括起来表示集合的方法叫列举法.②描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.一般格式：{%e川p(%)}.用符号描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式？(2)元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.⑶Eg：A={x\x2—x-2=0}方程％2—x—2=0的解，即4={-1,2}；B={x\x2-x-2<0}不等式--x—2<0的解集，即8={%|-1<%<2］；C-{x\y=x2-x—2}函数y=x2—x—2的定义域，即C=R；D={y\y=x2-x-2}函数y=%2-%-2的值域，即。={y\y>一'}；E={(x,y)|y=%2-%-2)函数y=%2-x-2的图像，它是个点集.经典例题经典例题【典题1】下列说法正确的是()4某个村子里的高个子组成一个集合；8.所有小的正数组成的集合；C.集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一个集合；D.1,0,5,|J,月这些数组成的集合有五个元素.22474【解析】由于“高个子〃、“小的〃没有一个明确的标准，A,8的对象不具备确定性;。中的0.5,1,月三个数相等，|,：相等，故集合只有3个元素；27424集合具有无序性，所以。是正确的；故选C.【点拨】本题考核集合元素的三要素.【典题2]设集合4=[2,1—a,a2—a+2},若4eA,则a=【解析】•・.4C4・・.1—a=4或a?—a+2=4,(i)若1—a=4,则a=-3,此时M—a+2=14,9-A=(2,4,14｝；(ii)若M—q+2=4,则a=2或a=-1,a=2时，止匕时1—a=-1,A=[2,-1,4｝；a=一1时，此时1一a=2,则4=｛2,2,4｝不符合集合的“互异性"，故aH-1.综上Q=-3或2.【点拨】本题考核集合元素的特征和元素与集合的关系；当。=一1时，1一a=2,此时4=｛2,2,4｝不符合集合的”互异性〃，故。H-1.故求出集合后最好做下检查.【典题3】用列举法表示集合4=｛三EZ|%eN]=.【解析】根据％eN,且三ez可得：X-2%=0时，-^―=—3；%=1时，-^―=—6；%=3时，-^―=6；X—2X—2X—2%=4时，-^―=3；%=5时，-^―=2；%=8时，-^―=1；X—2X—2X—2A=[—3,—6,6,3,2,1).【点拨】①看集合先确定元素类型(本题中元素是“三〃，而不是力，再看元素需要满足的条件；X—2②集合若能化简先化简，用最简洁的形式表示能让我们更好理解集合.【典题4]若集合4=｛x\ax2+2x+1=0,aeR｝至多有一个元素，则a的取值范围是【解析】•・,集合4=｛x\ax2+2%+1=0,aER｝至多有一个元素，,・.a=0或…，解得”0或g1,(△=4-4a<0・•.a的取值范围是｛a|a=0或a>1].【点拨】注意二次项系数是否等于0,先确认函数类型.巩固练习(★)下列各组对象能构成集合的是()A.充分接近的所有实数B.所有的正方形C.著名的数学家D.1,2,3,3,4,4,4,4【答案】B【解析】选项人。不满足集合的确定性；集合B正方形是确定的，故能构成集合；选项。不满足集合的互异性.故选：B.2(★)以实数%,Y溟,-丁声为元素所组成的集合最多含有()个元素.A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】当%>0时，％=|%|=，溟>0,—=—x<0,此时集合共有2个元素；当％=0时，x=\x\==—Vx^=—x=0,此时集合共有1个元素；当％V0时,—%=|%|=Vx2=—\[x^>0,x<0,此时集合共有2个元素，故由以实数居-％,闭,信，-乳m为元素所组成的集合最多含有元素的个数为2个.故选：C.3(*)下面有四个命题：⑴集合N中最小的数是1；(2)0是自然数；(3){1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合；(4)aeN,bEN,则a+b不小于2.TOC\o"1-5"\h\z其中正确的命题的个数是()A.1个B・2个C・3个D.4个【答案】A【解析】(1)集合N中最小的数是0,(2)对，(3)不大于3的自然数组成的集合是{0」2,3},(4)因为0eN,所以a+b可能小于2,因此只有(2)是对的，故选A.4(★★)设集合M={x\x=3k,kEZ}9P={x\x=3/c+1,kEZ},Q=[x\x=3k—1,kEZ},若a6M,beP,ceQ,则a+b—ce()A.MA.MA.MB.PC.QD.MLA.MB.PC.QD.ML【答案】A5~外已知％y,z为非零实数，代数式卷+三+《+器的值所组成的集合是M,则下列判断正确的是()।人I\y\iz।।人A.4eMB.2eMC.0eMD.-4M【答案】A【解析】根据题意，分4种情况讨论；①、％、y、z全部为负数时，则xyz也为负数，则亩+古+由+裔=-4,②、％、y、z中有一个为负数时，则xyz为负数，则亩+击+向+工|]=。，③、％、y、z中有两个为负数时，则xyz为正数，则亩+击+向+竟|]=。，④、X、y、Z全部为正数时，则%yz也正数，则亩+古+以+^=4；则用={4,-4,0}；分析选项可得4符合.”★★)点的集合M={(x,y)|xy>0}是指()A.第一象限内的点集B.第三象限内的点集C.第一、第三象限内的点集D.不在第二、第四象限内的点集【答案】D【解析】砂20指％和y同号或至少一个为零，故为第一或第三象限内的点或坐标轴上的点.故选。7(★★)已知含有三个实数的集合既可表示成{见,1},又可表示成{a2,。+40},则02017+82018=.【答案】-1【解析】根据题意，由{见31}={@2,。+40}可得。=0或3=0,又由■的意义，则aW0,必有■=0,则b=0,aa则{a,0,1}={a2,a,0}9则有小=1,即。=1或q=—1,集合{a,0,1}中，awl,则必有。=一1则@2017+炉018=(-1)2017+。2。18=一1故答案为：-18(★★)若集合4={x\kx2+4%+4=0,%GR}中只有一个元素，则实数k的值为.【解析】由集合4={x\kx2+4%+4=0,%GR}中只有一个元素，当k=0时，4%+4=0,即％=={-1},成立；当kH0时，△=16—4・k・4=0,解得k=1.A=[x\x2+4%+4=0}={—2},成立.综上，上=0或1.9(★★)用列举法表示集合{讥|二券ENfmEN,m<10]=.【答案】{2,5,8).【解析】根据题意，・・・山6乂租410,Tn-2E8且(??1—2)eZ又因?GN,.・.(山一2)€N,且是3的整数倍，am-2=0或3或6,・・.m=2或5或8,・•・集合{刈巴^EN,mEN,m<10}={2,5,8).故答案为：{258}.10(★★)集合4={%€Z|y=长〃€z}的元素个数为【答案】12【解析】由题意，集合卜62|丫=为€2}中的元素满足%是整数，且y是整数，由此可得％=—15,—9,—7,—6,—5,—4,—2,—1,0,1,3,9；此时y的值分别为:-1,-2,-3,-4,-6,-12,12,6,4,3,3,1,符合条件的工共有12个，!!(★★)用列举法表示下列集合(1)11以内偶数的集合；(2)方程(％+1)(/-4)=0的所有实数根组成的集合；(3)一次函数y=2%与y=x+1的图象的交点组成的集合.【解析】(1){2,4,6,8,10}；(2)解方程(%+l)(x2—4)=0,得%1=—1,%2=-2,%3=2,故方程Q+1)(/一旬=0的所有实数根组成的集合为{-2,-1,2}；⑶解方程组忧忌/虱二;，因此一次函数y=2%与y=%+1的图象的交点为(1,2),故所求的集合为{(1,2)}.12(★★★)已知集合A={xIax2—3x+2=0,aER]1)若4是空集，求a的取值范围；2)若4中只有一个元素，求。的值，并把这个元素写出来；3)若/中至多只有一个元素，求。的取值范围•【答案】1)a>|;2)若a=0,则有4=[|1；若a="则有力=仔13)a=0或a>o131oL3Jo【解析】1